История алгебры

Чтобы узнать о современной истории алгебры, см. « Абстрактная алгебра § История» .

По сути, алгебру можно рассматривать как выполнение вычислений, аналогичных арифметическим , но с нечисловыми математическими объектами. Однако до 19 века алгебра по существу состояла из теории уравнений . Например, основная теорема алгебры принадлежит теории уравнений и в настоящее время не считается принадлежащей алгебре (фактически, каждое доказательство должно использовать полноту действительных чисел , что не является алгебраическим свойством).

В данной статье описана история теории уравнений, названной здесь «алгеброй», от истоков до возникновения алгебры как отдельной области математики .

Этимология

Слово «алгебра» происходит от арабского слова الجبر аль-джабр и происходит из трактата, написанного в 830 году средневековым персидским математиком Аль-Хваризми , чье арабское название « Китаб аль-мухтасар фи Хисаб аль-Габр». ва-ль-мукабала , можно перевести как «Сборная книга по расчетам путем завершения и балансирования» . В трактате дано систематическое решение линейных и квадратных уравнений . Согласно одной истории, «[я] не уверен, что именно означают термины аль-джабр и мукабала , но обычная интерпретация аналогична той, которая подразумевалась в предыдущем переводе. Слово «аль-джабр» предположительно означало что-то вроде: восстановление» или «завершение» и, по-видимому, относится к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, слово «мукабала», как говорят, относится к «сокращению» или «уравновешиванию», то есть отмене подобных членов; На противоположных сторонах уравнения арабское влияние в Испании, намного позже времен аль-Хорезми, обнаруживается в « Дон Кихоте» , где слово «алгебриста» используется для обозначения костоправа, то есть «реставратора». Этот термин используется аль-Хорезми для описания введенных им операций « сокращение » и «балансировка», имея в виду перенос вычитаемых членов на другую сторону уравнения, то есть отмену подобных членов на противоположных сторонах. уравнения.

Этапы алгебры

См. Также: Хронология алгебры.

Алгебраическое выражение

Алгебра не всегда использовала символику, которая сейчас повсеместно распространена в математике; вместо этого он прошел три отдельных этапа. Этапы развития символической алгебры примерно следующие:

• Риторическая алгебра , в которой уравнения записываются полными предложениями. Например, риторическая форма $x+1=2$ это «Вещь плюс один равно двум» или, возможно, «Вещь плюс 1 равно 2». Риторическая алгебра была впервые разработана древними вавилонянами и оставалась доминирующей до 16 века.

• Синкопированная алгебра , в которой используется некоторая символика, но которая не содержит всех характеристик символической алгебры. Например, может существовать ограничение, согласно которому вычитание может использоваться только один раз в пределах одной части уравнения, чего нет в случае символической алгебры. Синкопированные алгебраические выражения впервые появились в Диофанта » « Арифметике (3 век нашей эры), а затем в Брахмагупты » «Брахма Спхута Сиддханта (7 век).
• Символическая алгебра , в которой используется полная символика. Первые шаги к этому можно увидеть в работах нескольких исламских математиков , таких как Ибн аль-Банна (13–14 века) и аль-Каласади (15 век), хотя полностью символическая алгебра была разработана Франсуа Виетом (16 век). Позже Рене Декарт (17 век) ввёл современные обозначения (например, использование х — см. ниже ) и показал, что проблемы, возникающие в геометрии, могут быть выражены и решены в терминах алгебры ( декартова геометрия ).

Не менее важным, чем использование или отсутствие символики в алгебре, была степень решаемых уравнений. Квадратные уравнения играли важную роль в ранней алгебре; и на протяжении большей части истории, вплоть до раннего Нового времени, все квадратные уравнения относились к одной из трех категорий.

• $x^{2}+px=q$
• $x^{2}=px+q$
• $x^{2}+q=px$

где $p$ и $q$ являются положительными.Эта трихотомия возникает потому, что квадратные уравнения вида $x^{2}+px+q=0,$с $p$ и $q$ положительные, не имеют положительных корней .

Между риторической и синкопированной стадиями символической алгебры была разработана геометрическая конструктивная алгебра классическими греческими и ведическими индийскими математиками , в которой алгебраические уравнения решались с помощью геометрии. Например, уравнение вида $x^{2}=A$ было решено путем нахождения стороны квадрата площади $A.$

этапы

Помимо трех этапов выражения алгебраических идей некоторые авторы выделяли четыре концептуальных этапа в развитии алгебры, происходившие наряду с изменениями в выражениях. Эти четыре этапа заключались в следующем:

• Геометрический этап , на котором понятия алгебры в основном геометрические. Это восходит к вавилонянам и продолжилось у греков , а позже было возрождено Омаром Хайямом .
• Этап решения статических уравнений , цель которого — найти числа, удовлетворяющие определенным соотношениям. Отход от геометрической стадии восходит к Диофанту и Брахмагупте , но алгебра не перешла окончательно к стадии решения статических уравнений до тех пор, пока Аль-Хорезми не представил обобщенные алгоритмические процессы для решения алгебраических задач.
• Стадия динамической функции , где движение является основной идеей. Идея функции начала появляться у Шарафа ад-Дина ат-Туси , но алгебра окончательно не перешла на стадию динамических функций до Готфрида Лейбница .
• Абстрактная стадия , на которой центральную роль играет математическая структура. Абстрактная алгебра во многом является продуктом XIX и XX веков.

Вавилон

Смотрите также: вавилонская математика

Планшет Plimpton 322 .

Истоки алгебры можно отнести к древним вавилонянам . которые разработали позиционную систему счисления , которая очень помогла им в решении риторических алгебраических уравнений. Вавилоняне были заинтересованы не в точных решениях, а в приближениях, поэтому они обычно использовали линейную интерполяцию для аппроксимации промежуточных значений. Одной из самых известных табличек является табличка Plimpton 322 , созданная около 1900–1600 гг. до н. э., на которой представлена ​​таблица пифагорейских троек и представлены некоторые из наиболее передовых математических достижений, предшествовавших греческой математике.

Вавилонская алгебра была гораздо более развитой, чем египетская алгебра того времени; тогда как египтян в основном интересовали линейные уравнения, вавилоняне больше интересовались квадратными и кубическими уравнениями . Вавилоняне разработали гибкие алгебраические операции, с помощью которых они могли складывать равные к равным и умножать обе части уравнения на одинаковые величины, чтобы исключить дроби и множители. Они были знакомы со многими простыми формами факторинга . трехчленные квадратные уравнения с положительными корнями, и многие кубические уравнения, хотя неизвестно, удалось ли им свести общее кубическое уравнение.

