Нестандартное исчисление

В математике нестандартное исчисление — это современное применение бесконечно малых в смысле нестандартного анализа к исчислению бесконечно малых . Он обеспечивает строгое обоснование некоторых аргументов в исчислении, которые ранее считались просто эвристическими .

Нестрогие вычисления с бесконечно малыми широко использовались до того, как Карл Вейерштрасс попытался заменить их (ε, δ)-определением предела, начиная с 1870-х годов. (См. историю исчисления .) В течение почти ста лет после этого математики, такие как Ричард Курант, считали бесконечно малые числа наивными, расплывчатыми или бессмысленными.

Вопреки таким взглядам, Абрахам Робинсон показал в 1960 году, что бесконечно малые числа точны, ясны и значимы, основываясь на работах Эдвина Хьюитта и Ежи Лося . По словам Говарда Кейслера , «Робинсон решил проблему трехсотлетней давности, дав точное рассмотрение бесконечно малых величин. Достижение Робинсона, вероятно, будет считаться одним из главных математических достижений двадцатого века».

История

История нестандартного исчисления началась с использования бесконечно малых величин, называемых бесконечно малыми в исчислении . Использование бесконечно малых можно найти в основах исчисления, независимо разработанных Готфридом Лейбницем и Исааком Ньютоном, начиная с 1660-х годов. Джон Уоллис усовершенствовал более ранние методы определения неделимых Кавальери и других , используя бесконечно малую величину, которую он обозначил. ${\tfrac {1}{\infty }}$ в расчетах площадей, подготавливая почву для интегрального исчисления . Они опирались на работы таких математиков, как Пьер де Ферма , Исаак Барроу и Рене Декарт .

В раннем исчислении использование бесконечно малых величин подвергалось критике со стороны ряда авторов, в первую очередь Мишеля Ролля и Бишопа Беркли в его книге «Аналитик» .

Некоторые математики, в том числе Маклорен и Даламбер , выступали за использование пределов. Огюстен Луи Коши разработал универсальный спектр основополагающих подходов, включая определение непрерывности в терминах бесконечно малых и (несколько неточный) прототип аргумента ε, δ при работе с дифференцированием. Карл Вейерштрасс формализовал концепцию предела в контексте (действительной) системы счисления без бесконечно малых. После работы Вейерштрасса в конечном итоге стало обычным основывать исчисление на аргументах ε, δ вместо бесконечно малых.

Этот подход, формализованный Вейерштрассом, стал известен как стандартное исчисление. После многих лет, когда подход бесконечно малых величин к исчислению вышел из употребления, кроме как в качестве вводного педагогического инструмента, использование бесконечно малых величин наконец получило строгую основу Абрахамом Робинсоном в 1960-х годах. Подход Робинсона называется нестандартным анализом, чтобы отличить его от стандартного использования пределов. В этом подходе использовался технический аппарат математической логики для создания теории гипердействительных чисел , которая интерпретирует бесконечно малые таким образом, который позволяет в стиле Лейбница развивать обычные правила исчисления. Альтернативный подход, разработанный Эдвардом Нельсоном , находит бесконечно малые числа на самой обычной вещественной прямой и включает в себя модификацию базовой установки путем расширения ZFC за счет введения нового унарного предиката «стандарт».

Мотивация

Чтобы вычислить производную $f'$ функции $y=f(x)=x^{2}$ в x оба подхода согласны с алгебраическими манипуляциями:

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x\approx 2x$

Это становится вычислением производных с использованием гиперреальности, если $\Delta x$ интерпретируется как бесконечно малая величина и символ " $\approx$" - это отношение "бесконечно близко к".

Чтобы сделать f ' действительнозначной функцией, последний член $\Delta x$ обходится без. В стандартном подходе с использованием только действительных чисел это делается путем принятия предела как $\Delta x$ стремится к нулю. В гиперреальном подходе величина $\Delta x$ считается бесконечно малым, ненулевым числом, которое ближе к 0, чем к любому ненулевому вещественному числу. Манипуляции, показанные выше, показывают, что $\Delta y/\Delta x$ бесконечно близко к 2 x , поэтому производная f в точке x тогда равна 2 x .

Отбрасывание «термина ошибки» достигается применением стандартной функции части . Отказ от бесконечно малых погрешностей исторически считался парадоксальным некоторыми авторами, в первую очередь Джорджем Беркли .

