Теорема о промежуточном значении

Теорема о промежуточном значении: пусть $f$ — непрерывная функция, определенная на $[a,b]$ и пусть $s$ быть числом с $f(a)<s<f(b)$. Тогда существует некоторый $x$ между $a$ и $b$ такой, что $f(x)=s$.

В математическом анализе теорема о промежуточном значении утверждает, что если $f$ — непрерывная функция которой , область определения содержит интервал [ a , b ] , то она принимает любое заданное значение между $f(a)$ и $f(b)$ в какой-то момент интервала.

Это имеет два важных следствия :

1. Если непрерывная функция внутри интервала имеет значения противоположного знака, то она имеет корень в этом интервале ( теорема Больцано ).
2. Образ непрерывной функции на интервале сам по себе является интервалом.

Мотивация

Теорема о промежуточном значении

Это отражает интуитивное свойство непрерывных функций над действительными числами : учитывая $f$ постоянно включен $[1,2]$ с известными значениями $f(1)=3$ и $f(2)=5$, то график $y=f(x)$ должен проходить через горизонтальную линию $y=4$ пока $x$ движется от $1$ к $2$. Он представляет собой идею о том, что график непрерывной функции на отрезке можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.

Теорема

Теорема о промежуточном значении гласит следующее:

Рассмотрим интервал $I=[a,b]$ действительных чисел $\mathbb {R}$ и непрерывная функция $f\colon I\to \mathbb {R}$. Затем

• Версия I. если $u$ это число между $f(a)$ и $f(b)$, то есть,
  $$\min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b)),$$
  тогда есть $c\in (a,b)$ такой, что $f(c)=u$.
• Версия II. набор изображений $f(I)$ также является интервалом (замкнутым) и содержит ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$.

Примечание. Версия II утверждает, что набор значений функции не имеет пробелов. Для любых двух значений функции $c,d\in f(I)$ с $c<d$, даже если они находятся вне интервала между $f(a)$ и $f(b)$, все точки интервала ${\bigl [}c,d{\bigr ]}$ также являются функциональными значениями,

$${\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I).$$

Подмножество действительных чисел без внутреннего пробела представляет собой интервал. Версия I, естественно, содержится в Версии II .

к

и эквивалентна ей Теорема зависит от полноты действительных чисел . Теорема о промежуточном значении не применима к рациональным числам Q, поскольку между рациональными числами существуют промежутки; иррациональные числа заполняют эти пробелы. Например, функция $f(x)=x^{2}$ для $x\in \mathbb {Q}$ удовлетворяет $f(0)=0$ и $f(2)=4$. Однако рационального числа не существует. $x$ такой, что $f(x)=2$, потому что ${\sqrt {2}}$ это иррациональное число.

Доказательство

Доказательная версия A

Теорема может быть доказана как следствие свойства полноты действительных чисел следующим образом:

Мы докажем первый случай, $f(a)<u<f(b)$. Второй случай аналогичен.

Позволять $S$ быть набором всех $x\in [a,b]$ такой, что $f(x)<u$. Затем $S$ непусто, поскольку $a$ является элементом $S$. С $S$ непусто и ограничено сверху $b$, по полноте, супремум $c=\sup S$ существует. То есть, $c$ наименьшее число, которое больше или равно каждому члену $S$.

Отметим, что в связи с непрерывностью $f$ в $a$, мы можем сохранить $f(x)$ в пределах любого $\varepsilon >0$ из $f(a)$ сохраняя $x$ достаточно близко к $a$. С $f(a)<u$ является строгим неравенством, рассмотрим последствия, когда $\varepsilon$ это расстояние между $u$ и $f(a)$. Нет $x$ достаточно близко к $a$ тогда смогу сделать $f(x)$ больше или равно $u$, что означает, что существуют значения, превышающие $a$ в $S$. Более подробное доказательство выглядит так:

Выбирать $\varepsilon =u-f(a)>0$. Затем $\exists \delta >0$ такой, что $\forall x\in [a,b]$,

$$|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<u-f(a)\implies f(x)<u.$$

Рассмотрим интервал $[a,\min(a+\delta ,b))=I_{1}$. Обратите внимание, что $I_{1}\subseteq [a,b]$ и каждый $x\in I_{1}$ удовлетворяет условию $|x-a|<\delta$. Поэтому для каждого $x\in I_{1}$ у нас есть $f(x)<u$. Следовательно $c$ не может быть $a$.