Древний Египет

Часть папируса Ринда .

Смотрите также: египетская математика

Древнеегипетская алгебра имела дело в основном с линейными уравнениями, в то время как вавилоняне сочли эти уравнения слишком элементарными и развили математику на более высоком уровне, чем египтяне.

Папирус Ринда, также известный как Папирус Ахмеса, представляет собой древнеегипетский папирус, написанный ок. 1650 г. до н.э., автор Ахмес, который переписал его из более ранней работы, которую он датировал между 2000 и 1800 гг. до н.э. Это самый обширный древнеегипетский математический документ, известный историкам. Папирус Ринда содержит задачи, в которых линейные уравнения вида $x+ax=b$ и $x+ax+bx=c$ решены, где $a,b,$ и $c$ известны и $x,$ то, что называется «ага» или кучей, является неизвестным. Возможно, но маловероятно, что решения были получены с использованием «метода ложного положения» или regula falsi , когда сначала в левую часть уравнения подставляется конкретное значение, затем выполняются необходимые арифметические вычисления, в-третьих, результат сравнивается с правой частью уравнения, и, наконец, правильный ответ находится с помощью пропорций. В некоторых задачах автор «проверяет» свое решение, написав тем самым одно из самых ранних известных простых доказательств.

Греческая математика

Смотрите также: греческая математика

Один из древнейших сохранившихся фрагментов Евклида » « Начал , найденный в Оксиринхе и датированный примерно 100 годом нашей эры ( P. Oxy. 29 ). Диаграмма прилагается к Книге II, Предложению 5.

Иногда утверждают, что у греков не было алгебры, но это оспаривается. Ко времени Платона греческая математика претерпела радикальные изменения. Греки создали геометрическую алгебру , в которой термины были представлены сторонами геометрических объектов. обычно строки, с которыми связаны буквы, и с помощью этой новой формы алгебры они смогли найти решения уравнений, используя изобретенный ими процесс, известный как «применение площадей». «Применение площадей» — это лишь часть геометрической алгебры, и оно подробно описано в « Евклида » Началах .

Примером геометрической алгебры может быть решение линейного уравнения $ax=bc.$ Древние греки решали это уравнение, рассматривая его как равенство площадей, а не как равенство между отношениями. $a:b$ и $c:x.$ Греки строили прямоугольник со сторонами длиной $b$ и $c,$ затем удлините сторону прямоугольника до нужной длины $a,$ и, наконец, они завершали расширенный прямоугольник, чтобы найти сторону прямоугольника, которая является решением.

Цветение Тимарида

Ямвлих в «Introductio arithmatica» говорит, что Тимарид (ок. 400 г. до н. э. – ок. 350 г. до н. э.) работал с одновременными линейными уравнениями. В частности, он создал знаменитое тогда правило, известное как «цветок Тимарида» или как «цветок Тимарида», которое гласит:

Если сумма $n$ заданы количества, а также сумма каждой пары, содержащей определенное количество, то это конкретное количество равно $1/(n-2)$ разницы между суммами этих пар и первой заданной суммой.

Доказательство из «Начал» Евклида о том, что для данного отрезка существует равносторонний треугольник, включающий этот отрезок в качестве одной из своих сторон.

или, используя современные обозначения, решение следующей системы $n$ линейные уравнения в $n$ неизвестные,

$x+x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n-1}=s$
$x+x_{1}=m_{1}$
$x+x_{2}=m_{2}$
$\vdots$
$x+x_{n-1}=m_{n-1}$

является,

$x={\cfrac {(m_{1}+m_{2}+...+m_{n-1})-s}{n-2}}={\cfrac {(\sum _{i=1}^{n-1}m_{i})-s}{n-2}}.$

Ямвлих продолжает описывать, как некоторые системы линейных уравнений, не находящиеся в этой форме, могут быть помещены в эту форму.

Евклид Александрийский

Эллинистический математик Евклид подробно описывает геометрическую алгебру.

Евклид ( греч . Εὐκλείδης ) был греческим математиком, который процветал в Александрии , Египет , почти наверняка во время правления Птолемея I (323–283 до н. э.). Ни год, ни место его рождения не установлены ни обстоятельства его смерти.

Евклида считают «отцом геометрии ». Его «Элементы» — самый успешный учебник в истории математики . Хотя он является одним из самых известных математиков в истории, ему не приписывают никаких новых открытий; скорее его помнят за его отличные объяснительные способности. «Начала » не являются, как иногда думают, собранием всех греческих математических знаний на тот момент; скорее, это элементарное введение в него.

Элементы

Геометрическая работа греков, типичным примером которой являются « Начала» Евклида , обеспечила основу для обобщения формул, выходящих за рамки решения конкретных проблем, в более общие системы формулирования и решения уравнений.

Книга II «Начал » содержит четырнадцать положений, которые во времена Евклида имели чрезвычайно важное значение для занятий геометрической алгеброй. Эти предложения и их результаты являются геометрическими эквивалентами нашей современной символической алгебры и тригонометрии. Сегодня, используя современную символическую алгебру, мы позволяем символам обозначать известные и неизвестные величины (т.е. числа), а затем применяем к ним алгебраические операции, в то время как во времена Евклида величины рассматривались как отрезки прямых, а затем результаты выводились с использованием аксиом или теорем геометрии.

Многие основные законы сложения и умножения включены или доказаны геометрически в « Началах» . Например, предложение 1 Книги II гласит:

Если существуют две прямые линии и одна из них может быть разрезана на любое количество отрезков, то прямоугольник, содержащийся в двух прямых, равен прямоугольникам, содержащимся в неразрезанной прямой и каждом из отрезков.