Как только гипердействительная система счисления (континуум, обогащенный бесконечно малыми величинами) создана, можно успешно решить большую часть технических трудностей на базовом уровне. Таким образом, методы эпсилон-дельта , которые некоторые считают сутью анализа, могут быть реализованы раз и навсегда на базовом уровне, и студентов не нужно «одевать для выполнения многокванторных логических трюков под предлогом того, что их учат бесконечно малым». исчисление », цитируя недавнее исследование. Более конкретно, основные понятия исчисления, такие как непрерывность, производная и интеграл, могут быть определены с использованием бесконечно малых без ссылки на эпсилон и дельту (см. следующий раздел).

Учебник Кейслера

В книге Кейслера «Элементарное исчисление: бесконечно малый подход» непрерывность определяется на странице 125 в терминах бесконечно малых, исключая эпсилон и дельта-методы.Производная определена на стр. 45 с использованием бесконечно малых величин, а не с помощью эпсилон-дельта-подхода.Интеграл определен на стр. 183 в терминах бесконечно малых.Эпсилон, определения дельты представлены на стр. 282.

Определение производной

Гиперреальные объекты могут быть построены в рамках теории множеств Цермело-Френкеля , стандартной аксиоматизации теории множеств, используемой в других областях математики. Чтобы дать интуитивное представление о гиперреальном подходе, обратите внимание, что, наивно говоря, нестандартный анализ постулирует существование положительных чисел ε, которые бесконечно малы , а это означает, что ε меньше любого стандартного положительного действительного числа, но больше нуля. Каждое действительное число x окружено бесконечно малым «облаком» бесконечно близких к нему гипердействительных чисел. Чтобы определить производную f по стандартному действительному числу x в этом подходе, больше не нужен бесконечный предельный процесс, как в стандартном исчислении. Вместо этого устанавливается

$f'(x)=\mathrm {st} \left({\frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*}(x)}{\varepsilon }}\right),$

где st — стандартная часть функции , дающая действительное число, бесконечно близкое к гипердействительному аргументу st , и $f^{*}$ является естественным продолжением $f$ в гиперреальность.

Преемственность

Действительная функция f является непрерывной при стандартном действительном числе x, если для каждого гипервещественного x', бесконечно близкого к x , значение f ( x' ) также бесконечно близко к f ( x ). Это отражает Коши определение непрерывности, данное в его учебнике «Курс анализа» 1821 года , стр. 34.

Здесь, если быть точным, f следует заменить его естественным гиперреальным расширением, обычно обозначаемым f ^* (см. обсуждение принципа переноса в основной статье нестандартного анализа ).

Используя обозначения $\approx$ для отношения бесконечной близости, как указано выше,определение можно распространить на произвольные (стандартные или нестандартные) точки следующим образом:

Функция f является микронепрерывной в точке x, если всякий раз, когда $x'\approx x$, у одного есть $f^{*}(x')\approx f^{*}(x)$

Здесь предполагается, что точка x' находится в области (естественного расширения) f .

Приведенное выше требует меньшего количества кванторов, чем ( ε , δ )-определение, знакомое из стандартного элементарного исчисления:

f непрерывна в точке x, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для любого x' , когда бы | х - х' | < δ , имеем | ж ( Икс ) - ж ( Икс ' )| < е .

непрерывность

Функция f на интервале I является равномерно непрерывной , если ее естественное расширение f * в I * обладает следующим свойством (см. Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых величин ('07), стр. 45):

для каждой пары гиперреалов x и y в I *, если $x\approx y$ затем $f^{*}(x)\approx f^{*}(y)$.

В терминах микронепрерывности, определенной в предыдущем разделе, это можно сформулировать следующим образом: действительная функция является равномерно непрерывной, если ее естественное расширение f* микронепрерывно в каждой точке области определения f*.

Это определение имеет уменьшенную кванторную сложность по сравнению со стандартным (ε, δ)-определением . А именно, эпсилон-дельта-определение равномерной непрерывности требует четырех кванторов, тогда как бесконечно малое определение требует только двух кванторов. Оно имеет ту же кванторную сложность, что и определение равномерной непрерывности в терминах последовательностей в стандартном исчислении, которое, однако, не выражается на первого порядка языке действительных чисел .

