Векторные поля на сферах

В математике обсуждение векторных полей на сферах было классической проблемой дифференциальной топологии , начиная с теоремы о волосатом шаре и ранних работ по классификации алгебр с делением .

В частности, вопрос в том, сколько линейно независимых гладких векторных полей, не имеющих нигде нуля, можно построить на сфере в $n$-мерное евклидово пространство . Окончательный ответ был дан в 1962 году Фрэнком Адамсом . Уже было известно, прямым построением с использованием алгебр Клиффорда , что существовало по крайней мере $\rho (n)-1$такие поля (см. определение ниже). Адамс применил теорию гомотопий и топологическую K-теорию. доказать, что больше независимых векторных полей найти невозможно. Следовательно $\rho (n)-1$ — точное количество поточечных линейно независимых векторных полей, существующих на ( $n-1$)-мерная сфера.

Технические подробности

Подробно вопрос относится к «круглым сферам» и их касательным расслоениям : фактически, поскольку все экзотические сферы имеют изоморфные касательные расслоения, числа Радона – Гурвица $\rho (n)$определить максимальное число линейно независимых сечений касательного расслоения любой гомотопической сферы. Случай $n$ Нечетность учитывается теоремой Пуанкаре – Хопфа об индексе (см. теорему о волосатом шаре ), поэтому случай $n$даже является продолжением этого. Адамс показал, что максимальное число непрерывных ( гладких здесь ничем не отличается) поточечно линейно независимых векторных полей на ( $n-1$)-сфера точно $\rho (n)-1$.

Построение полей связано с вещественными алгебрами Клиффорда , которые представляют собой теорию с периодичностью по модулю 8, которая также проявляется здесь. С помощью процесса Грама – Шмидта это то же самое, что требовать (поточечную) линейную независимость или поля, которые дают ортонормированный базис в каждой точке.

Числа Радона–Гурвица

Числа Радона –Гурвица $\rho (n)$ встречаются в более ранних работах Иоганна Радона (1922) и Адольфа Гурвица (1923) по проблеме Гурвица о квадратичных формах . Для $n$ записано как произведение нечетного числа $A$ и степень двойки $2^{B}$, писать

$B=c+4d,0\leq c<4$.

Затем

$\rho (n)=2^{c}+8d$.

Первые несколько значений $\rho (2n)$ являются (из (последовательность A053381 в OEIS )):

2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 9, 2, 4, 2, 8, 2, 4, 2, 10, ...

Для нечетных $n$, значение функции $\rho (n)$ это один.

Эти цифры встречаются и в других, смежных областях. В теории матриц число Радона – Гурвица подсчитывает максимальный размер линейного подпространства вещественного пространства. $n\times n$матрицы, для которых каждая ненулевая матрица является преобразованием подобия , т.е. произведением ортогональной матрицы и скалярной матрицы . В квадратичных формах требует проблема Гурвица мультипликативных тождеств между квадратичными формами. Классические результаты были пересмотрены в 1952 году Бено Экманном . Сейчас они применяются в таких областях, как теория кодирования и теоретическая физика .

Ссылки

• Портеус, ИК (1969). Топологическая геометрия . Ван Ностранд Рейнхольд. стр. 336–352 . ISBN  0-442-06606-6 . Збл   0186.06304 .
• Миллер, Х.Р. «Векторные поля на сферах и т. д. (конспекты курса)» (PDF) . Проверено 10 ноября 2018 г.