Но это не что иное, как геометрическая версия (левого) распределительного закона , $a(b+c+d)=ab+ac+ad$; а в книгах V и VII «Начал» и законы демонстрируются коммутативные умножения . ассоциативные

Многие основные уравнения были также доказаны геометрически. Например, предложение 5 в книге II доказывает, что $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b),$ и предложение 4 в книге II доказывает, что $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.$

Кроме того, многие уравнения имеют геометрические решения. Например, предложение 6 книги II дает решение квадратного уравнения $ax+x^{2}=b^{2},$ а предложение 11 Книги II дает решение задачи $ax+x^{2}=a^{2}.$

Данные

«Данные» — это работа, написанная Евклидом для использования в школах Александрии и предназначавшаяся для использования в качестве сопутствующего тома к первым шести книгам «Начал » . Книга содержит около пятнадцати определений и девяносто пять утверждений, из которых около двух десятков утверждений служат алгебраическими правилами или формулами. Некоторые из этих утверждений являются геометрическими эквивалентами решений квадратных уравнений. Например, данные содержат решения уравнений $dx^{2}-adx+b^{2}c=0$ и знакомое вавилонское уравнение $xy=a^{2},x\pm y=b.$

Конические сечения

Коническое сечение – это кривая, возникающая в пересечения конуса результате с плоскостью . Существует три основных типа конических сечений: эллипсы (включая круги ), параболы и гиперболы . Считается, что конические сечения были открыты Менехмом. (ок. 380 г. до н.э. – ок. 320 г. до н.э.), и поскольку работа с коническими сечениями эквивалентна работе с соответствующими уравнениями, они играли геометрические роли, эквивалентные кубическим уравнениям и другим уравнениям более высокого порядка.

Менехм знал, что в параболе уравнение $y^{2}=lx$ держится, где $l$ — это константа, называемая широкой прямой кишкой , хотя он не знал о том, что любое уравнение с двумя неизвестными определяет кривую. Он, по-видимому, вывел эти свойства и из конических сечений, и из других. Используя эту информацию, теперь стало возможным найти решение проблемы дублирования куба , решая точки пересечения двух парабол, что эквивалентно решению кубического уравнения.

сообщает нам, Евтоций что метод, который он использовал для решения кубического уравнения, принадлежал Дионисодору (250–190 до н.э.). Дионисодор решил кубику посредством пересечения прямоугольной гиперболы и параболы. Это было связано с задачей Архимеда « О сфере и цилиндре» . Конические сечения изучались и использовались на протяжении тысячелетий греческими, а затем исламскими и европейскими математиками. В частности, Аполлония Пергского знаменитая «Коника» , помимо других тем, посвящена коническим сечениям.

Китай

Смотрите также: китайская математика

Китайская математика датируется по крайней мере 300 г. до н.э., и ее появление связано с « Чжоуби Суаньцзин» , который обычно считается одним из старейших китайских математических документов.

искусстве

Девять глав о математическом искусстве

«Чиу-чан суань-шу», или «Девять глав математического искусства» , написанные около 250 г. до н. э., являются одной из самых влиятельных книг по математике в Китае и содержат около 246 задач. Восьмая глава посвящена решению одновременных определенных и неопределенных линейных уравнений с использованием положительных и отрицательных чисел, причем одна задача связана с решением четырех уравнений с пятью неизвестными.

Морское зеркало круговых измерений

Цэ-юань хай-цзин , или «Морское зеркало круговых измерений» , представляет собой сборник из примерно 170 задач, написанных Ли Чжи (или Ли Е) (1192–1279 гг. н.э.). Он использовал фан фа , или метод Горнера , для решения уравнений степени до шести, хотя и не описал свой метод решения уравнений.

в девяти

Шу-шу цю-чан , или Математический трактат в девяти разделах , был написан богатым правителем и министром Цинь Цзю-шао (ок. 1202 – ок. 1261). С введением метода решения одновременных сравнений , который теперь называется китайской теоремой об остатках , это знаменует собой высшую точку в китайском неопределенном анализе. .

Магические квадраты

Треугольник Ян Хуэй (Паскаля), изображенный древними китайцами с помощью стержневых цифр .

Самые ранние известные магические квадраты появились в Китае. В девяти главах автор решает систему одновременных линейных уравнений, помещая коэффициенты и постоянные члены линейных уравнений в магический квадрат (т.е. матрицу) и выполняя операции сокращения столбцов в магическом квадрате. Самые ранние известные магические квадраты порядка больше трех приписываются Ян Хуэю (ок. 1261–1275), который работал с магическими квадратами порядка десяти.

Драгоценное Зеркало Четырех Элементов

Ссы-юань ю-чиен 《四元玉鑒》, или Драгоценное зеркало четырех стихий , было написано Чу Ши-цзе в 1303 году и знаменует собой пик развития китайской алгебры. Четыре элемента , называемые небом, землей, человеком и материей, представляли четыре неизвестных величины в его алгебраических уравнениях. Сы -юань ю-цянь имеет дело с одновременными уравнениями и уравнениями степеней до четырнадцати. Для решения этих уравнений автор использует метод веера fa , сегодня называемый методом Горнера .

« Драгоценное зеркало» открывается диаграммой арифметического треугольника ( треугольника Паскаля ) с использованием символа круглого нуля, но Чу Ши-цзе отрицает это. Похожий треугольник появляется в работе Ян Хуэя, но без символа нуля.

приведено множество уравнений суммирования без доказательства В « Драгоценном зеркале» . Вот некоторые из обобщений:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 3!}$

$1+8+30+80+\cdots +{n^{2}(n+1)(n+2) \over 3!}={n(n+1)(n+2)(n+3)(4n+1) \over 5!}$

Диофант

Смотрите также: Диофантово уравнение и арифметика.

Обложка издания 1621 года « Арифметики переведенной на латынь Клодом Гаспаром Баше де Мезириаком. » Диофанта ,

Диофант был эллинистическим математиком, жившим ок. 250 г. н.э., но неопределенность этой даты настолько велика, что она может отклоняться более чем на столетие. Он известен тем, что написал «Арифметику» , трактат, первоначально состоявший из тринадцати книг, но из которых сохранились только первые шесть. «Арифметика» — самая ранняя из сохранившихся работ, в которых арифметические задачи решаются с помощью алгебры. Однако Диофант не изобрел метод алгебры, существовавший до него. Алгебра практиковалась и распространялась устно практиками, а Диофант осваивал методы решения арифметических задач.

В современной алгебре многочлен — это линейная комбинация переменной x, состоящая из возведения в степень, скалярного умножения, сложения и вычитания. Алгебра Диофанта, подобно средневековой арабской алгебре, представляет собой совокупность объектов разных типов без каких-либо операций.

Например, у Диофанта многочлен «6 4 ′ обратные степени, 25 степеней без 9 единиц», который в современных обозначениях равен $6{\tfrac {1}{4}}x^{-1}+25x^{2}-9$ представляет собой коллекцию $6{\tfrac {1}{4}}$ объект одного типа с 25 объектами второго типа, в которых отсутствуют 9 объектов третьего типа без каких-либо операций.