Гиперреальное определение можно проиллюстрировать следующими тремя примерами.

Пример 1: функция f равномерно непрерывна на полуинтервале (0,1] тогда и только тогда, когда ее естественное расширение f* микронепрерывно (в смысле приведенной выше формулы) на каждой положительной бесконечно малой, помимо непрерывности в стандартных точках интервала.

Пример 2: функция f равномерно непрерывна на полуинтервале [0,∞) тогда и только тогда, когда она непрерывна в стандартных точках отрезка, и, кроме того, естественное расширение f * микронепрерывно на каждой положительной бесконечности гиперреальная точка.

Пример 3: аналогично, нарушение равномерной непрерывности функции возведения в квадрат

$x^{2}$

связано с отсутствием микронепрерывности в одной бесконечной гиперреальной точке, см. ниже.

сделал следующие замечания Что касается сложности кванторов, Кевин Хьюстон :

Количество кванторов в математическом утверждении дает приблизительную оценку его сложности. Утверждения, включающие три или более квантификаторов, могут быть трудными для понимания. Это основная причина, почему в анализе трудно понять строгие определения предела, сходимости, непрерывности и дифференцируемости, поскольку они имеют множество кванторов. По сути, это чередование $\forall$ и $\exists$ это вызывает сложность.

Андреас Бласс писал следующее:

Часто... нестандартное определение понятия проще, чем стандартное определение (как интуитивно проще, так и проще в техническом смысле, например, кванторы более низких типов или меньшее количество чередований кванторов).

Компактность

Множество A компактно тогда и только тогда, когда его естественное расширение A* обладает следующим свойством: каждая точка из A* бесконечно близка к точке из A. Таким образом, открытый интервал (0,1) не компактен, поскольку его естественное расширение содержит положительные бесконечно малые числа, которые не бесконечно близки к любому положительному действительному числу.

-

Тот факт, что непрерывная функция на компактном интервале I обязательно равномерно непрерывна ( теорема Гейне–Кантора ), допускает краткое гипервещественное доказательство. Пусть x , y гиперреалы в естественном расширении * I. — I Поскольку I компактен, и st( x ), и st( y принадлежат I. ) Если бы x и y были бесконечно близки, то по неравенству треугольника они имели бы одну и ту же стандартную часть.

$c=\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y).$

Поскольку функция предполагается непрерывной в точке c,

$f(x)\approx f(c)\approx f(y),$

и, следовательно, f ( x ) и f ( y ) бесконечно близки, что доказывает равномерную непрерывность f .

Почему функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной?

Пусть f ( x ) = x ² определено на $\mathbb {R}$. Позволять $N\in \mathbb {R} ^{*}$ быть бесконечной гиперреальностью. Гиперреальное число $N+{\tfrac {1}{N}}$ близок к N. бесконечно При этом разница

$f(N+{\tfrac {1}{N}})-f(N)=N^{2}+2+{\tfrac {1}{N^{2}}}-N^{2}=2+{\tfrac {1}{N^{2}}}$

не является бесконечно малым. Следовательно, f* не может быть микронепрерывным в гиперреальной N. точке Таким образом, функция возведения в квадрат не является равномерно непрерывной в соответствии с определением равномерной непрерывности, приведенным выше.

Аналогичное доказательство можно дать в стандартной постановке ( Фитцпатрик 2006 , пример 3.15).

Пример: функция Дирихле

Рассмотрим функцию Дирихле

$I_{Q}(x):={\begin{cases}1&{\text{ if }}x{\text{ is rational}},\\0&{\text{ if }}x{\text{ is irrational}}.\end{cases}}$

Хорошо известно, что согласно стандартному определению непрерывности функция разрывна в каждой точке. Давайте проверим это с точки зрения гиперреального определения непрерывности, приведенного выше, например, покажем, что функция Дирихле не является непрерывной в точке π. Рассмотрим аппроксимацию цепной дроби a _n числа π. Теперь пусть индекс n — бесконечное сверхнатуральное число. По принципу переноса естественное расширение функции Дирихле принимает значение 1 в точке _n . Заметим, что гиперрациональная точка a _n бесконечно близка к π. Таким образом, естественное расширение функции Дирихле принимает разные значения (0 и 1) в этих двух бесконечно близких точках, и, следовательно, функция Дирихле не является непрерывной в точке π .

