Полнота действительных чисел

Не путать с полнотой (логикой) .

Полнота — это свойство действительных чисел , которое интуитивно означает отсутствие «пробелов» (в терминологии Дедекинда) или «недостающих точек» в прямой числовой линии . Это контрастирует с рациональными числами , чья соответствующая числовая линия имеет «пробел» в каждом иррациональном значении. В десятичной системе счисления полнота эквивалентна утверждению, что любая бесконечная строка десятичных цифр на самом деле является десятичным представлением некоторого действительного числа.

В зависимости от конструкции используемых действительных чисел полнота может принимать форму аксиомы ( аксиомы полноты ), а может быть теоремой, доказываемой из конструкции. Существует множество эквивалентных форм полноты, наиболее известными из которых являются полнота по Дедекинду и полнота Коши ( полнота как метрическое пространство ).

Формы полноты

Действительные числа можно определить синтетически как упорядоченное поле, удовлетворяющее некоторой версии аксиомы полноты . Различные версии этой аксиомы эквивалентны в том смысле, что любое упорядоченное поле, удовлетворяющее одной форме полноты, удовлетворяет всем из них, за исключением теоремы о полноте Коши и теоремы о вложенных интервалах, которые строго слабее в том смысле, что существуют неархимедовы поля , которые упорядочены и Коши завершен. Когда вместо этого действительные числа конструируются с использованием модели, полнота становится теоремой или набором теорем.

Свойство наименьшей верхней границы

Основная статья: Свойство с наименьшей верхней границей

Свойство наименьшей верхней границы утверждает, что каждое непустое подмножество действительных чисел, имеющее верхнюю границу (или ограниченное сверху), должно иметь наименьшую верхнюю границу (или верхнюю границу) в множестве действительных чисел.

Линия рациональных чисел Q не обладает свойством наименьшей верхней границы. Примером может служить подмножество рациональных чисел.

$S=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}.$

Этот набор имеет верхнюю границу. Однако это множество не имеет наименьшей верхней границы в Q верхняя граница для подмножества действительных чисел будет √2 , но она не существует в Q. : наименьшая Для любой верхней границы x ∈ Q существует другая верхняя граница y ∈ Q такая, что y < x .

Например, возьмем x = 1,5 , тогда x заведомо является верхней границей S , поскольку x положителен и x ² = 2,25 ≥ 2 ; то есть ни один элемент S не больше x . Однако мы можем выбрать меньшую верхнюю границу, скажем, y = 1,45 ; это также верхняя граница S по тем же причинам, но она меньше, чем , поэтому x не является наименьшей верхней границей S. x Мы можем действовать аналогичным образом, чтобы найти верхнюю границу S , которая меньше y , скажем, = 1,42 и т. д., так что мы никогда не найдем наименьшую верхнюю границу S в Q. z

Свойство наименьшей верхней границы можно обобщить на случай частично упорядоченных множеств . См. полнота (теория порядка) .

Дедекиндова полнота

см . в разделе «Полнота Дедекинда» . Более общие понятия, носящие это название,

Дедекиндова полнота — это свойство, заключающееся в том, что каждое дедекиндово сечение действительных чисел порождается действительным числом. В синтетическом подходе к действительным числам именно эта версия полноты чаще всего включается в качестве аксиомы.

Прямая рациональных чисел Q не является дедекиндовой. Примером может служить разрез Дедекинда.

$L=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\vee x<0\}.$

$R=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 2\wedge x>0\}.$

У L нет максимума, а у R нет минимума, поэтому этот разрез не порождается рациональным числом.

Существует конструкция действительных чисел , основанная на идее использования дедекиндовых разрезов рациональных чисел для обозначения действительных чисел; например, разрез (L, R), описанный выше, будет называться ${\sqrt {2}}$. Если бы кто-то повторил построение действительных чисел с помощью дедекиндовых разрезов (т. е. «замкнул» множество действительных чисел, добавив все возможные дедекиндовы разрезы), то не получил бы никаких дополнительных чисел, поскольку действительные числа уже являются дедекиндовыми.

Полнота Коши

Полнота Коши — это утверждение, что каждая последовательность Коши действительных чисел сходится к действительному числу.

Прямая рациональных чисел Q не является полной по Коши. Примером может служить следующая последовательность рациональных чисел:

$3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.142,\quad 3.1416,\quad \ldots$

Здесь n- й член последовательности — это n- е десятичное приближение числа pi . Хотя это последовательность рациональных чисел Коши, она не сходится ни к одному рациональному числу. (В этой прямой числовой последовательность сходится к числу Пи.)

Полнота Коши связана с построением действительных чисел с использованием последовательностей Коши. По сути, этот метод определяет действительное число как предел последовательности Коши рациональных чисел.