Подобно средневековой арабской алгебре, Диофант использует три этапа для решения задачи по алгебре:

1) Называется неизвестное и составляется уравнение.

2) Уравнение упрощается до стандартной формы (аль-джабр и аль-мукабала по-арабски).

3) Упрощенное уравнение решено

Диофант не дает классификации уравнений на шесть типов, как Аль-Хорезми в дошедших до нас частях «Арифметики». Он говорит, что позже даст решение уравнениям с тремя членами, так что эта часть работы, возможно, просто потеряна.

В Арифметике Диофант первым использовал символы для неизвестных чисел, а также сокращения для степеней чисел, отношений и операций; поэтому он использовал то, что сейчас известно как синкопированная алгебра. Основное отличие диофантовой синкопированной алгебры от современных алгебраических обозначений состоит в том, что в первой отсутствовали специальные символы для операций, отношений и экспонент.

Так, например, то, что мы напишем как

$x^{3}-2x^{2}+10x-1=5,$

который можно переписать как

$\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5,$

будет записано в синкопированной записи Диофанта как

$\mathrm {K} ^{\upsilon }{\overline {\alpha }}\;\zeta {\overline {\iota }}\;\,\pitchfork \;\,\Delta ^{\upsilon }{\overline {\beta }}\;\mathrm {M} {\overline {\alpha }}\,\;$ἴ $\sigma \;\,\mathrm {M} {\overline {\varepsilon }}$

где символы обозначают следующее:

Символ	Что это собой представляет
${\overline {\alpha }}$	1
${\overline {\beta }}$	2
${\overline {\varepsilon }}$	5
${\overline {\iota }}$	10
равный	«равно» (сокращение от ἴσος )
$\pitchfork$	представляет собой вычитание всего, что следует за этим $\pitchfork$ до ἴσ
$\mathrm {M}$	нулевая степень (т.е. постоянный член)
$\zeta$	неизвестное количество (поскольку число $x$ возведенный в первую степень - это просто $x,$ это можно рассматривать как «первую силу»)
$\Delta ^{\upsilon }$	вторая сила, от греческого δύναμις , что означает силу или власть
$\mathrm {K} ^{\upsilon }$	третья степень, от греческого κύβος , что означает куб
$\Delta ^{\upsilon }\Delta$	четвертая власть
$\Delta \mathrm {K} ^{\upsilon }$	пятая власть
$\mathrm {K} ^{\upsilon }\mathrm {K}$	шестая власть

В отличие от современных обозначений, коэффициенты идут после переменных, и это сложение представляет собой сопоставление членов. Буквальный посимвольный перевод синкопированного уравнения Диофанта в современное символическое уравнение будет следующим:

${x^{3}}1{x}10-{x^{2}}2{x^{0}}1={x^{0}}5$

где уточнить, если используются современные круглые скобки и плюс, то приведенное выше уравнение можно переписать так:

$\left({x^{3}}1+{x}10\right)-\left({x^{2}}2+{x^{0}}1\right)={x^{0}}5$

Однако Джеффри Оукс и Джин Кристианидис считают различие между «риторической алгеброй», «синкопированной алгеброй» и «символической алгеброй» устаревшим. Задачи решались на доске с использованием некоторых обозначений, а в книгах решения записывались в «риторическом стиле».

Арифметика также использует тождества:

$(a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})$	$=(ac+db)^{2}+(bc-ad)^{2}$
	$=(ad+bc)^{2}+(ac-bd)^{2}$

Индия

Смотрите также: индийская математика

Индийские математики активно изучали системы счисления. Самые ранние известные индийские математические документы датируются примерно серединой первого тысячелетия до нашей эры (около VI века до нашей эры).

Постоянными темами индийской математики являются, среди прочего, определенные и неопределенные линейные и квадратные уравнения, простые измерения и тройки Пифагора.

Арьябхата

Арьябхата (476–550) был индийским математиком, автором книги «Арьябхатия» . В нем он дал правила,

$1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={n(n+1)(2n+1) \over 6}$

и

$1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}=(1+2+\cdots +n)^{2}$

Брахма Спхута Сиддханта

Брахмагупта (628 г.) был индийским математиком, написавшим книгу «Брахма Спхута Сиддханта» . В своей работе Брахмагупта решает общее квадратное уравнение как для положительных, так и для отрицательных корней. В неопределенном анализе Брахмагупта дает пифагорейские триады. $m,{\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}-n\right),$ ${\frac {1}{2}}\left({m^{2} \over n}+n\right),$ но это модифицированная форма старого вавилонского правила, с которым, возможно, был знаком Брахмагупта. Он был первым, кто дал общее решение линейного диофантова уравнения. $ax+by=c,$ где $a,b,$ и $c$ являются целыми числами . В отличие от Диофанта, который дал только одно решение неопределенного уравнения, Брахмагупта дал все целочисленные решения; но то, что Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, побудило некоторых историков рассмотреть возможность греческого влияния на работы Брахмагупты или, по крайней мере, общего вавилонского источника.

Как и алгебра Диофанта, алгебра Брахмагупты была синкопированной. Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание — установкой точки над вычитаемым, а деление — размещением делителя под делимым, аналогично нашим современным обозначениям, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины обозначались сокращениями соответствующих терминов. Степень греческого влияния на эту синкопу, если таковая имеется, неизвестна, и вполне возможно, что и греческая, и индийская синкопа могут происходить из общего вавилонского источника.

Бхаскара II

Бхаскара II (1114 – ок. 1185) был ведущим математиком XII века. В алгебре он дал общее решение уравнения Пелла . Он является автором книг «Лилавати» и «Виджа-Ганита» , которые содержат задачи, связанные с определенными и неопределенными линейными и квадратными уравнениями, а также тройками Пифагора. и он не может отличить точные и приблизительные утверждения. Многие проблемы Лилавати и Виджа-Ганиты заимствованы из других индуистских источников, поэтому Бхаскара лучше всех справляется с неопределенным анализом.

Бхаскара использует начальные символы названий цветов как символы неизвестных переменных. Так, например, то, что мы сегодня напишем как

$(-x-1)+(2x-8)=x-9$

Бхаскара написал бы так

. _ .

ya 1 ru 1

.

ya 2 ru 8

.