Аналогичным образом, в связи с непрерывностью $f$ в $b$, мы можем сохранить $f(x)$ в пределах любого $\varepsilon >0$ из $f(b)$ сохраняя $x$ достаточно близко к $b$. С $u<f(b)$ является строгим неравенством, рассмотрим аналогичный вывод, когда $\varepsilon$ это расстояние между $u$ и $f(b)$. Каждый $x$ достаточно близко к $b$ тогда должен сделать $f(x)$ больше, чем $u$, что означает, что существуют значения, меньшие, чем $b$ которые являются верхними границами $S$. Более подробное доказательство выглядит так:

Выбирать $\varepsilon =f(b)-u>0$. Затем $\exists \delta >0$ такой, что $\forall x\in [a,b]$,

$$|x-b|<\delta \implies |f(x)-f(b)|<f(b)-u\implies f(x)>u.$$

Рассмотрим интервал $(\max(a,b-\delta ),b]=I_{2}$. Обратите внимание, что $I_{2}\subseteq [a,b]$ и каждый $x\in I_{2}$ удовлетворяет условию $|x-b|<\delta$. Поэтому для каждого $x\in I_{2}$ у нас есть $f(x)>u$. Следовательно $c$ не может быть $b$.

С $c\neq a$ и $c\neq b$, должно быть так $c\in (a,b)$. Теперь мы утверждаем, что $f(c)=u$.

Исправьте некоторые $\varepsilon >0$. С $f$ является непрерывным в $c$, $\exists \delta _{1}>0$ такой, что $\forall x\in [a,b]$, $|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon$.

С $c\in (a,b)$ и $(a,b)$ открыт, $\exists \delta _{2}>0$ такой, что $(c-\delta _{2},c+\delta _{2})\subseteq (a,b)$. Набор $\delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})$. Тогда у нас есть

$$f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon$$

для всех $x\in (c-\delta ,c+\delta )$. По свойствам супремума существует некоторая $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ который содержится в $S$, и так

$$f(c)<f(a^{*})+\varepsilon <u+\varepsilon .$$

Сбор $a^{**}\in (c,c+\delta )$, мы это знаем $a^{**}\not \in S$ потому что $c$ является супремумом $S$. Это означает, что

$$f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \geq u-\varepsilon .$$

Оба неравенства

$$u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon$$

действительны для всех $\varepsilon >0$, из чего делаем вывод $f(c)=u$ как единственно возможное значение, как указано.

Доказательная версия B

Мы докажем только случай $f(a)<u<f(b)$, как $f(a)>u>f(b)$ случай аналогичный.

Определять $g(x)=f(x)-u$ что эквивалентно $f(x)=g(x)+u$ и давайте перепишем $f(a)<u<f(b)$ как $g(a)<0<g(b)$, и нам нужно доказать, что $g(c)=0$ для некоторых $c\in [a,b]$, что более интуитивно понятно. Далее определим набор $S=\{x\in [a,b]:g(x)\leq 0\}$. Потому что $g(a)<0$ мы знаем, что $a\in S$ так что $S$ не пуст. Более того, как $S\subseteq [a,b]$, мы это знаем $S$ ограничен и непуст, поэтому по полноте верхняя грань $c=\sup(S)$ существует.

