Функция Конвея по основанию 13

Функция Конвея по основанию 13 — это функция, созданная британским математиком Джоном Х. Конвеем в качестве контрпримера к обратной теореме о промежуточном значении . Другими словами, это функция, которая удовлетворяет определенному свойству промежуточного значения — на любом интервале $(a,b)$ , функция $f$ принимает каждое значение между $f(a)$ и $f(b)$ — но не является непрерывным .

В 2018 году Аксель Бергфельдт опубликовал на математическом сайте StackExchange гораздо более простую функцию, свойство которой каждое открытое множество отображается на полную вещественную линию. ^[1] Эта функция также нигде не непрерывна.

Цель

Функция Конвея по основанию 13 была создана как часть деятельности по «производству»: в данном случае задача состояла в том, чтобы создать простую для понимания функцию, которая принимает каждое действительное значение в каждом интервале, то есть является всюду сюръективной. функция . ^[2] Таким образом, оно разрывно в каждой точке .

Эскиз определения

Каждое действительное число $x$ может быть представлено по основанию 13 единственным каноническим образом; в таких представлениях используются цифры 0–9 плюс три дополнительных символа, скажем, {A, B, C}. Например, число 54349589 имеет представление по основанию 13. B34C128.
Если вместо {A, B, C} мы разумно выберем символы {+, -, .}, некоторые числа по основанию 13 будут иметь представление, похожее на правильные десятичные дроби по основанию 10: например, число 54349589 имеет представление по основанию 13 −34.128. Конечно, большинство чисел таким образом не будут понятны; например, число 3629265 имеет представление по основанию 13. 9+0−−7.
Функция Конвея по основанию 13 принимает действительное число x и рассматривает его представление по основанию 13 как последовательность символов {0, 1, ..., 9, +, -, .} . Если с некоторой позиции представление выглядит как правильное десятичное число r , то f ( x ) = r . В противном случае f ( x ) = 0. (Правильный формат означает, что он начинается с символа + или –, содержит ровно один символ десятичной точки, а в противном случае содержит только цифры 0–9). Например, если число x имеет представление 8++2.19+0−−7+3.141592653..., тогда f ( x ) = +3,141592653....

Определение

Функция Конвея по основанию 13 — это функция $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ определяется следующим образом. Напишите аргумент $x$ значение в виде трехдесятичного числа («десятичное число» по основанию 13 ), используя 13 символов в качестве «цифр»: 0, 1, ..., 9, A, B, C ; не должно быть повторяющихся завершающих букв C. Может быть ведущий знак, а где-то будет стоять тройная запятая, отделяющая целую часть от дробной; в дальнейшем оба этих параметра следует игнорировать. Эти «цифры» можно рассматривать как имеющие значения от 0 до 12 соответственно; Первоначально Конвей использовал цифры «+», «-» и «». вместо A, B, C и подчеркнул все «цифры» с основанием 13, чтобы четко отличать их от обычных цифр и символов с основанием 10.

Если с какого-то момента трехдесятичное разложение $x$ имеет форму $Ax_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots$ где все цифры $x_{i}$ и $y_{j}$ находятся в $\{0,\dots ,9\},$ затем $f(x)=x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots$ в обычной десятичной записи.
Аналогично, если трехзначное разложение $x$ заканчивается $Bx_{1}x_{2}\dots x_{n}Cy_{1}y_{2}\dots ,$ затем $f(x)=-x_{1}\dots x_{n}.y_{1}y_{2}\dots .$
В противном случае, $f(x)=0.$

Например:

$f(\mathrm {12345A3C14.159} \dots _{13})=f(\mathrm {A3C14.159} \dots _{13})=3.14159\dots ,$
$f(\mathrm {B1C234} _{13})=-1.234,$
$f(\mathrm {1C234A567} _{13})=0.$

Характеристики

Согласно теореме о промежуточном значении, каждая непрерывная действительная функция $f$ имеет свойство промежуточного значения: на каждом интервале ( a , b ) функция $f$ проходит через каждую точку между $f(a)$ и $f(b).$ Функция Конвея по основанию 13 показывает, что обратное неверно: она удовлетворяет свойству промежуточного значения, но не является непрерывной.
Фактически, функция Конвея по основанию 13 удовлетворяет гораздо более сильному свойству промежуточного значения — на каждом интервале ( a , b ) функция $f$ проходит через каждое действительное число . В результате он удовлетворяет гораздо более сильному свойству разрыва — он разрывен всюду.
Из сказанного следует еще больше относительно разрыва функции – ее график плотен по $\mathbb {R} ^{2}$ .
Чтобы доказать, что функция Конвея по основанию 13 удовлетворяет этому более сильному промежуточному свойству, пусть ( a , b ) будет интервалом, пусть c будет точкой в этом интервале и пусть r будет любым действительным числом. Создайте кодировку r по основанию 13 следующим образом: начиная с представления r по основанию 10 , замените десятичную точку на C и укажите знак r , добавив либо A (если r положительное значение), либо B (если r отрицательно) к началу. По определению функции Конвея по основанию 13, результирующая строка ${\hat {r}}$ имеет свойство, которое $f({\hat {r}})=r.$ Более того, любая строка с основанием 13, оканчивающаяся на ${\hat {r}}$ будет иметь это свойство. Таким образом, если мы заменим конец c на ${\hat {r}},$ полученное число будет иметь f ( c ' ) = r . Введя эту модификацию достаточно далеко в трехдесятичном представлении $c,$ вы можете быть уверены, что новый номер $c'$ все равно будет лежать в интервале $(a,b).$ Это доказывает, что для любого числа r в каждом интервале можно найти точку $c'$ такой, что $f(c')=r.$
Таким образом, функция Конвея по основанию 13 всюду разрывна: действительная функция, непрерывная в точке x, должна быть локально ограничена в точке x , т. е. она должна быть ограничена на некотором интервале вокруг x . Но, как показано выше, функция Конвея по основанию 13 не ограничена на каждом интервале вокруг каждой точки; следовательно, оно нигде не непрерывно.
Функция Конвея по основанию 13 отображает почти все действительные числа в любом интервале в 0. ^[3]

См. также

Функция Дарбу — все производные имеют свойство промежуточного значения.

Ссылки

^ «Открытые карты, которые не являются непрерывными» . Математика обмена стеками . 27 сентября 2018 г. В ответ на вопрос . Проверено 10 июля 2023 г.
^ Бернарди, Клаудио (февраль 2016 г.). «Графики реальных функций с патологическим поведением». Мягкие вычисления . 11 : 5–6. arXiv : 1602.07555 . Бибкод : 2016arXiv160207555B .
^ Штейн, Ной. «Измерима ли функция Конвея по основанию 13?» . mathoverflow . Проверено 6 августа 2023 г.

Оман, Грег (2014). «Обращение теоремы о промежуточном значении: от Конвея к Кантору, к смежным классам и далее» (PDF) . Миссури Дж. Математика. Наука . 26 (2): 134–150. Архивировано (PDF) из оригинала 20 августа 2016 г.

[1] «Открытые карты, которые не являются непрерывными» . Математика обмена стеками . 27 сентября 2018 г. В ответ на вопрос . Проверено 10 июля 2023 г.

[2] Бернарди, Клаудио (февраль 2016 г.). «Графики реальных функций с патологическим поведением». Мягкие вычисления . 11 : 5–6. arXiv : 1602.07555 . Бибкод : 2016arXiv160207555B .

[3] Штейн, Ной. «Измерима ли функция Конвея по основанию 13?» . mathoverflow . Проверено 6 августа 2023 г.

[1]

[2]

[3]