Sum ya 1 ru 9

где «я» указывает на первый слог слова « черный» , а «ру» взято из слова «вид» . Точки над цифрами обозначают вычитание.

Исламский мир

Страница из «Сборника по расчету путем завершения и балансировки» .

Смотрите также: исламская математика

В первом веке существования Исламской Арабской империи почти не было научных или математических достижений, поскольку арабы с их недавно завоеванной империей еще не обрели никакого интеллектуального стремления, а исследования в других частях мира угасли. Во второй половине VIII века в исламе произошло культурное пробуждение, а исследования в области математики и естественных наук увеличились. Говорят, что мусульманскому Аббасидов халифу аль-Мамуну (809–833) приснился сон, в котором ему явился Аристотель, и, как следствие, аль-Мамун приказал сделать арабский перевод как можно большего числа греческих произведений, включая «Альмагест» Птолемея и Евклида Элементы . Греческие произведения будут переданы мусульманам Византийской империей в обмен на договоры, поскольку между двумя империями существовал непростой мир. Многие из этих греческих произведений были переведены Сабитом ибн Куррой (826–901), который перевел книги, написанные Евклидом, Архимедом, Аполлонием, Птолемеем и Евтоцием.

Арабские математики выделили алгебру как самостоятельную дисциплину и дали ей название «алгебра» ( аль-джабр ). Они были первыми, кто начал преподавать алгебру в элементарной форме и ради самой алгебры. Существует три теории происхождения арабской алгебры. Первый подчеркивает индуистское влияние, второй подчеркивает месопотамское или персидско-сирийское влияние, а третий подчеркивает греческое влияние. Многие учёные полагают, что это результат сочетания всех трёх источников.

На протяжении всего времени своего пребывания у власти арабы пользовались полностью риторической алгеброй, где зачастую даже числа записывались словами. В конечном итоге арабы заменили прописанные числа (например, двадцать два) арабскими цифрами (например, 22), но арабы не приняли и не разработали синкопированную или символическую алгебру. до работы Ибн аль-Банны , который разработал символическую алгебру в 13 веке, а затем Абу аль-Хасана ибн Али аль-Каласади в 15 веке.

Аль-Джабр ва'ль Мукабала

См. Также: Сборник расчетов путем завершения и балансировки.

Слева: оригинальная арабская печатная рукопись «Книги алгебры» Аль-Хорезми . Справа: страница из «Алгебра Аль-Хорезми» книги Фредрика Розена на английском языке .

Мусульманин Персидский математик Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми , описанный как отец или основатель алгебры ) , был преподавателем « Дома мудрости » ( Бейт аль-Хикма в Багдаде, который был основан Аль-Мамуном. Аль-Хорезми, умерший около 850 г. н. э., написал более полдюжины математических и астрономических работ. Одна из самых известных книг аль-Хорезми называется « Аль-джабр валь мукабала» , или «Сборная книга по вычислениям путем завершения и балансировки» , и в ней дается исчерпывающее описание решения многочленов до второй степени . В книге также представлены фундаментальные концепции « редукции » и «балансировки», относящиеся к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть отмене подобных членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую аль-Хорезми первоначально назвал « аль-Джабр» . Название «алгебра» происходит от слова « аль-джабр » в названии его книги.

Р. Рашед и Анджела Армстронг пишут:

«Текст Аль-Хорезми можно рассматривать как отличный не только от вавилонских табличек , но и от Диофанта » «Арифметики . Он больше не касается ряда проблем, которые необходимо решить, а представляет собой изложение , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны дать все возможные прототипы уравнений, которые отныне явно составляют истинный объект исследования. С другой стороны, идея уравнения сама по себе появляется с самого начала и, можно сказать, в общем виде, поскольку она есть. не просто возникает в ходе решения задачи, а специально призван определить бесконечный класс задач».

Аль-Джабр разделен на шесть глав, каждая из которых посвящена разным типам формул. Первая глава « Аль-Джабра» посвящена уравнениям, квадраты которых равны корням. $\left(ax^{2}=bx\right),$ во второй главе речь идет о квадратах, равных числу $\left(ax^{2}=c\right),$ в третьей главе рассматриваются корни, равные числу $\left(bx=c\right),$ в четвертой главе речь идет о квадратах и ​​корнях, равных числу $\left(ax^{2}+bx=c\right),$ пятая глава посвящена квадратам и корням равного числа. $\left(ax^{2}+c=bx\right),$ а шестая и последняя глава посвящена корням и числам, равным квадратам. $\left(bx+c=ax^{2}\right).$

Страницы из арабской копии книги XIV века, на которых показаны геометрические решения двух квадратных уравнений.

В «Аль-Джабре » аль-Хорезми использует геометрические доказательства: он не узнает корень $x=0,$ и он имеет дело только с положительными корнями. Он также признает, что дискриминант должен быть положительным, и описал метод заполнения квадрата , хотя и не оправдывает эту процедуру. Греческое влияние проявляется в Аль-Джабра. геометрических основах и одной проблемой, взятой у Герона. Он использует буквенные диаграммы, но все коэффициенты во всех его уравнениях представляют собой конкретные числа, поскольку у него не было возможности выразить с помощью параметров то, что он мог выразить геометрически; хотя предполагается общность метода.

Аль-Хорезми, скорее всего, не знал об «Арифметике» Диофанта , который стал известен арабам где-то до X века. И хотя аль-Хорезми, скорее всего, знал о работе Брахмагупты, Аль-Джабр придерживается полной риторики, даже записывая цифры словами. Так, например, то, что мы напишем как

$x^{2}+10x=39$

Диофант написал бы так:

$\Delta ^{\Upsilon }{\overline {\alpha }}\varsigma {\overline {\iota }}\,\;$ἴ $\sigma \;\,\mathrm {M} \lambda {\overline {\theta }}$

И аль-Хорезми написал бы так:

Один квадрат и десять корней равны тридцати девяти дирхемам ; то есть, каким должен быть квадрат, который, умноженный на десять собственных корней, составит тридцать девять?

в

Абд аль-Хамид ибн Тюрк является автором рукописи под названием «Логические необходимости в смешанных уравнениях» » аль-Хварзими , которая очень похожа на « Аль-Джабр и была опубликована примерно в то же время, а, возможно, даже раньше, чем «Аль-Джабр» . Рукопись дает точно такую ​​же геометрическую демонстрацию, как и в Аль-Джабре , и в одном случае тот же пример, что и в Аль-Джабре , и даже выходит за рамки Аль-Джабра , давая геометрическое доказательство того, что если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение не имеет решения. Сходство между этими двумя работами привело некоторых историков к выводу, что арабская алгебра, возможно, была хорошо развита ко времени аль-Хорезми и Абд аль-Хамида.

