Гладкий бесконечно малый анализ

Гладкий анализ бесконечно малых — это современная переформулировка исчисления в терминах бесконечно малых . Основываясь на идеях Ф. В. Ловера и используя методы теории категорий , он рассматривает все функции как непрерывные и неспособные быть выраженными через дискретные сущности. Как теория, это подмножество синтетической дифференциальной геометрии . Теренс Тао назвал эту концепцию «дешевым нестандартным анализом».

Ниль -квадрат или нильпотентные бесконечно малые числа — это числа ε, где ε ² = 0 истинно, но ε = 0 не обязательно должно быть истинным одновременно. В частности, в Calculus Made Easy используются нильпотентные бесконечно малые числа.

Обзор

Этот подход отходит от классической логики, используемой в традиционной математике, отрицая закон исключенного третьего , например, НЕ ( a ≠ b ) не подразумевает a = b . В частности, в теории гладкого бесконечно малого анализа можно доказать для всех бесконечно малых ε , NOT ( ε ≠ 0); однако доказуемо неверно, что все бесконечно малые равны нулю. Можно видеть, что закон исключенного третьего не может выполняться из следующей основной теоремы (опять же, понимаемой в контексте теории гладкого бесконечно малого анализа):

Любая функция, областью определения которой является R , действительные числа , непрерывна и бесконечно дифференцируема .

Несмотря на этот факт, можно было бы попытаться определить разрывную функцию f ( x ), указав, что f ( x ) = 1 для x = 0 и f ( x ) = 0 для x ≠ 0. Если бы выполнялся закон исключенного третьего , то это будет полностью определенная разрывная функция. Однако существует множество x , а именно бесконечно малых чисел, таких, что ни x = 0, ни x ≠ 0 не выполняются, поэтому функция не определена для действительных чисел.

В типичных моделях гладкого бесконечно малого анализа бесконечно малые числа не обратимы, и поэтому теория не содержит бесконечных чисел. Однако существуют также модели, включающие обратимые бесконечно малые.

Существуют и другие математические системы, включающие бесконечно малые числа, в том числе нестандартный анализ и сюрреалистические числа . Гладкий анализ бесконечно малых величин похож на нестандартный анализ в том смысле, что (1) он призван служить основой для анализа и (2) бесконечно малые величины не имеют конкретных размеров (в отличие от сюрреалистических явлений, в которых типичная бесконечно малая равна 1/ ω , где ω — ординал фон Неймана ). Однако гладкий бесконечно малый анализ отличается от нестандартного анализа использованием неклассической логики и отсутствием принципа переноса . Некоторые теоремы стандартного и нестандартного анализа неверны в гладком анализе бесконечно малых, включая теорему о промежуточном значении и парадокс Банаха-Тарского . Утверждения нестандартного анализа можно перевести в утверждения о пределах , но то же самое не всегда верно в гладком анализе бесконечно малых.

Интуитивно гладкий бесконечно малый анализ можно интерпретировать как описание мира, в котором линии состоят из бесконечно малых сегментов, а не из точек. Эти сегменты можно рассматривать как достаточно длинные, чтобы иметь определенное направление, но недостаточно длинные, чтобы их можно было изогнуть. Построение разрывных функций не удается, поскольку функция отождествляется с кривой, а кривая не может быть построена поточечно. Мы можем представить себе провал теоремы о промежуточном значении как результат способности бесконечно малого сегмента пересекать прямую. Точно так же парадокс Банаха-Тарского терпит неудачу, поскольку объем нельзя разбить на точки.

См. также

• Теория категорий
• Нестандартный анализ
• Синтетическая дифференциальная геометрия
• Двойной номер

Дальнейшее чтение

• Джон Лейн Белл , Приглашение к сглаживанию бесконечно малого анализа (файл PDF)
• Ике Мёрдейк и Рейес, GE, Модели для гладкого бесконечно малого анализа , Springer-Verlag, 1991.

Внешние ссылки

• Майкл О'Коннор, Введение в гладкий бесконечно малый анализ