Теорема о волосатом мяче

Неудачная попытка расчесать волосатую тройку (2-сферу), оставив клок на каждом шесте.

Волосатый бублик (2-тор), напротив, довольно легко расчесывается.

Непрерывное касательное векторное поле на двумерной сфере только с одним полюсом, в данном случае дипольное поле с индексом 2. См. также анимированную версию этого рисунка .

Завиток волос

Теорема о волосатом шаре алгебраической топологии (иногда называемая теоремой о еже ) в Европе утверждает, что не существует ненулевого непрерывного касательного векторного поля на четномерных n -сферах . Для обычной сферы или 2-сферы, если f — непрерывная функция, задающая вектор в R ³ к каждой точке p на сфере такой, что f ( p ) всегда касается сферы в точке p , то существует хотя бы один полюс, точка, в которой поле обращается в нуль ( ap такой, что f ( p ) = 0 ).

Теорема была впервые доказана Анри Пуанкаре для 2-сферы в 1885 году: и расширен до более высоких четных размеров в 1912 году Луиценом Эгбертусом Яном Брауэром .

Теорема была выражена в просторечии как «невозможно расчесать волосатый комок, не создав при этом челку » или «невозможно расчесать волосы на кокосе».

Подсчет нулей

Каждый нуль векторного поля имеет (ненулевой) « индекс », и можно показать, что сумма всех индексов всех нулей должна быть равна двум, поскольку эйлерова характеристика 2-сферы равна двум. . Следовательно, должен быть хотя бы один ноль. Это следствие теоремы Пуанкаре–Хопфа . В случае тора эйлерова характеристика равна 0; и можно «причесать волосатый пончик». В связи с этим следует, что для любого компактного регулярного двумерного многообразия с ненулевой эйлеровой характеристикой любое непрерывное касательное векторное поле имеет хотя бы один нуль.

Приложение к компьютерной графике

Распространенной проблемой в компьютерной графике является создание ненулевого вектора в R. ³ ортогонально . данному ненулевому вектору Не существует единой непрерывной функции, которая могла бы сделать это для всех ненулевых векторных входных данных. Это следствие теоремы о волосатом шаре. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим данный вектор как радиус сферы и заметим, что нахождение ненулевого вектора, ортогонального данному, эквивалентно нахождению ненулевого вектора, касающегося поверхности этой сферы, где он касается радиус. Однако теорема о волосатом шаре утверждает, что не существует непрерывной функции, которая могла бы сделать это для каждой точки сферы (т. е. для каждого заданного вектора).

Связь Лефшеца

Существует тесно связанный аргумент из алгебраической топологии , использующий теорему Лефшеца о неподвижной точке . Поскольку числа Бетти 2-сферы равны 1, 0, 1, 0, 0, ... число Лефшеца (полный след на гомологиях ) тождественного отображения равно 2. Интегрируя векторное поле, мы получаем (по крайней мере часть) однопараметрической группы диффеоморфизмов малая на сфере; и все отображения в нем гомотопны единице. Следовательно, все они также имеют число Лефшеца 2. Следовательно, они имеют неподвижные точки (поскольку число Лефшеца не равно нулю). Потребуется еще немного работы, чтобы показать, что это означает, что на самом деле должен быть ноль векторного поля. Это действительно предполагает правильную формулировку более общей теоремы Пуанкаре-Хопфа об индексе .

Следствие

Следствием теоремы о волосатом шаре является то, что любая непрерывная функция , отображающая четномерную сферу в себя, имеет либо фиксированную точку , либо точку, которая отображается в свою собственную антиподальную точку . В этом можно убедиться, преобразуя функцию в тангенциальное векторное поле следующим образом.

Пусть s — функция, отображающая сферу в себя, а v — касательная векторная функция, которую нужно построить. Для каждой точки p постройте стереографическую проекцию s в ( p ) с p качестве точки касания. Тогда v ( p ) — вектор смещения этой проецируемой точки относительно p . Согласно теореме о волосатом шаре, существует p такое, что v ( p ) = 0 , так что s ( p ) = p .

Этот аргумент не работает только в том случае, если существует точка p, для которой s ( p ) является антиподальной точкой p , поскольку такая точка является единственной, которую нельзя стереографически спроецировать на касательную плоскость p .

Дальнейшее следствие состоит в том, что любое четномерное проективное пространство обладает свойством неподвижной точки . Это следует из предыдущего результата путем поднятия непрерывных функций от $\mathbb {RP} ^{2n}$ в себя к функциям $S^{2n}$ в себя.