Абу Камиль и аль-Караджи

Арабские математики рассматривали иррациональные числа как алгебраические объекты. Египетский коэффициентов математик Абу Камил Шуджа ибн Аслам (ок. 850–930) был первым, кто принял иррациональные числа в форме квадратного корня или корня четвертой степени в качестве решений квадратных уравнений или в качестве в уравнении. Он также был первым, кто решил одновременно три нелинейных уравнения с тремя неизвестными переменными .

Аль-Караджи (953–1029), также известный как Аль-Кархи, был преемником Абу аль-Вафа аль-Бузджани (940–998) и открыл первое численное решение уравнений вида $ax^{2n}+bx^{n}=c.$ Аль-Караджи рассматривал только положительные корни. Он также считается первым человеком, который освободил алгебру от геометрических операций и заменил их арифметическими операциями , которые сегодня лежат в основе алгебры. Его работа по алгебре и многочленам дала правила арифметических операций по управлению многочленами. Историк математики Ф. Вепке в «Extrait du Fakhri», «Traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi» ( Париж , 1853 г.) похвалил Аль-Караджи за то, что он «первый, кто представил теорию алгебраического исчисления». Исходя из этого, Аль-Караджи исследовал биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля .

Туси и аль

Омар Хайям

Решить уравнение третьей степени $x^{3}+a^{2}x=b$ Хайям построил параболу $x^{2}=ay,$, круг диаметром $b/a^{2},$ и вертикальная линия, проходящая через точку пересечения. Решение определяется длиной отрезка горизонтальной линии от начала координат до пересечения вертикальной линии и $x$-ось.

Омар Хайям (ок. 1050–1123) написал книгу по алгебре, которая вышла за рамки Аль-Джабра и включила уравнения третьей степени. Омар Хайям предоставил как арифметические, так и геометрические решения квадратных уравнений, но он дал геометрические решения только для общих кубических уравнений , поскольку ошибочно считал, что арифметические решения невозможны. Его метод решения кубических уравнений с использованием пересекающихся коник использовался Менехмом , Архимедом и Ибн аль-Хайсамом (Альхазеном) , но Омар Хайям обобщил этот метод, чтобы охватить все кубические уравнения с положительными корнями. Он рассматривал только положительные корни и не пошел дальше третьей степени. Он также видел сильную связь между геометрией и алгеброй.

В XII веке Шараф ад-Дин ат-Туси (1135–1213) написал « Аль-Муадалат» ( «Трактат об уравнениях »), в котором рассматривались восемь типов кубических уравнений с положительными решениями и пять типов кубических уравнений, которые не могут быть решены. иметь положительные решения. Он использовал то, что позже будет известно как « метод Руффини - Хорнера », для численной аппроксимации корня кубического уравнения. Он также разработал концепции максимумов и минимумов кривых для решения кубических уравнений, которые могут не иметь положительных решений. Он понял важность дискриминанта кубического уравнения и использовал раннюю версию формулы Кардано. находить алгебраические решения некоторых типов кубических уравнений. Некоторые ученые, такие как Рошди Рашид, утверждают, что Шараф ад-Дин открыл производную кубических многочленов и осознал ее значение, в то время как другие ученые связывают свое решение с идеями Евклида и Архимеда.

Шараф ад-Дин также разработал понятие функции . В своем анализеуравнение $x^{3}+d=bx^{2}$ например, он начинает с изменения формы уравнения на $x^{2}(b-x)=d$. Затем он утверждает, что вопрос о том, имеет ли уравнение решение, зависит от того, достигнет ли «функция» в левой части значения $d$. Чтобы определить это, он находит максимальное значение функции. Он доказывает, что максимальное значение имеет место, когда $x={\frac {2b}{3}}$, что дает функциональное значение ${\frac {4b^{3}}{27}}$. Затем Шараф ад-Дин заявляет, что если это значение меньше $d$, положительных решений нет; если оно равно $d$, то существует одно решение в $x={\frac {2b}{3}}$; и если оно больше $d$, то есть два решения, одно между $0$ и ${\frac {2b}{3}}$ и один между ${\frac {2b}{3}}$ и $b$.

В начале 15 века Джамшид аль-Каши разработал раннюю форму метода Ньютона для численного решения уравнения. $x^{P}-N=0$ найти корни $N$. Аль-Каши также разработал десятичные дроби и утверждал, что открыл их сам. Однако Дж. Леннарт Берггренн отмечает, что он ошибался, поскольку десятичные дроби впервые были использованы за пять столетий до него багдадским математиком Абуль-Хасаном аль-Уклидиси еще в X веке.

Аль-Хассар, Ибн аль-Банна и

Аль-Хассар , математик из Марокко, специализирующийся на исламском наследовании в XII веке, разработал современную символическую математическую систему обозначений дробей , в которой числитель и знаменатель разделены горизонтальной чертой. Такое же дробное обозначение вскоре появилось в работах Фибоначчи в 13 веке.

Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каласади (1412–1486) был последним крупным средневековым арабским алгебраистом, предпринявшим первую попытку создания алгебраической записи после Ибн аль-Банны двумя столетиями ранее, который сам был первым, кто сделал такую попытка со времен Диофанта и Брахмагупты в древние времена. Однако в синкопированных обозначениях его предшественников не хватало символов для математических операций . Аль-Каласади «сделал первые шаги к введению алгебраической символики, используя буквы вместо цифр». и «используя короткие арабские слова или просто их начальные буквы в качестве математических символов».

Европа и Средиземноморский регион

Подобно тому, как смерть Гипатии сигнализирует о закрытии Александрийской библиотеки как математического центра, смерть Боэция сигнализирует о конце математики в Западной Римской империи . велась определенная работа Хотя в Афинах , она подошла к концу, когда в 529 году византийский император Юстиниан закрыл языческие философские школы. 529 год теперь считается началом средневекового периода. Ученые бежали с Запада на более гостеприимный Восток, особенно в Персию , где они нашли убежище при царе Хосрове и основали то, что можно было бы назвать «Афинской Академией в изгнании». По договору с Юстинианом Хосров в конечном итоге вернет ученых в Восточную империю . В Средние века европейская математика находилась в самом низу своего развития: математические исследования состояли в основном из комментариев к древним трактатам; и большая часть этих исследований была сосредоточена в Византийской империи . Концом средневекового периода считается падение Константинополя турками в 1453 году.

