Теорема Пуанкаре – Хопфа

В математике теорема Пуанкаре –Хопфа (также известная как формула индекса Пуанкаре–Хопфа , теорема индекса Пуанкаре–Хопфа или теорема индекса Хопфа ) является важной теоремой, которая используется в дифференциальной топологии . Он назван в честь Анри Пуанкаре и Хайнца Хопфа .

Теорема Пуанкаре–Хопфа часто иллюстрируется частным случаем теоремы о волосатом шаре , которая просто утверждает, что не существует гладкого векторного поля на четномерной n-сфере, не имеющей источников и стоков.

Согласно теореме Пуанкаре-Хопфа, замкнутые траектории могут охватывать два центра и одно седло или один центр, но никогда только седло. (Здесь для случая гамильтоновой системы )

Официальное заявление

Позволять $M$ быть дифференцируемым многообразием размерности $n$ , и $v$ векторное поле на $M$ . Предположим, что $x$ является изолированным нулем $v$ и зафиксируем некоторые локальные координаты рядом $x$ . Выберите закрытый шар $D$ сосредоточено в $x$ , так что $x$ это единственный ноль $v$ в $D$ . Тогда индекс $v$ в $x$ , $\operatorname {index} _{x}(v)$ , можно определить как степень отображения $u:\partial D\to \mathbb {S} ^{n-1}$ от границы г. $D$ к $(n-1)$ -сфера, заданная $u(z)=v(z)/\|v(z)\|$ .

Теорема. Позволять $M$ — компактное дифференцируемое многообразие . Позволять $v$ быть векторным полем на $M$ с изолированными нулями. Если $M$ имеет границу , то мы настаиваем на том, что $v$ быть направлены в направлении внешней нормали вдоль границы. Тогда у нас есть формула

\sum _{i}\operatorname {index} _{x_{i}}(v)=\chi (M)\,

где сумма индексов ведется по всем изолированным нулям $v$ и $\chi (M)$ является эйлеровой характеристикой $M$ . Особенно полезным следствием является ситуация, когда существует ненулевое векторное поле, подразумевающее эйлерову характеристику 0.

Теорема была доказана для двух измерений Анри Пуанкаре. ^{[ 1 ]} и позже обобщенный на более высокие измерения Хайнцем Хопфом . ^{[ 2 ]}

Значение

Эйлерова характеристика замкнутой поверхности — чисто топологическое понятие, тогда как индекс векторного поля — чисто аналитическое . Таким образом, эта теорема устанавливает глубокую связь между двумя, казалось бы, несвязанными областями математики. Возможно, не менее интересно и то, что доказательство этой теоремы в значительной степени опирается на интегрирование и, в частности, на теорему Стокса , которая утверждает, что интеграл от внешней производной дифференциальной формы равен интегралу этой формы по границе. В частном случае многообразия без края это равносильно утверждению, что интеграл равен 0. Но, исследуя векторные поля в достаточно малой окрестности источника или стока, мы видим, что источники и стоки вносят целые количества (известные как индекс ) к общей сумме, и все они должны быть равны 0. Этот результат можно считать ^{[ кем? ]} одна из самых ранних из целой серии теорем (например, теорема об индексе Атьи-Зингера , теорема Де Рама , теорема Гротендика-Римана-Роха ), устанавливающая глубокие взаимосвязи между геометрическими и аналитическими или физическими концепциями. Они играют важную роль в современном изучении обеих областей.

Эскиз доказательства

Вставьте M в некоторое многомерное евклидово пространство. (Используйте теорему вложения Уитни .)
Возьмем небольшую окрестность M в этом евклидовом пространстве N _ε . Расширьте векторное поле до этой окрестности так, чтобы оно имело те же нули и нули имели одинаковые индексы. Кроме того, убедитесь, что расширенное векторное поле на границе N _ε направлено наружу.
Сумма индексов нулей старого (и нового) векторного поля равна степени отображения Гаусса границы N _ε в ( n –1)-мерную сферу. Таким образом, сумма индексов не зависит от реального векторного поля и зависит только от многообразия M .
Техника: отрезать все нули векторного поля с малыми окрестностями. Затем воспользуемся тем фактом, что степень отображения границы n-мерного многообразия в ( n –1)-мерную сферу, которую можно расширить на все n-мерное многообразие, равна нулю. ^{[ нужна ссылка ]}
Наконец, определите эту сумму индексов как эйлерову характеристику M . Для этого построим очень специфическое векторное поле на M, используя триангуляцию M , для которой ясно, что сумма индексов равна эйлеровой характеристике.

Обобщение

По-прежнему возможно определить индекс для векторного поля с неизолированными нулями. Конструкция этого индекса и расширение теоремы Пуанкаре–Хопфа для векторных полей с неизолированными нулями изложены в разделе 1.1.2 книги ( Brasselet, Seade & Suwa 2009 ).

См. также

Ссылки

^ Анри Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями (1881–1882)
^ Х. Хопф, Векторные поля в n-мерных многообразиях, Math. 96 (1926), стр. 209–221.

«Теорема Пуанкаре – Хопфа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Брасселе, Жан-Поль; Сид, Джозеф; Сува, Тацуо (2009). Векторные поля на особых многообразиях . Гейдельберг: Спрингер. ISBN 978-3-642-05205-7 .

[1] Анри Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями (1881–1882)

[2] Х. Хопф, Векторные поля в n-мерных многообразиях, Math. 96 (1926), стр. 209–221.

[ 1 ]

[ 2 ]