Полиномы Брахмагупты

Полиномы Брахмагупты — это класс полиномов, связанных с матрицей Брахмагупы, которая, в свою очередь, связана с тождеством Брахмагупты . Концепция и терминология были представлены Э. Р. Сурианараяном из Университета Род-Айленда, Кингстон, в статье, опубликованной в 1996 году. Эти полиномы обладают несколькими интересными свойствами и нашли применение в замощения . задачах и в задаче о нахождении героновских треугольников , у которых длины сторон являются целыми последовательными числами.

Определение

Личность Брахмагупты

В алгебре тождество Брахмагупты гласит, что для данного целого числа N произведение двух чисел вида $x^{2}-Ny^{2}$ снова число формы. Точнее, мы имеем

$(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}.$

Это тождество можно использовать для генерации бесконечного множества решений уравнения Пелла . Его также можно использовать для последовательного получения лучших рациональных приближений к квадратным корням произвольных целых чисел.

Матрица Брахмагупты

Если для произвольного действительного числа $t$, определим матрицу

$B(x,y)={\begin{bmatrix}x&y\\ty&x\end{bmatrix}}$

тогда личность Брахмагупты можно выразить в следующей форме:

$\det B(x_{1},y_{1})\det B(x_{2},y_{2})=\det(B(x_{1},y_{1})B(x_{2},y_{2}))$

Матрица $B(x,y)$ называется матрицей Брахмагупты.

Полиномы Брахмагупты

Позволять $B=B(x,y)$ быть как указано выше. Тогда по индукции видно, что матрица $B^{n}$ можно записать в форме

$B^{n}={\begin{bmatrix}x_{n}&y_{n}\\ty_{n}&x_{n}\end{bmatrix}}$

Здесь, $x_{n}$ и $y_{n}$ являются полиномами в $x,y,t$. Эти полиномы называются полиномами Брахмагупты. Первые несколько полиномов перечислены ниже:

${\begin{alignedat}{2}x_{1}&=x&y_{1}&=y\\x_{2}&=x^{2}+ty^{2}&y_{2}&=2xy\\x_{3}&=x^{3}+3txy^{2}&y_{3}&=3x^{2}y+ty^{3}\\x_{4}&=x^{4}+6t^{2}x^{2}y^{2}+t^{2}y^{4}\qquad &y_{4}&=4x^{3}y+4txy^{3}\end{alignedat}}$

Характеристики

Здесь суммированы несколько элементарных свойств полиномов Брахмагупты. Более продвинутые свойства обсуждаются в статье Сурьянараяна.

Рекуррентные отношения

Полиномы $x_{n}$ и $y_{n}$ удовлетворяют следующим рекуррентным соотношениям:

• $x_{n+1}=xx_{n}+tyy_{n}$
• $y_{n+1}=xy_{n}+yx_{n}$
• $x_{n+1}=2xx_{n}-(x^{2}-ty^{2})x_{n-1}$
• $y_{n+1}=2xy_{n}-(x^{2}-ty^{2})y_{n-1}$
• $x_{2n}=x_{n}^{2}+ty_{n}^{2}$
• $y_{2n}=2x_{n}y_{n}$

Точные выражения

Собственные значения ​ $B(x,y)$ являются $x\pm y{\sqrt {t}}$ и соответствующие векторы собственные $[1,\pm {\sqrt {t}}]^{T}$. Следовательно

$B[1,\pm {\sqrt {t}}]^{T}=(x\pm y{\sqrt {t}})[1,\pm {\sqrt {t}}]^{T}$.

Отсюда следует, что

$B^{n}[1,\pm {\sqrt {t}}]^{T}=(x\pm y{\sqrt {t}})^{n}[1,\pm {\sqrt {t}}]^{T}$.

Это дает следующие точные выражения для $x_{n}$ и $y_{n}$:

• $x_{n}={\tfrac {1}{2}}{\big [}(x+y{\sqrt {t}})^{n}+(x-y{\sqrt {t}})^{n}{\big ]}$
• $y_{n}={\tfrac {1}{2{\sqrt {t}}}}{\big [}(x+y{\sqrt {t}})^{n}-(x-y{\sqrt {t}})^{n}{\big ]}$

Разлагая степени в приведенных выше точных выражениях с помощью биномиальной теоремы и упрощая, получаем следующие выражения для $x_{n}$ и $y_{n}$:

• $x_{n}=x^{n}+t{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+t^{2}{n \choose 4}x^{n-4}y^{4}+\cdots$
• $y_{n}=nx^{n-1}y+t{n \choose 3}x^{n-3}y^{3}+t^{2}{n \choose 5}x^{n-5}y^{5}+\cdots$

Особые случаи

1. Если $x=y={\tfrac {1}{2}}$ и $t=5$ тогда для $n>0$:

$2y_{n}=F_{n}$ это последовательность Фибоначчи $1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,\ldots$.

$2x_{n}=L_{n}$ это последовательность Лукаса $2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,\ldots$.

1. Если мы установим $x=y=1$ и $t=2$, затем:

$x_{n}=1,1,3,7,17,41,99,239,577,\ldots$ которые являются числителями цепных дробей, сходящихся к ${\sqrt {2}}$. Это также последовательность половин чисел Пелля-Люкаса .

$y_{n}=0,1,2,5,12,29,70,169,408,\ldots$ что представляет собой последовательность чисел Пелля .

Дифференциальное уравнение

$x_{n}$ и $y_{n}$ являются полиномиальными решениями следующего уравнения в частных производных:

$\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{t}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)U=0$