Формула подписи Эйзенбуда – Левина – Химшиашвили

В математике, и особенно в дифференциальной топологии и теории особенностей , векторного поля в алгебраически сигнатурная формула Эйзенбуда-Левина-Химшиашвили дает способ вычисления индекса Пуанкаре-Хопфа реального изолированной аналитического особенности . ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Он назван в честь Дэвида Эйзенбуда , Гарольда И. Левина и Джорджа Химшиашвили . Интуитивно понятно, что индекс векторного поля вблизи нуля — это количество раз, которое векторное поле обтекает сферу. методы коммутативной алгебры Поскольку аналитические векторные поля имеют богатую алгебраическую структуру, для вычисления их индекса можно использовать . Формула сигнатуры выражает индекс аналитического векторного поля через сигнатуру некоторой квадратичной формы .

Номенклатура

Рассмотрим n -мерное пространство R ^н. Предположим, что Р ^н имеет некоторую фиксированную систему координат и пишет x для точки в R. ^н, где x = ( x ₁ , …, x _n ).

Пусть X — векторное поле на R ^н. Для 1 ≤ k ≤ n существуют функции ƒ _k : R ^н → R можно выразить такой, что X как

X=f_{1}({\mathbf {x} })\,{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}({\mathbf {x} })\,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}.

Сказать, что X является аналитическим векторным полем, означает, что каждая из функций ƒ _k : R ^н → R — аналитическая функция . Говорят, что сингулярно в X точке p в R ^н (или что p является особой точкой X ) , если X ( p ) = 0 , т.е. X исчезает в точке p . В терминах функций ƒ _k : R ^н → R это означает, что ƒ _k ( p ) = 0 для всех 1 ≤ k ≤ n . Особая точка p кольца X называется изолированной (или p является изолированной особенностью X ) , если X ( p ) = 0 и существует открытая окрестность U ⊆ R. ^н, содержащий p , такой, что X ( q ) ≠ 0 для всех q в U , отличных от p . Изолированная особенность X называется алгебраически изолированной, если при рассмотрении в комплексной области она остается изолированной. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Поскольку индекс Пуанкаре–Хопфа в точке является чисто локальным инвариантом (см. теорему Пуанкаре–Хопфа ), можно ограничиться изучением ростков . Предположим, что каждый из ƒ _k сверху является функциональным ростком , т.е. ƒ _k : ( R ^н,0) → ( R ,0). можно назвать В свою очередь, X ростком векторного поля .

Строительство

через An _{кольцо ,0}Обозначим ростков аналитических функций ( R ^н,0) → ( р ,0) . Предположим, что X — росток векторного поля вида

X=f_{1}({\mathbf {x} })\,{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+\cdots +f_{n}({\mathbf {x} })\,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}

с алгебраически изолированной особенностью в точке 0. Где, как упоминалось выше, каждый из ƒ _k является ростком функции ( R ^н,0) → ( р ,0) . Обозначим через I _X идеал , порожденный ƒ _k , т.е. I _X = (ƒ ₁ , …, ƒ _n ). Затем рассматривается локальная алгебра B X _, заданная фактором

B_{X}:=A_{n,0}/I_{X}\,.

Сигнатурная формула Эйзенбуда-Левина-Химшиашвили утверждает, что индекс векторного поля X в точке 0 задается сигнатурой некоторой невырожденной билинейной формы (которая будет определена ниже) на локальной алгебре B _X . ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Размерность $B_{X}$ конечен тогда и только тогда, когда имеет изолированную комплексификация X особенность в точке 0 в C ^н; т.е. X имеет алгебраически изолированную особенность в точке 0 в R ^н. ^{[ 2 ]} В этом случае B _X будет конечномерной вещественной алгеброй .

Определение билинейной формы

Используя аналитические компоненты X , можно определить другой аналитический росток F: ( R ^н,0) → ( Р ^н,0) заданный

F({\mathbf {x} }):=(f_{1}({\mathbf {x} }),\ldots ,f_{n}({\mathbf {x} })),

для всех x ∈ R ^н. Пусть J _F ∈ An _{базиса ,0} обозначает определитель матрицы Якоби матрицы F относительно 1 {∂/∂ x _, …, ∂/∂ x _n }. Наконец, пусть [J _F ] ∈ B _X обозначает класс эквивалентности J _F по модулю I _X . Используя * для обозначения умножения в B _X, можно определить невырожденную билинейную форму β следующим образом: ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

\beta :B_{X}\times B_{X}{\stackrel {*}{\longrightarrow }}B_{X}{\stackrel {\ell }{\longrightarrow }}\mathbb {R} ;\ \ \beta (g,h)=\ell (g*h),

где $\scriptstyle \ell$ — любая линейная функция такая, что

\ell \left(\left[J_{F}\right]\right)>0.