В математическом анализе полнота Коши может быть обобщена до понятия полноты для любого метрического пространства . См. полное метрическое пространство .

Для упорядоченного поля полнота Коши слабее, чем другие формы полноты на этой странице. Но полнота Коши и архимедово свойство, взятые вместе, эквивалентны остальным.

Теорема

Основная статья: Вложенные интервалы

Теорема о вложенных интервалах — еще одна форма полноты. Пусть I _n = [ an _{, и} , bn _{предположим ,} ] — последовательность замкнутых интервалов что эти интервалы вложены в том смысле, что

$I_{1}\;\supset \;I_{2}\;\supset \;I_{3}\;\supset \;\cdots$

Более того, предположим, что b _n − a _n → 0 при n → +∞ . Теорема о вложенных интервалах утверждает, что пересечение всех интервалов I _n содержит ровно одну точку.

Линия рациональных чисел не удовлетворяет теореме о вложенных интервалах. Например, последовательность (члены которой получены из цифр числа пи предложенным способом)

$[3,4]\;\supset \;[3.1,3.2]\;\supset \;[3.14,3.15]\;\supset \;[3.141,3.142]\;\supset \;\cdots$

представляет собой вложенную последовательность замкнутых интервалов рациональных чисел, пересечение которых пусто. (В действительных числах пересечение этих интервалов содержит число пи .)

Теорема о вложенных интервалах имеет тот же логический статус, что и полнота Коши в этом спектре выражений полноты. Другими словами, теорема о вложенных интервалах сама по себе слабее других форм полноты, хотя в совокупности с архимедовым свойством она эквивалентна остальным.

Принцип открытой индукции

Принцип открытой индукции гласит, что непустое открытое подмножество $S$ интервала $[a,b]$ должен быть равен всему интервалу, если для любого $r\in [a,b]$, у нас это есть $[a,r)\subset S$ подразумевает $[a,r]\subset S$.

Используя доказательства от противного, можно показать, что принцип открытой индукции эквивалентен дедекиндовой полноте для произвольных упорядоченных множеств в порядковой топологии. В более слабых основаниях, таких как конструктивный анализ , где закон исключенного третьего не выполняется, полная форма свойства наименьшей верхней границы не работает для вещественных чисел Дедекинда, в то время как свойство открытой индукции остается верным в большинстве моделей (следуя теореме Брауэра о баре ) и достаточно силен, чтобы дать короткие доказательства ключевых теорем.

Теорема

Теорема монотонной сходимости (описанная как фундаментальная аксиома анализа) Кёрнером ) утверждает, что каждая неубывающая ограниченная последовательность действительных чисел сходится. Это можно рассматривать как частный случай свойства наименьшей верхней границы, но его также можно использовать довольно напрямую для доказательства полноты Коши действительных чисел.

–

Теорема Больцано-Вейерштрасса утверждает, что каждая ограниченная последовательность действительных чисел имеет сходящуюся подпоследовательность . Опять же, эта теорема эквивалентна другим формам полноты, приведенным выше.

Теорема

Теорема о промежуточном значении утверждает, что каждая непрерывная функция, которая принимает как отрицательные, так и положительные значения, имеет корень. Это следствие свойства наименьшей верхней границы, но его также можно использовать для доказательства свойства наименьшей верхней границы, если рассматривать его как аксиому. (Определение непрерывности не зависит от какой-либо формы полноты, поэтому цикличности нет: имеется в виду, что теорема о промежуточном значении и свойство наименьшей верхней границы являются эквивалентными утверждениями.)

См. также

• Список реальных тем анализа

Дальнейшее чтение

• Алипрантис, Хараламбос Д .; Буркиншоу, Оуэн (1998). Принципы реального анализа (3-е изд.). Академический. ISBN  0-12-050257-7 .
• Браудер, Эндрю (1996). Математический анализ: Введение . Тексты для бакалавриата по математике . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-94614-4 .
• Бартл, Роберт Г.; Шерберт, Дональд Р. (2000). Введение в реальный анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-32148-6 .
• Эбботт, Стивен (2001). Понимание анализа . Тексты для бакалавриата по математике. Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN  0-387-95060-5 .
• Рудин, Уолтер (1976). Принципы математического анализа . Студенческая серия Уолтера Рудина по высшей математике (3-е изд.). МакГроу-Хилл. ISBN  9780070542358 .
• Дангелло, Фрэнк; Сейфрид, Майкл (1999). Вводный реальный анализ . Брукс Коул. ISBN  9780395959336 .
• Брессуд, Дэвид (2007). Радикальный подход к реальному анализу . МАА . ISBN  978-0-88385-747-2 .