Ограничить

Хотя суть подхода Робинсона заключается в том, что можно отказаться от подхода с использованием множественных кванторов, понятие предела может быть легко отражено в терминах стандартной функции части st , а именно

$\lim _{x\to a}f(x)=L$

тогда и только тогда, когда всякий раз, когда разность x − a бесконечно мала, разность f ( x ) − L также бесконечно мала или в формулах:

если st( x ) = a, то st( f ( x )) = L,

ср. (д, г)-определение предела .

Предел последовательности

Дана последовательность действительных чисел $\{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$, если $L\in \mathbb {R}$ L — предел последовательности и

$L=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

если для каждого бесконечного сверхнатурального n st( x _n ) = L (здесь принцип расширения используется для определения x _n для каждого гиперцелого n ).

Это определение не имеет кванторных изменений. С другой стороны, стандартное определение в стиле (ε, δ) имеет изменения кванторов:

$L=\lim _{n\to \infty }x_{n}\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} \;,\forall n\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon .$

экстремальных

Чтобы показать, что действительная непрерывная функция f на [0,1] имеет максимум, пусть N — бесконечное гиперцелое число . Интервал [0, 1] имеет естественное гипервещественное расширение. Функция f также естественным образом распространяется на гипердействительные числа между 0 и 1. Рассмотрим разделение гипердействительного интервала [0,1] на N подинтервалов равной бесконечно малой длины 1/ N с точками разделения x _i = i / N , поскольку i "бегает от 0 до Н. " В стандартной ситуации (когда N конечно) точку с максимальным значением f всегда можно выбрать среди N +1 точек x _i по индукции. Следовательно, по принципу переноса существует гиперцелое число i ₀ такое, что 0 ⩽ i ₀ ⩽ N и $f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})$ для всех i = 0, …, N (альтернативное объяснение состоит в том, что каждое гиперконечное множество допускает максимум). Рассмотрим реальную точку

$c={\rm {st}}(x_{i_{0}})$

где st — стандартная часть функции . Произвольная вещественная точка x лежит в подходящем подинтервале разбиения, а именно $x\in [x_{i},x_{i+1}]$, так что st ( x _i ) = x . Применяя st к неравенству $f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})$, ${\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))\geq {\rm {st}}(f(x_{i}))$. По непрерывности f ,

${\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))=f({\rm {st}}(x_{i_{0}}))=f(c)$.

Следовательно, f ( c ) ≥ f ( x ) для всех x , что доказывает, что c является максимумом действительной функции f . См. Кейслер (1986 , стр. 164).

Теорема

В качестве еще одной иллюстрации силы подхода Робинсона краткое доказательство теоремы о промежуточном значении (теоремы Больцано) с использованием бесконечно малых выполняется следующим образом.

Пусть f — непрерывная функция на [ a , b ] такая, что f ( a )<0, а f ( b )>0. Тогда существует точка c в [ a , b ] такая, что f ( c )=0.

Доказательство проводится следующим образом. Пусть N — бесконечное гиперцелое число . Рассмотрим разбиение [ a , b ] на N интервалов одинаковой длины с точками разделения x _i, i пробегает от 0 до N. когда Рассмотрим набор I индексов таких, что f ( x _i )>0. Пусть i ₀ — наименьший элемент из I (такой элемент существует по принципу переноса , так как I — гиперконечное множество ). Тогда действительное число

$$c=\mathrm {st} (x_{i_{0}})$$

является желаемым нулем f .Такое доказательство снижает кванторную сложность стандартного доказательства IVT.

Основные теоремы

Если f — функция с действительным знаком, определенная на интервале [ a , b ], то оператор переноса, примененный к f , обозначаемый *f , является внутренней функцией с гипердействительным знаком, определенной на гипердействительном интервале [* a , * b ] .

Теорема : Пусть f — вещественная функция, определенная наинтервал [ а , б ]. Тогда f дифференцируема при a < x < b тогда и только тогда, когдадля каждого ненулевого бесконечно малого h значение

$\Delta _{h}f:=\operatorname {st} {\frac {[{}^{*}\!f](x+h)-[{}^{*}\!f](x)}{h}}$

не зависит от h . В этом случае общим значением является производная f в точке x .

Этот факт следует из принципа переноса нестандартного анализа и перелива .