Как уже упоминалось: подпись β — это в точности индекс X в позиции 0.

Пример

Рассмотрим случай n = 2 векторного поля на плоскости. Рассмотрим случай, когда X определяется выражением

X:=(x^{3}-3xy^{2})\,{\frac {\partial }{\partial x}}+(3x^{2}y-y^{3})\,{\frac {\partial }{\partial y}}.

Ясно, что X имеет алгебраически изолированную особенность в точке 0, поскольку X = 0 тогда и только тогда, когда x = y = 0. Идеал I _X задается формулой ( x ³ − 3 ху ², 3x ²й - й ³), и

B_{X}=A_{2,0}/(x^{3}-3xy^{2},3x^{2}y-y^{3})\cong \mathbb {R} \langle 1,x,y,x^{2},xy,y^{2},xy^{2},y^{3},y^{4}\rangle .

Первым шагом для нахождения невырожденной билинейной формы β является вычисление таблицы умножения B _X ; уменьшая каждую запись по модулю I _X . Откуда

∗	1	х	и	х ²	ху	и ²	ху ²	и ³	и ⁴
1	1	х	и	х ²	ху	и ²	ху ²	и ³	и ⁴
х	х	х ²	ху	3 ху ³	и ³/3	ху ²	и ⁴/3	0	0
и	и	ху	и ²	и ³/3	ху ²	и ³	0	и ⁴	0
х ²	х ²	3 ху ²	и ³/3	и ⁴	0	и ⁴/3	0	0	0
ху	ху	и ³/3	ху ²	0	и ⁴/3	0	0	0	0
и ²	и ²	ху ²	и ³	и ⁴/3	0	и ⁴	0	0	0
ху ²	ху ²	и ⁴/3	0	0	0	0	0	0	0
и ³	и ³	0	и ⁴	0	0	0	0	0	0
и ⁴	и ⁴	0	0	0	0	0	0	0	0

Непосредственный расчет показывает, что J _F = 9( x ⁴ + 2x ²и ² + и ⁴) , и поэтому [J _F ] = 24 y ⁴. Далее присваиваются значения для $\scriptstyle \ell$ . Можно взять

\ell (1)=\ell (x)=\ell (y)=\ell (x^{2})=\ell (xy)=\ell (y^{2})=\ell (xy^{2})=\ell (y^{3})=0,\ {\text{and}}\ \ell (y^{4})=3.

Этот выбор был сделан для того, чтобы $\scriptstyle \ell \left(\left[J_{F}\right]\right)\,>\,0$ как того требовала гипотеза, и чтобы в расчетах использовались целые числа, а не дроби. Применение этого к таблице умножения дает матричное представление билинейной формы β относительно данного базиса: $\left[{\begin{array}{ccccccccc}0&0&0&0&0&0&0&0&3\\0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&3&0\\0&0&0&3&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&3&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&3&0&0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0&0&0&0&0\\\end{array}}\right]$ этой Собственные значения матрицы: -3, -3, -1, 1, 1, 2, 3, 3 и 4. Существует 3 отрицательных собственных значения ( # N = 3 ) и шесть положительных собственных значений ( # P = 6 ); это означает, что подпись β имеет вид # P − # N = 6 − 3 = +3 . Отсюда следует, что X имеет индекс Пуанкаре–Хопфа +3 в начале координат.

Топологическая проверка

При таком конкретном выборе X можно проверить, что индекс Пуанкаре–Хопфа равен +3, прямым применением определения индекса Пуанкаре–Хопфа. ^{[ 6 ]} Такое случается очень редко, и это послужило причиной выбора примера . Если взять полярные координаты на плоскости, т.е. x = r cos(θ) и y = r sin(θ), то x ³ − 3 ху ² = р ³cos(3θ) и 3 x ²й - й ³ = р ³грех(3θ). Ограничьте X окружностью с центром 0 и радиусом 0 < ε ≪ 1 , обозначенной C _0,ε ; и рассмотрим отображение G : C _0,ε → C _0,1 , заданное формулой

G\colon X\longmapsto {\frac {X}{||X||}}.