Позднее Средневековье

В XII веке наблюдался поток переводов с арабского языка на латынь , а к XIII веку европейская математика начала конкурировать с математикой других стран. Решение кубического уравнения Фибоначчи в 13 веке символизирует начало возрождения европейской алгебры.

В то время как исламский мир приходил в упадок после 15 века, европейский мир находился на подъеме. И именно здесь алгебра получила дальнейшее развитие.

Символическая алгебра

Современные обозначения арифметических операций были введены между концом 15-го века и началом 16-го века Йоханнесом Видманом и Михаэлем Стифелем . В конце 16 века Франсуа Виет ввёл символы, теперь называемые переменными , для обозначения неопределённых или неизвестных чисел. Это создало новую алгебру, состоящую из вычислений с символьными выражениями, как если бы они были числами.

Другим ключевым событием в дальнейшем развитии алгебры стало общее алгебраическое решение уравнений кубической и четвертой степени , разработанное в середине 16 века. Идея определителя была развита японским математиком Кова Секи в 17 веке, а десять лет спустя — Готфридом Лейбницем с целью решения систем одновременных линейных уравнений с использованием матриц . Габриэль Крамер также работал над матрицами и определителями в 18 веке.

Символ х

По традиции первую неизвестную переменную в алгебраической задаче сегодня обозначают символом ${\mathit {x}}$ а если есть второе или третье неизвестное, то они помечаются ${\mathit {y}}$ и ${\mathit {z}}$ соответственно. алгебраический $x$ обычно печатается курсивом, чтобы отличить его от знака умножения.

Математические историки в целом согласен, что использование $x$ в алгебре был введен Рене Декартом и впервые опубликован в его трактате «Геометрия» (1637). В этой работе он использовал буквы из начала алфавита. $(a,b,c,\ldots )$ для известных величин и букв с конца алфавита $(z,y,x,\ldots )$ для неизвестных. Было высказано предположение, что позже он остановился на $x$ (вместо $z$) впервые был неизвестен из-за его относительно большего количества во французских и латинских типографских шрифтах того времени.

Три альтернативные теории происхождения алгебраических $x$ были предложены в 19 веке: (1) символ, используемый немецкими алгебраистами и предположительно произошедший от скорописной буквы. $r,$ ошибочно принимают за $x$; (2) цифра 1 с косым перечеркиванием ; и (3) арабский/испанский источник (см. ниже). Но швейцарско-американский историк математики Флориан Каджори изучил их и обнаружил, что всем трем не хватает конкретных доказательств; Каджори назвал Декарта создателем и описал свою $x,y,$ и $z$ как «свободные от традиций[,] и их выбор чисто произвольный».

Тем не менее, испано-арабская гипотеза продолжает присутствовать в массовой культуре и сегодня. Это утверждение, что алгебраическое $x$ это аббревиатура предполагаемого заимствования арабского слова в староиспанском языке. Теория возникла в 1884 году у немецкого востоковеда Поля де Лагарда , вскоре после того, как он опубликовал свое издание испанско-арабского двуязычного глоссария 1505 года. в котором испанский cosa («вещь») сочетался с его арабским эквивалентом شىء ( shay ^ʔ ), транскрибируется как xei . (Звук «ш» в староиспанском языке обычно писался $x.$) Очевидно, Лагард знала, что арабские математики на «риторической» стадии развития алгебры часто использовали это слово для обозначения неизвестной величины. Он предположил, что «нет ничего более естественного» («Nichts war также natürlicher...»), чем инициал арабского слова, латинизированного как древнеиспанское. $x$— быть принятым для использования в алгебре. Более поздний читатель переосмыслил гипотезу Лагард как «доказавшую» ее точку зрения. Лагард не знала, что ранние испанские математики использовали не транскрипцию арабского слова, а его перевод на свой язык «cosa». нет примеров xei или подобных форм. В нескольких составленных исторических словарях испанского языка

Готфрид Лейбниц

Хотя математическое понятие функции было неявным в тригонометрических и логарифмических таблицах , существовавших в его время, Готфрид Лейбниц был первым, в 1692 и 1694 годах, кто использовал его явно для обозначения любого из нескольких геометрических понятий, полученных из кривой, таких как абсцисса , ордината , тангенс , хорда и перпендикуляр . В XVIII веке «функция» утратила эти геометрические ассоциации.

Лейбниц понял, что коэффициенты системы линейных уравнений можно объединить в массив, который теперь называется матрицей , которым можно манипулировать, чтобы найти решение системы, если таковое имеется. Этот метод позже был назван методом исключения Гаусса . Лейбниц также открыл булеву алгебру и символическую логику , также имеющие отношение к алгебре.

Абстрактная алгебра

Способность заниматься алгеброй – это навык, развиваемый в рамках математического образования . Как объяснил Эндрю Уорвик, студенты Кембриджского университета в начале 19 века практиковали «смешанную математику». выполнение упражнений на основе физических переменных, таких как пространство, время и вес. Со временем связь переменных с физическими величинами исчезла по мере развития математической техники. Со временем математика полностью сосредоточилась на абстрактных многочленах , комплексных числах , гиперкомплексных числах и других понятиях. Приложение к физическим ситуациям тогда называлось прикладной математикой или математической физикой , а область математики расширилась и включила абстрактную алгебру . Например, проблема конструктивных чисел выявила некоторые математические ограничения, и была развита область теории Галуа .

Отец алгебры

Титул «отца алгебры» часто приписывают персидскому математику Аль-Хорезми . поддержанный историками математики , такими как Карл Бенджамин Бойер , Соломон Гандз и Бартель Леендерт ван дер Варден . Однако этот вопрос является спорным, и название иногда приписывают эллинистическому математику Диофанту . Те, кто поддерживает Диофанта, указывают на то, что алгебра, найденная в Аль-Джабре , более элементарна , чем алгебра, найденная в Арифметике , и что Арифметика синкопирована, в то время как Аль-Джабр полностью риторический. Однако историк математики Курт Фогель возражает против того, чтобы Диофант носил этот титул: поскольку его математика была не намного более алгебраической, чем у древних вавилонян .