Обратите внимание, что аналогичный результат справедлив для дифференцируемости в конечных точках a , b при условии, что знак бесконечно малого h соответствующим образом ограничен.

Во второй теореме интеграл Римана определяется как предел, если он существует, направленного семейства сумм Римана ; это суммы вида

$\sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})$

где

$a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}=b.$

Такая последовательность значений называется разделом или сеткой и

$\sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})$

ширина сетки. В определении интеграла Римана предел сумм Римана берется при стремлении ширины сетки к 0.

Теорема : Пусть f — вещественная функция, определенная наинтервал [ а , б ]. Тогда f интегрируемо по Риману на [ a , b ] тогда и только тогда, когдадля каждой внутренней сетки бесконечно малой ширины величина

$S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})$

не зависит от сетки. В этом случае общее значение равноинтеграл Римана от f по [ a , b ].

Приложения

Одним из непосредственных применений является расширение стандартных определений дифференцирования и интегрирования на внутренние функции на интервалах гипердействительных чисел.

Внутренняя гипердействительная функция f на [ a, b ] S -дифференцируема в точке x при условии, что

$\Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

существует и не зависит от бесконечно малого h . Значением является производная S в точке x .

Теорема : Предположим, что f является S -дифференцируемым в каждой точке [ a, b ], где b − a — ограниченное гипервещество. Предположим, кроме того, что

$|f'(x)|\leq M\quad a\leq x\leq b.$

Тогда для некоторого бесконечно малого ε

$|f(b)-f(a)|\leq M(b-a)+\epsilon .$

Чтобы доказать это, пусть N — нестандартное натуральное число. Разделите интервал [ a , b ] на N подинтервалов, разместив N - 1 промежуточные точки на равном расстоянии друг от друга:

$a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b$

Затем

$|f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{|f'(x_{k})|+\epsilon _{k}\right\}|x_{k+1}-x_{k}|.$

Теперь максимум любого внутреннего набора бесконечно малых является бесконечно малым. Таким образом, во всех εk _{доминирует} бесконечно малое ε. Поэтому,

$|f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M(b-a)+\epsilon (b-a)$

откуда следует результат.

См. также

• Адекватность
• Критика нестандартного анализа
• Использование Архимедом бесконечно малых величин
• Элементарное исчисление: бесконечно малый подход
• Неклассический анализ

Ссылки

• Фитцпатрик, Патрик (2006), Продвинутое исчисление , Брукс/Коул
• Х. Джером Кейслер: Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых. Первое издание 1976 г.; 2-е издание, 1986 г. (Эта книга больше не издается. Издатель вернул авторские права автору, который предоставил 2-е издание в формате .pdf, доступное для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/ ~keisler/calc.html .)
• Х. Джером Кейслер: Основы исчисления бесконечно малых, доступно для загрузки по адресу http://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.html (10 января 2007 г.)
• Бласс, Андреас (1978), «Обзор: Мартин Дэвис, Прикладной нестандартный анализ, и К.Д. Строян и В.А.Дж. Люксембург, Введение в теорию бесконечно малых, и Х. Джером Кейслер, Основы исчисления бесконечно малых» , Bull. амер. Математика. Соц. , 84 (1): 34–41, doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2
• Барон, Маргарет Э .: Истоки исчисления бесконечно малых. Pergamon Press, Оксфорд-Эдинбург-Нью-Йорк, 1969. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1987. (Новое издание книги Барона появилось в 2004 году).
• «Бесконечное исчисление» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Кейслер, Х. Джером (2007). Элементарное исчисление: бесконечно малый подход . Дуврские публикации. ISBN  978-0-48-648452-5 . Онлайн-версия (2022 г.)

• Хенле, Джеймс М.; Кляйнберг, Юджин М. (1979). Бесконечно-малое исчисление . Дуврские публикации. ISBN  978-0-48-642886-4 . Исчисление бесконечно малых в Интернет-архиве

• Краткое исчисление (2005 г., ред. 2015 г.) Бенджамина Кроуэла. Этот короткий текст предназначен больше для самостоятельного изучения или повторения, чем для использования в классе. При необходимости используются бесконечно малые числа, и они рассматриваются более строго, чем в старых книгах, таких как «Легкое исчисление» Томпсона , но менее подробно, чем в « Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых» Кейслера .