Список реальных тем анализа

Это список статей, которые считаются реальными темами анализа.

Общие темы [ править ]

Ограничения [ править ]

Предел последовательности
- Последующий предел - предел некоторой подпоследовательности.
Предел функции ( см. Список пределов для списка пределов общих функций )
- Односторонний предел - любой из двух пределов функций действительных переменных x, когда x приближается к точке сверху или снизу.
- Теорема о сжатии - подтверждает предел функции путем сравнения с двумя другими функциями.
- Обозначение Big O - используется для описания предельного поведения функции, когда аргумент стремится к определенному значению или бесконечности, обычно в терминах более простых функций.

Последовательности и серии [ править ]

( см. также список математических рядов )

Арифметическая прогрессия – последовательность чисел, в которой разница между последовательными членами постоянна.
- Обобщенная арифметическая прогрессия - последовательность чисел, в которой разница между последовательными членами может быть одной из нескольких возможных констант.
Геометрическая прогрессия - последовательность чисел, в которой каждый последующий член находится путем умножения предыдущего на фиксированное ненулевое число.
Гармоническая прогрессия - последовательность, образованная путем взятия обратных членов арифметической прогрессии.
Конечная последовательность - см . последовательность
Бесконечная последовательность - см . последовательность
Расходящаяся последовательность - см. предел последовательности или расходящейся серии.
Сходящаяся последовательность - см. предел последовательности или сходящегося ряда.
- Последовательность Коши - последовательность, элементы которой по мере продвижения последовательности становятся сколь угодно близкими друг к другу.
Сходящийся ряд - ряд, последовательность частичных сумм которого сходится.
Расходящийся ряд - ряд, последовательность частичных сумм которого расходится.
Степенной ряд – ряд формы $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots$ $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(xc\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(xc)^ {1}+a_{2}(xc)^{2}+a_{3}(xc)^{3}+\cdots$
- Ряд Тейлора – ряд вида $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$ $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2} +{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(xa)^{3}+\cdots .$
  - Серия Маклорена - см. Серию Тейлора.
    - Биномиальный ряд – ряд Маклорена функции f , заданный формулой f ( x ) = (1 + x ) ^а
Телескопическая серия
Переменная серия
Геометрическая серия
- Расходящиеся геометрические ряды
Гармоническая серия
ряд Фурье
Серия Ламберт

суммирования Методы [ править ]

Суммирование Чезаро
суммирование Эйлера
Суммирование Ламберта
Суммирование Бореля
Суммирование по частям - преобразует суммирование произведений в другие суммирования.
Чезаро означает
Формула суммирования Абеля

Более сложные темы [ править ]

Свертка
- Произведение Коши – это дискретная свертка двух последовательностей.
Последовательность Фарея - последовательность полностью уменьшенных дробей от 0 до 1.
Колебание – это поведение последовательности действительных чисел или вещественной функции, которое не сходится, но и не расходится к +∞ или −∞; а также является количественной мерой этого.
Неопределенные формы – алгебраические выражения, полученные в контексте пределов. К неопределенным формам относятся 0 ⁰, 0/0, 1 ^∞, ∞ − ∞, ∞/∞, 0 × ∞ и ∞ ⁰.

Конвергенция [ править ]

Распределения [ править ]

Вариант [ править ]

Производные [ править ]

Вторая производная
- Точка перегиба – найдена с помощью вторых производных
Производная по направлению , Полная производная , Частная производная

Правила дифференциации [ править ]

Линейность дифференциации
Правило продукта
Правило частного
Правило цепочки
Теорема об обратной функции - дает достаточные условия для того, чтобы функция была обратимой в окрестности точки ее области определения, а также дает формулу для производной обратной функции.

Дифференциация в геометрии и топологии [ править ]

см. также Список тем по дифференциальной геометрии.

Дифференцируемое многообразие
Дифференцируемая структура
Субмерсия - дифференцируемое отображение между дифференцируемыми многообразиями, дифференциал которого всюду сюръективен.

Интегралы [ править ]

(см. также Списки интегралов )

Первообразная
- Основная теорема исчисления - теорема о первообразных
Множественный интеграл
Повторный интеграл
Несобственный интеграл
- Главное значение Коши - метод присвоения значений некоторым несобственным интегралам.
Линейный интеграл
Теорема Андерсона - говорит, что интеграл интегрируемой, симметричной, унимодальной, неотрицательной функции по n -мерному выпуклому телу ( K ) не уменьшается, если K переносится внутрь к началу координат.

Теория интегрирования и меры [ править ]

см. также Список тем по теории интегрирования и меры.