Те, кто поддерживает Аль-Хорезми, указывают на тот факт, что он дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями: и был первым, кто преподавал алгебру в элементарной форме и ради нее самой, тогда как Диофант занимался прежде всего теорией чисел . Аль-Хорезми также ввел фундаментальную концепцию «сокращения» и «балансировки» (для обозначения которой он первоначально использовал термин аль-джабр ), имея в виду перенос вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть сокращение подобных членов в противоположных частях уравнения. Другие сторонники Аль-Хорезми указывают на то, что его алгебра больше не занимается «серией проблем, которые необходимо решить, а представляет собой изложение , которое начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы уравнений, которые отныне явно составляют истинные объект исследования». Они также указывают на его трактовку уравнения ради самого уравнения и «в общем виде, поскольку оно не просто возникает в ходе решения задачи, а специально призвано определить бесконечный класс задач». Виктор Дж. Кац считает Аль-Джабра первым сохранившимся настоящим текстом по алгебре.

Досовременная алгебра была разработана и использовалась купцами и геодезистами как часть того, что Йенс Хойруп назвал «донаучной» традицией. Диофант использовал этот метод алгебры в своей книге, в частности для неопределенных задач, а Аль-Хорезми написал одну из первых книг на арабском языке об общем методе решения уравнений.

См. также

• Аль-Мансур - второй халиф Аббасидов (годы правления 754–775)
• Хронология алгебры - Известные события в истории алгебры

Источники

• Алькала, Педро де (1505 г.), De lingua arabica , Гранадское издание Поля де Лагарда, Геттинген: Арнольд Хойер, 1883 г.
• Алонсо, Мартин [на испанском языке] (1986), Словарь средневекового испанского языка , Саламанка: Папский университет Саламанки
• Аурель, Марко (1552), Первая книга по алгебраической арифметике , Валенсия: Джоан де Мей
• Башмакова И ; Смирнова, Г. (2000). Возникновение и эволюция алгебры . Математические изложения Дольчиани. Том. 23. Перевод Эйба Шенитцера. Математическая ассоциация Америки.
• Бойер, Карл Б. (1991), История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN  978-0-471-54397-8
• Бертон, Дэвид М. (1995), История математики Бертона: Введение (3-е изд.), Дубьюк: Wm. К. Браун
• Бертон, Дэвид М. (1997), История математики: введение (3-е изд.), The McGraw-Hill Companies, Inc., ISBN  978-0-07-009465-9
• Каджори, Флориан (1919), «Как x стал обозначать неизвестную величину» , School Science and Mathematics , 19 (8): 698–699, doi : 10.1111/j.1949-8594.1919.tb07713.x
• Каджори, Флориан (1928), История математических обозначений , Чикаго: Open Court Publishing, ISBN  9780486161167
• Кук, Роджер (1997), История математики: краткий курс , Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-18082-1
• Дербишир, Джон (2006), Неизвестное количество: реальная и воображаемая история алгебры , Вашингтон, округ Колумбия: Джозеф Генри Пресс, ISBN  978-0-309-09657-7
• Декарт, Рене (1637), Геометрия , Лейден: Ян Мэр. Интернет, 2008 г., изд. Л. Германн, Проект Гутенберг.
• Декарт, Рене (1925), Геометрия Рене Декарта , Чикаго: Открытый суд, ISBN  9781602066922
• Диес, Хуан (1556 г.), Краткое изложение кент серебра и золота, которые в королевствах Пиру необходимы торговцам: и всем типам торговцев, с некоторыми правилами арифметики , Мехико.
• Энестрем, Густав (1905), «Маленькие сообщения» , Bibliotheca Mathematica , сер. 3, 6 (онлайн-доступ только в США)
• Флегг, Грэм (1983), Числа: их история и значение , публикации Dover, ISBN  978-0-486-42165-0
• Хит, Томас Литтл (1981a), История греческой математики , Том I , Дуврские публикации, ISBN  978-0-486-24073-2
• Хит, Томас Литтл (1981b), История греческой математики , Том II , Дуврские публикации, ISBN  978-0-486-24074-9
• Джейкоб, Георг (1903), «Восточные элементы культуры на Западе» , Годовой отчет Попечительского совета Смитсоновского института [...] за год, закончившийся 30 июня 1902 г .: 509–529
• Кастен, Ллойд А .; Коди, Флориан Дж. (2001), Предварительный словарь средневекового испанского языка (2-е изд.), Нью-Йорк: Латиноамериканская семинария средневековых исследований.
• Кац, Виктор Дж.; Паршалл, Карен Хангер (2014), Укрощение неизвестного: история алгебры от античности до начала двадцатого века , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-1-400-85052-5
• Лагард, Поль де (1884), «Откуда взялся математический x?» , Связь , вып. 1, Геттинген: Книжный магазин Dieterichsche Range, стр. 134–137.
• Нуньес, Педро (1567), Книга алгебры по арифметике и геометрии , Антверпен: Арнольдо Биркман
• Эльшлегер, Виктор Р.Б. (1940), Средневековый испанский список слов , Мэдисон: University of Wisconsin Press
• Ортега, Хуан де (1552), Tractado subtilissimo de arismetica и геометрии , Гранада: Рене Рабу
• Перес де Мойя, Хуан [на испанском языке] (1562), Практическая и умозрительная арифметика , Саламанка: Матиас Гаст
• Пуч, Андрес (1672), Арифметика спекулятивная и практическая; и искусство алгебры , Барселона: Антонио Лакаваллерия
• Райдер, Робин Э. (1982), Библиография ранней современной алгебры, 1500–1800 , Беркли: Статьи Беркли по истории науки
• Сезиано, Жак (1999), Введение в историю алгебры: решение уравнений от месопотамских времен до эпохи Возрождения , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  9780821844731
• Стиллвелл, Джон (2004), Математика и ее история (2-е изд.), Springer Science + Business Media Inc., ISBN  978-0-387-95336-6
• Свец, Фрэнк Дж. (2013), Европейское математическое пробуждение: путешествие по истории математики, 1000–1800 (2-е изд.), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN  9780486498058
• Тропфке, Йоханнес (1902), История элементарной математики в систематическом изложении , том. 1, Лейпциг: Veit & Comp.

Внешние ссылки

• «Комментарий исламского шейха Закарии аль-Ансари к стихотворению Ибн аль-Хаима о науке алгебры и балансировании, называемому «Прозрение Создателя в объяснении убедительного», в котором представлены основные концепции алгебры, относящиеся к 15 веку, из World Digital Библиотека .