Есть 3 случая для значения $g(c)$, те, которые $g(c)<0,g(c)>0$ и $g(c)=0$. От противного, предположим, что $g(c)<0$. Тогда по определению непрерывности для $\epsilon =0-g(c)$, существует $\delta >0$ такой, что $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ подразумевает, что $|g(x)-g(c)|<-g(c)$, что эквивалентно $g(x)<0$. Если бы мы просто выбрали $x=c+{\frac {\delta }{N}}$, где $N>{\frac {\delta }{b-c}}$, затем $g(x)<0$ и $c<x<b$, так $x\in S$. Отсюда следует, что $x$ является верхней границей для $S$. Однако, $x>c$, что противоречит свойству верхней границы наименьшей верхней границы $c$, так $g(c)\geq 0$. Предположим тогда, что $g(c)>0$. Мы так же выбрали $\epsilon =g(c)-0$ и знать, что существует $\delta >0$ такой, что $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ подразумевает $|g(x)-g(c)|<g(c)$. Мы можем переписать это как $-g(c)<g(x)-g(c)<g(c)$ что подразумевает, что $g(x)>0$. Если бы мы сейчас выбрали $x=c-{\frac {\delta }{2}}$, затем $g(x)>0$ и $a<x<c$. Отсюда следует, что $x$ является верхней границей для $S$. Однако, $x<c$, что противоречит наименьшему свойству наименьшей верхней границы $c$, а это значит, что $g(c)>0$ невозможно. Если объединить оба результата, то получим $g(c)=0$ или $f(c)=u$ это единственная оставшаяся возможность.

Примечание. Теорему о промежуточном значении можно доказать и с помощью методов нестандартного анализа , который ставит «интуитивные» рассуждения, включающие бесконечно малые числа, на строгий опора.

История

Форма теоремы была постулирована еще в V веке до нашей эры в работе Брайсона Гераклейского о квадратуре круга . Брайсон утверждал, что, поскольку существуют круги, большие и меньшие данного квадрата, должен существовать круг равной площади. Теорема была впервые доказана Бернаром Больцано в 1817 году. Больцано использовал следующую формулировку теоремы:

Позволять $f,\varphi$ — непрерывные функции на промежутке между $\alpha$ и $\beta$ такой, что $f(\alpha )<\varphi (\alpha )$ и $f(\beta )>\varphi (\beta )$. Тогда есть $x$ между $\alpha$ и $\beta$ такой, что $f(x)=\varphi (x)$.

Эквивалентность этой формулировки современной можно показать, положив $\varphi$ к соответствующей постоянной функции. Огюстен-Луи Коши предоставил современную формулировку и доказательство в 1821 году. Оба были вдохновлены целью формализовать анализ функций и работой Жозефа-Луи Лагранжа . Идея о том, что непрерывные функции обладают свойством промежуточного значения, имеет более раннее происхождение. Саймон Стевин доказал теорему о промежуточном значении для многочленов (на примере кубики ), предоставив алгоритм построения десятичного разложения решения. Алгоритм итеративно делит интервал на 10 частей, создавая дополнительную десятичную цифру на каждом шаге итерации. До того, как было дано формальное определение непрерывности, свойство промежуточного значения было задано как часть определения непрерывной функции. Среди сторонников - Луи Арбогаст , который предполагал, что функции не имеют переходов, удовлетворяют свойству промежуточного значения и имеют приращения, размеры которых соответствуют размерам приращений переменной. Ранее авторы считали этот результат интуитивно очевидным и не требующим доказательства. Идея Больцано и Коши заключалась в том, чтобы определить общее понятие непрерывности (в терминах бесконечно малых в случае Коши и использования действительных неравенств в случае Больцано) и предоставить доказательство, основанное на таких определениях.

Обратное неверно

Функция Дарбу с действительным знаком — это функция f , которая обладает «свойством промежуточного значения», т. е. удовлетворяет заключению теоремы о промежуточном значении: для любых двух значений a и b в области f и любого y между f ( a ) и f ( b ) существует некоторый c, , между a и b причем f ( c ) = y . Теорема о промежуточном значении гласит, что каждая непрерывная функция является функцией Дарбу. Однако не каждая функция Дарбу непрерывна; т. е. обращение теоремы о промежуточном значении неверно.