Фундаментальные теоремы

Теорема о монотонной сходимости - связывает монотонность со сходимостью.
Теорема о промежуточном значении - утверждает, что для каждого значения между наименьшей верхней границей и наибольшей нижней границей изображения непрерывной функции существует хотя бы одна точка в ее области определения, которую функция отображает в это значение.
Теорема Ролля - по сути, утверждает, что дифференцируемая функция, которая достигает равных значений в двух различных точках, должна иметь точку где-то между ними, где первая производная равна нулю.
Теорема о среднем значении - что, учитывая дугу дифференцируемой кривой, на этой дуге есть хотя бы одна точка, в которой производная кривой равна «средней» производной дуги.
Теорема Тейлора - дает приближение $k$ раз дифференцируемая функция вокруг данной точки по $k$ Полином Тейлора -го порядка.
Правило Лопиталя - использует производные, чтобы помочь оценить пределы, включающие неопределенные формы.
Теорема Абеля - связывает предел степенного ряда с суммой его коэффициентов.
Теорема об обращении Лагранжа - дает ряд Тейлора для обратной аналитической функции.
Теорема Дарбу - утверждает, что все функции, возникающие в результате дифференцирования других функций, обладают свойством промежуточного значения: образ интервала также является интервалом.
Теорема Гейне-Бореля - иногда используется как определяющее свойство компактности.
Теорема Больцано – Вейерштрасса - утверждает, что каждая ограниченная последовательность в $\mathbb {R} ^{n}$ имеет сходящуюся подпоследовательность
Теорема об экстремальных значениях - утверждает, что если функция $f$ непрерывен в замкнутом и ограниченном интервале $[a,b]$ , то оно должно достигать максимума и минимума

Основные темы [ править ]

Числа [ править ]

Действительные числа [ править ]

Конкретные цифры [ править ]

Наборы [ править ]

Карты [ править ]

Картирование сокращений
Метрическая карта
Фиксированная точка - точка функции, которая отображается сама на себя.

Прикладные математические инструменты [ править ]

Бесконечные выражения [ править ]

Неравенства [ править ]

См. список неравенств

Средства [ править ]

Ортогональные полиномы [ править ]

Классические ортогональные полиномы

Пространства [ править ]

Евклидово пространство
Метрическое пространство
- Теорема Банаха о неподвижной точке - гарантирует существование и уникальность неподвижных точек определенных автокарт метрических пространств, предоставляет метод их поиска.
- Полное метрическое пространство
Топологическое пространство
- Функциональное пространство
  - Пространство последовательности
Компактное пространство

Меры [ править ]

Мера Лебега
Внешняя мера
- мера Хаусдорфа
Теорема о доминируемой сходимости - обеспечивает достаточные условия, при которых коммутируют два предельных процесса, а именно интегрирование Лебега и сходимость почти всюду последовательности функций.

Поле наборов [ править ]

Сигма-алгебра

Исторические личности [ править ]

Связанные области анализа [ править ]

Асимптотический анализ - изучает метод описания предельного поведения.
Выпуклый анализ - изучает свойства выпуклых функций и выпуклых множеств.
- Список тем, посвященных выпуклости
Гармонический анализ - изучает представление функций или сигналов в виде суперпозиций основных волн.
- Список тем гармонического анализа
Анализ Фурье - изучает ряды Фурье и преобразования Фурье.
- Список тем анализа Фурье
- Список преобразований, связанных с Фурье
Комплексный анализ - изучает расширение реального анализа за счет включения комплексных чисел.
Функциональный анализ - изучает векторные пространства, наделенные предельными структурами, и линейные операторы, действующие на эти пространства.
Нестандартный анализ – изучает математический анализ с использованием строгого подхода к бесконечно малым числам .

См. также [ править ]

Исчисление , классическое исчисление Ньютона и Лейбница .
Нестандартное исчисление — строгое применение бесконечно малых в смысле нестандартного анализа к классическому исчислению Ньютона и Лейбница.

Общие темы [ править ]

Ограничения [ править ]

Последовательности и серии [ править ]

суммирования Методы [ править ]

Более сложные темы [ править ]

Конвергенция [ править ]

Тесты сходимости [ править ]

Функции [ править ]

Преемственность [ править ]

Распределения [ править ]

Вариант [ править ]

Производные [ править ]

Правила дифференциации [ править ]

Дифференциация в геометрии и топологии [ править ]

Интегралы [ править ]

Теория интегрирования и меры [ править ]

Фундаментальные теоремы ​ ​

Основные темы [ править ]

Числа [ править ]

Действительные числа [ править ]

Конкретные цифры [ править ]

Наборы [ править ]

Карты [ править ]

Прикладные математические инструменты [ править ]

Бесконечные выражения [ править ]

Неравенства [ править ]

Средства [ править ]

Ортогональные полиномы [ править ]

Пространства [ править ]

Меры [ править ]

Поле наборов [ править ]

Исторические личности [ править ]

Связанные области анализа [ править ]

См. также [ править ]

Фундаментальные теоремы