Задача Гурвица

В математике проблема Гурвица (названная в честь Адольфа Гурвица ) — это проблема поиска мультипликативных отношений между квадратичными формами , которые обобщают те, которые, как известно, существуют между суммами квадратов с определенным числом переменных.

Описание

Известны мультипликативные соотношения между суммами квадратов двух переменных.

$(x^{2}+y^{2})(u^{2}+v^{2})=(xu-yv)^{2}+(xv+yu)^{2}\ ,$

(известное как тождество Брахмагупты-Фибоначчи ), а также четырехквадратное тождество Эйлера и восьмиквадратное тождество Дегена . Это можно интерпретировать как мультипликативность норм комплексных чисел. $\mathbb {C}$), кватернионы ( $\mathbb {H}$) и октонионы ( $\mathbb {O}$), соответственно.

Задача Гурвица для поля K состоит в нахождении общих соотношений вида

$(x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2})\cdot (y_{1}^{2}+\cdots +y_{s}^{2})=(z_{1}^{2}+\cdots +z_{n}^{2})\ ,$

причем z представляет собой билинейные формы относительно x и y : то есть каждый z представляет собой K -линейную комбинацию термов формы x _i y _j .

Мы называем тройку $\;(r,s,n)\;$ допустимо для K, если такое тождество существует. Тривиальные случаи допустимых троек включают $\;(r,s,rs)\;.$ 2 задача неинтересна Для К характеристики , так как над такими полями каждая сумма квадратов является квадратом, и мы исключаем этот случай. Считается, что в противном случае допустимость не зависит от области определения.

Теорема Гурвица–Радона.

Гурвиц поставил проблему в 1898 году в особом случае. $\;r=s=n\;$ и показал, что, когда коэффициенты взяты в $\mathbb {C}$, единственные допустимые значения $\,(n,n,n)\,$ были $\;n\in \{1,2,4,8\}\;.$ Его доказательство распространяется на поле любой характеристики, кроме 2.

Задача «Гурвица–Радона» заключается в нахождении допустимых троек вида $\,(r,n,n)\;.$ Очевидно $\;(1,n,n)\;$ допустимо. Теорема Гурвица – Радона утверждает, что $\;\left(\rho (n),n,n\right)\;$ допустимо в любом поле, где $\,\rho (n)\,$ это функция, определенная для $\;n=2^{u}v\;,$ в странный, $\;u=4a+b\;,$ с $\;0\leq b\leq 3\;,$ и $\;\rho (n)=8a+2^{b}\;.$

Другие допустимые тройки включают $\,(3,5,7)\,$ и $\,(10,10,16)\;.$

См. также

• Композиционная алгебра
• Теорема Гурвица (нормированные алгебры с делением)
• Число Радона – Гурвица