Высшие измерения

Связь с эйлеровой характеристикой χ подсказывает правильное обобщение: 2 n -сфера не имеет неисчезающего векторного поля при n ≥ 1 . Разница между четными и нечетными размерностями состоит в том, что, поскольку единственными ненулевыми числами Бетти - сферы m являются b ₀ и b _m , их попеременная сумма χ равна 2 для m четного m и 0 для нечетного .

Действительно, легко увидеть, что нечетномерная сфера допускает ненулевое касательное векторное поле посредством простого процесса рассмотрения координат окружающего четномерного евклидова пространства. $\mathbb {R} ^{2n}$ попарно. А именно, можно определить поле касательного вектора для $S^{2n-1}$ указав векторное поле $v:\mathbb {R} ^{2n}\to \mathbb {R} ^{2n}$ данный

$v(x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2},-x_{1},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1}).$

Чтобы это векторное поле ограничилось касательным векторным полем к единичной сфере $S^{2n-1}\subset \mathbb {R} ^{2n}$ достаточно убедиться, что скалярное произведение с единичным вектором вида $x=(x_{1},\dots ,x_{2n})$ удовлетворяющий $\|x\|=1$ исчезает. Благодаря спариванию координат мы видим

$v(x_{1},\dots ,x_{2n})\bullet (x_{1},\dots ,x_{2n})=(x_{2}x_{1}-x_{1}x_{2})+\cdots +(x_{2n}x_{2n-1}-x_{2n-1}x_{2n})=0.$

Для 2 n -сферы окружающее евклидово пространство равно $\mathbb {R} ^{2n+1}$ который является нечетным, поэтому этот простой процесс спаривания координат невозможен. Хотя это не исключает возможности того, что все еще может существовать касательное векторное поле к четномерной сфере, которое не обращается в нуль, теорема о волосатом шаре показывает, что на самом деле не существует способа построить такое векторное поле.

Физические примеры

Теорема о волосатом шаре имеет множество физических примеров. Например, вращение твердого шара вокруг неподвижной оси порождает непрерывное тангенциальное векторное поле скоростей точек, расположенных на его поверхности. Это поле имеет две точки нулевой скорости, которые исчезают после полного просверливания шара через его центр, превращая тем самым шар в топологический эквивалент тора, тела, к которому не применима теорема о «волосатом шаре». Теорема о волосатом шаре может быть успешно применена для анализа распространения электромагнитных волн в случае, когда волновой фронт образует поверхность, топологически эквивалентную сфере (поверхность, обладающая эйлеровой характеристикой χ = 2). Обязательно появится хотя бы одна точка на поверхности, в которой векторы электрического и магнитного полей равны нулю. На определенных двухсферах пространства параметров электромагнитных волн в плазме (или других сложных средах) также появляются подобные «волны» или «лысины», что указывает на существование топологического возбуждения, т. е. робастных волн, невосприимчивых к рассеяние и отражения в системах. Если идеализировать ветер в атмосфере Земли как поле касательных векторов, то из теоремы о волосатом шаре следует, что при любом ветре на поверхности Земли всегда где-то должен существовать циклон . Однако обратите внимание, что ветер может перемещаться в атмосфере вертикально, поэтому идеализированный случай не является метеорологически обоснованным. (Верно то , что для каждой «оболочки» атмосферы вокруг Земли должна быть точка на оболочке, где ветер не движется горизонтально.) Теорема также имеет применение в компьютерном моделировании (включая дизайн видеоигр ), в распространенной проблемой которого является вычисление ненулевого трехмерного вектора, ортогонального (т. е. перпендикулярного) заданному; Теорема о волосатом шаре подразумевает, что не существует ни одной непрерывной функции, которая могла бы выполнить эту задачу.

См. также

• Теорема о неподвижной точке
• Теорема о промежуточном значении
• Векторные поля на сферах

Ссылки

• Айзенберг, Мюррей; Гай, Роберт (1979), «Доказательство теоремы о волосатом шаре», The American Mathematical Monthly , 86 (7): 571–574, doi : 10.2307/2320587 , JSTOR   2320587

Дальнейшее чтение

• Джарвис, Тайлер; Тантон, Джеймс (2004), «Теорема о волосатом шаре через лемму Спернера», American Mathematical Monthly , 111 (7): 599–603, doi : 10.1080/00029890.2004.11920120 , JSTOR   4145162 , S2CID   29784803
• Ричесон, Дэвид С. (2008), «Расчесывание волос на кокосе», Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топологии , Princeton University Press, стр. 202–218, ISBN  978-0-691-12677-7

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о волосатом шаре» . Математический мир .