В качестве примера возьмем функцию f : [0, ∞) → [−1, 1], определенную формулой f ( x ) = sin(1/ x ) для x > 0 и f (0) = 0 . Эта функция не является непрерывной при x = 0 поскольку предел f , ( x ) при стремлении x к 0 не существует; однако функция имеет свойство промежуточного значения. Другой, более сложный пример даёт функция Конвея по основанию 13 .

Фактически, теорема Дарбу утверждает, что все функции, возникающие в результате дифференцирования какой-либо другой функции на некотором интервале, обладают свойством промежуточного значения (хотя они не обязательно должны быть непрерывными).

Исторически это свойство промежуточного значения предлагалось как определение непрерывности вещественных функций; это определение не было принято.

Обобщения

Многомерные пространства

Теорема Пуанкаре-Миранды является обобщением теоремы о промежуточном значении от (одномерного) интервала до (двумерного) прямоугольника или, в более общем смысле, до n -мерного куба .

Врахатис представляет аналогичное обобщение для треугольников или, в более общем плане, n -мерных симплексов . Пусть Д ^н — n -мерный симплекс с n +1 вершиной, обозначаемый v ₀ ,..., v _n . Пусть F =( f ₁ ,..., f _n ) — непрерывная функция из D ^н в Р ^н , который никогда не равен 0 на границе D ^н . Предположим, F удовлетворяет следующим условиям:

• Для всех i в 1,..., n знак fi _vi ( vi ₎ противоположен знаку ( _fi x ) всех точек x противоположной на грани , _для ;
• Знак-вектор f ₁ ,..., f _n на v ₀ не равен знак-вектору f ₁ ,..., f _n во всех точках грани, противоположной v ₀ .

существует z внутри Тогда D точка ^н на котором F ( z )=(0,...,0).

Можно нормализовать fi _fi так, чтобы vi ₍ ) > ₀ для всех i ; тогда условия упрощаются:

• всех i в 1,..., n , fi ₎ ( vi _Для >0 и fi ₍ ) x <0 для всех точек x противоположной vi _{на грани ,} . В частности, f _i ( v ₀ )<0.
• Для всех точек x на грани, противоположной v ₀ , fi _. ( x )>0 хотя бы для одного i из 1,..., n

Теорему можно доказать на основе леммы Кнастера–Куратовского–Мазуркевича . In можно использовать для аппроксимации неподвижных точек и нулей.

Общие метрические и топологические пространства

Теорема о промежуточном значении тесно связана с топологическим понятием связности и следует из основных свойств связных множеств в метрических пространствах и, связных подмножеств R в частности, :

• Если $X$ и $Y$ являются метрическими пространствами , $f\colon X\to Y$ является непрерывным отображением, и $E\subset X$ является связным подмножеством, то $f(E)$ подключен. ( * )
• Подмножество $E\subset \mathbb {R}$ связен тогда и только тогда, когда он удовлетворяет следующему свойству: $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$. ( ** )

Фактически, связность является топологическим свойством и (*) обобщается на топологические пространства : если $X$ и $Y$ являются топологическими пространствами, $f\colon X\to Y$ является непрерывным отображением, и $X$ является связным пространством , то $f(X)$ подключен. Сохранение связности при непрерывных отображениях можно рассматривать как обобщение теоремы о промежуточном значении, свойства непрерывных вещественных функций действительной переменной, на непрерывные функции в общих пространствах.

Напомним первую версию теоремы о промежуточном значении, сформулированную ранее:

Теорема о промежуточном значении   ( Версия I ) . Рассмотрим замкнутый интервал. $I=[a,b]$ в реальных цифрах $\mathbb {R}$ и непрерывная функция $f\colon I\to \mathbb {R}$. Тогда, если $u$ действительное число такое, что $\min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))$, существует $c\in (a,b)$ такой, что $f(c)=u$.

