Тождество Брахмагупты – Фибоначчи

В алгебре тождество Брахмагупты –Фибоначчи выражает произведение двух сумм двух квадратов как сумму двух квадратов двумя разными способами. Следовательно, множество всех сумм двух квадратов замкнуто относительно умножения. В частности, личность говорит

${\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}&&(1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.&&(2)\end{aligned}}$

Например,

$(1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.$

Это тождество также известно как тождество Диофанта . как это впервые доказал Диофант Александрийский . Это частный случай четырехквадратного тождества Эйлера , а также тождества Лагранжа .

Брахмагупта доказал и использовал более общую идентичность Брахмагупты , заявив:

${\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&(3)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2}.&&(4)\end{aligned}}$

Это показывает, что для любого фиксированного A множество всех чисел вида x ² + Ох ² замкнуто при умножении.

Эти тождества справедливы для всех целых чисел , а также для всех рациональных чисел ; в более общем смысле они верны в любом коммутативном кольце . Все четыре формы идентичности можно проверить, расширив каждую часть уравнения. Кроме того, (2) можно получить из (1) или (1) из (2), заменив b на − b , и аналогично с (3) и (4).

История

Это тождество впервые появилось в Диофанта » « Арифметике (III, 19) третьего века нашей эры. Оно было заново открыто Брахмагуптой (598–668), индийским математиком и астрономом , который обобщил его до тождества Брахмагупты и использовал в своем исследовании того, что сейчас называется уравнением Пелла . Его «Брахмасфутасиддханта» была переведена с санскрита на арабский Мохаммадом аль-Фазари , а впоследствии переведена на латынь в 1126 году. Идентичность была введена в Западной Европе в 1225 году Фибоначчи в «Книге квадратов» , и поэтому эту идентичность часто приписывали ему.

Родственные личности

Аналогичными тождествами являются квадрат Эйлера, связанный с кватернионами , и квадрат Дегена, полученный из октонионов , который связан с периодичностью Ботта . Существует также шестнадцатиквадратичное тождество Пфистера , хотя оно уже не является билинейным.

Эти тождества тесно связаны с Гурвица классификацией композиционных алгебр .

Тождество Брахмагупты-Фибоначчи — это особая форма тождества Лагранжа , которое само по себе является особой формой тождества Бине-Коши , в свою очередь, специальной формой формулы Коши-Бине для определителей матрицы.

Умножение комплексных чисел

Если a , b , c и d — действительные числа , тождество Брахмагупты-Фибоначчи эквивалентно мультипликативному свойству для абсолютных значений комплексных чисел :

$|a+bi|\cdot |c+di|=|(a+bi)(c+di)|.$

Это можно увидеть следующим образом: разложив правую часть и возведя в квадрат обе части, свойство умножения эквивалентно

$|a+bi|^{2}\cdot |c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},$

и по определению абсолютной стоимости это, в свою очередь, эквивалентно

$(a^{2}+b^{2})\cdot (c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.$

Эквивалентное вычисление в случае, когда переменные a , b , c и d являются рациональными числами , показывает, что тождество можно интерпретировать как утверждение о том, что норма в поле Q ( i ) является мультипликативной: норма задается формулой

$N(a+bi)=a^{2}+b^{2},$

а расчет мультипликативности аналогичен предыдущему.

Приложение к уравнению Пелла

В первоначальном контексте Брахмагупта применил свое открытие этого тождества к решению уравнения Пелла x. ² - Ой ² = 1. Использование тождества в более общем виде

$(x_{1}^{2}-Ay_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ay_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2})^{2}-A(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},$

он смог «составить» тройки ( x ₁ , y ₁ , k ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , k ₂ ), которые были решениями x ² - Ой ² = k , чтобы сгенерировать новую тройку

$(x_{1}x_{2}+Ay_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).$

Это не только дало возможность генерировать бесконечное множество решений задачи x ² - Ой ² = 1, начиная с одного решения, но также путем деления такой композиции на k ₁ k ₂ часто можно получить целые или «почти целые» решения. На этом тождестве был также основан общий метод решения уравнения Пелля, данный Бхаскаром II в 1150 году, а именно метод чакравалы (циклический) .

Запись целых чисел в виде суммы двух квадратов

При использовании в сочетании с одной из теорем Ферма тождество Брахмагупты-Фибоначчи доказывает, что произведение квадрата и любого количества простых чисел вида 4 n + 1 является суммой двух квадратов.

См. также

• Матрица Брахмагупты
• Индийская математика
• Полиномы Брахмагупты
• Список индийских математиков
• Теорема о сумме двух квадратов

Ссылки

• Джозеф, Джордж Г. (2000), Герб павлина: неевропейские корни математики (2-е изд.), Princeton University Press , стр. 306, ISBN  978-0-691-00659-8
• Стиллвелл, Джон (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer , стр. 72–76, ISBN.  978-0-387-95336-6

Внешние ссылки

• Личность Брахмагупты в PlanetMath
• Личность Брахмагупты на MathWorld
• Коллекция алгебраических тождеств, заархивированная 6 марта 2012 г. в Wayback Machine.