Индекс Пуанкаре–Хопфа X по определению является топологической степенью отображения G . ^{[ 6 ]} Ограничение X окружностью C _0,ε для сколь угодно малого ε дает

G(\theta )=(\cos(3\theta ),\sin(3\theta )),\,

это означает, что когда θ совершает один оборот вокруг окружности C _0,ε в направлении против часовой стрелки; изображение G (θ) совершает три полных оборота против часовой стрелки вокруг единичной окружности C _0,1 . Это означает, что топологическая степень G равна +3 и что индекс Пуанкаре – Хопфа X в точке 0 равен +3. ^{[ 6 ]}

Ссылки

^ Арнольд Владимир Иванович ; Варченко Александр Н. ; Гусейн-Заде, Сабир М. (2009). Особенности дифференцируемых отображений. Том. I. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов . Монографии по математике. Том. 82. Перевод Яна Портеуса и Марка Рейнольдса. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. п. 84. дои : 10.1007/978-1-4612-5154-5 . ISBN 978-0-8176-3187-1 . МР 0777682 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Брасселе, Жан-Поль; Сид, Хосе; Сува, Тацуо (2009), Векторные поля на особых многообразиях , Берлин: Springer, стр. 123–125, номер домена : 10.1007/978-3-642-05205-7 , ISBN. 978-3-642-05204-0 , МР 2574165
^ Арнольд, Владимир Иванович (1978). «Индекс особой точки векторного поля, неравенства Петровского-Олейника и смешанные структуры Ходжа». Функциональный анализ и его приложения . 12 (1): 1–12. дои : 10.1007/BF01077558 . МР 0498592 . S2CID 123306360 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Гомекс Монт, Ксавье; Мардешич, Павао (1997). «Индекс векторного поля, касательного гиперповерхности, и сигнатура относительного определителя Якобиана» . Анналы Института Фурье . 5 (47): 1523–1539. МР 1600363 .
^ Эйзенбуд, Дэвид ; Левин, Гарольд И. (1977). «Алгебраическая формула для степени C ^∞ карта зародыша». Анналы математики . 106 (1): 19–38. : 10.2307 /1971156 . JSTOR 1971156. . MR 0467800 doi
^ Jump up to: ^а ^б ^с Милнор, Джон В. (1997), Топология с дифференцируемой точки зрения , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04833-8

[arnold_et_al-1] Арнольд Владимир Иванович ; Варченко Александр Н. ; Гусейн-Заде, Сабир М. (2009). Особенности дифференцируемых отображений. Том. I. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов . Монографии по математике. Том. 82. Перевод Яна Портеуса и Марка Рейнольдса. Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. п. 84. дои : 10.1007/978-1-4612-5154-5 . ISBN 978-0-8176-3187-1 . МР 0777682 .

[brasselet_et_al-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Брасселе, Жан-Поль; Сид, Хосе; Сува, Тацуо (2009), Векторные поля на особых многообразиях , Берлин: Springer, стр. 123–125, номер домена : 10.1007/978-3-642-05205-7 , ISBN. 978-3-642-05204-0 , МР 2574165

[3] Арнольд, Владимир Иванович (1978). «Индекс особой точки векторного поля, неравенства Петровского-Олейника и смешанные структуры Ходжа». Функциональный анализ и его приложения . 12 (1): 1–12. дои : 10.1007/BF01077558 . МР 0498592 . S2CID 123306360 .

[gomez-4] Jump up to: ^а ^б ^с Гомекс Монт, Ксавье; Мардешич, Павао (1997). «Индекс векторного поля, касательного гиперповерхности, и сигнатура относительного определителя Якобиана» . Анналы Института Фурье . 5 (47): 1523–1539. МР 1600363 .

[5] Эйзенбуд, Дэвид ; Левин, Гарольд И. (1977). «Алгебраическая формула для степени C ^∞ карта зародыша». Анналы математики . 106 (1): 19–38. : 10.2307 /1971156 . JSTOR 1971156. . MR 0467800 doi

[milnor-6] Jump up to: ^а ^б ^с Милнор, Джон В. (1997), Топология с дифференцируемой точки зрения , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-04833-8

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]