Теорема о промежуточном значении является непосредственным следствием этих двух свойств связности:

Доказательство

К (**) , $I=[a,b]$ представляет собой связное множество. следует Из (*) , что изображение, $f(I)$, тоже подключен. Для удобства предположим, что $f(a)<f(b)$. Затем еще раз вызывая (**) , $f(a)<u<f(b)$ подразумевает, что $u\in f(I)$, или $f(c)=u$ для некоторых $c\in I$. С $u\neq f(a),f(b)$, $c\in (a,b)$ должно действительно выполняться, и из этого следует желаемый вывод. Тот же аргумент применим, если $f(b)<f(a)$, итак, мы закончили. КЭД

Теорема о промежуточном значении обобщается естественным образом: предположим, что X — связное топологическое пространство, а ( Y , <) — полностью упорядоченное множество, снабженное порядковой топологией , и пусть f : X → Y — непрерывное отображение. Если a и b — две точки в X , а u — точка в Y, лежащая между f ( a ) и f ( b ) относительно < , то существует c в X такой, что f ( c ) = u . Исходная теорема восстанавливается, если отметить, что R связен и что его естественная топология является топологией порядка.

Теорема Брауэра о неподвижной точке — это родственная теорема, которая в одном измерении дает частный случай теоремы о промежуточном значении.

В конструктивной математике

В конструктивной математике теорема о промежуточном значении неверна. Вместо этого следует ослабить вывод:

• Позволять $a$ и $b$ быть действительными числами и $f:[a,b]\to R$ — поточечная непрерывная функция из отрезка $[a,b]$ к действительной линии и предположим, что $f(a)<0$ и $0<f(b)$. Тогда для каждого положительного числа $\varepsilon >0$ существует точка $x$ в единичном интервале такой, что $\vert f(x)\vert <\varepsilon$.

Практическое применение

Аналогичным результатом является теорема Борсука–Улама , которая гласит, что непрерывное отображение из $n$-сфера к Евклиду $n$-space всегда будет отображать некоторую пару противоположных точек в одно и то же место.

Доказательство для одномерного случая

Брать $f$ быть любой непрерывной функцией на окружности. Проведите линию через центр круга, пересекая ее в двух противоположных точках. $A$ и $B$. Определять $d$ быть $f(A)-f(B)$. значение — d Если линия повернута на 180 градусов, вместо этого будет получено . По теореме о промежуточном значении должен существовать некоторый промежуточный угол поворота, для которого d = 0 и, как следствие, f ( A ) = f ( B ) под этим углом.

Вообще говоря, для любой непрерывной функции, областью определения которой является некоторый замкнутый выпуклый $n$-мерной формы и любой точки внутри формы (не обязательно ее центра), существуют две противоположные точки по отношению к данной точке, функциональное значение которых одинаково.

Теорема также лежит в основе объяснения того, почему вращение шаткого стола приводит к его устойчивости (с учетом определенных легко выполнимых ограничений).

См. также

• Теорема о среднем значении - О существовании касательной к дуге, параллельной линии, проходящей через ее конечные точки.
• Неатомарная мера — измеримый набор с положительной мерой, который не содержит подмножества меньшей положительной меры. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Теорема о волосатом шаре - Теорема дифференциальной топологии
• Лемма Спернера - Теорема о раскрасках графа триангуляции

Внешние ссылки

• Теорема о промежуточном значении в ProofWiki
• Теорема о промежуточном значении - Теорема Больцано о разрезании узла
• Теорема Больцано Хулио Сезара де ла Инсера, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о промежуточном значении» . Математический мир .
• Белк, Джим (2 января 2012 г.). «Двумерная версия теоремы о промежуточном значении» . Обмен стеками .
• системы Mizar Доказательство : http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4