Личность Брахмагупты

В алгебре говорит , тождество Брахмагупты что для данного $n$ , произведение двух чисел вида $a^{2}+nb^{2}$ само по себе является числом этой формы. Другими словами, множество таких чисел замкнуто относительно умножения. Конкретно:

{\begin{aligned}\left(a^{2}+nb^{2}\right)\left(c^{2}+nd^{2}\right)&{}=\left(ac-nbd\right)^{2}+n\left(ad+bc\right)^{2}&&&(1)\\&{}=\left(ac+nbd\right)^{2}+n\left(ad-bc\right)^{2},&&&(2)\end{aligned}}

И (1), и (2) можно проверить, расширив каждую часть уравнения. Кроме того, (2) можно получить из (1) или (1) из (2), заменив b на − b .

Это тождество справедливо как в кольце целых чисел , так и в кольце рациональных чисел и, в более общем плане, в любом коммутативном кольце .

История

Тождество является обобщением так называемого тождества Фибоначчи (где n = 1), которое фактически встречается в Диофанта » « Арифметике (III, 19). Это тождество было вновь открыто Брахмагуптой (598–668), индийским математиком и астрономом , который обобщил его и использовал в своем исследовании того, что сейчас называется уравнением Пелла . Его «Брахмасфутасиддханта» была переведена с санскрита на арабский Мохаммадом аль-Фазари , а впоследствии переведена на латынь в 1126 году. ^{[ 1 ]} Позднее это имя появилось в Фибоначчи » «Книге квадратов в 1225 году.

Приложение к уравнению Пелла

В первоначальном контексте Брахмагупта применил свое открытие к решению того, что позже было названо уравнением Пелла , а именно x ² - ² = 1. Используя тождество в виде

(x_{1}^{2}-Ny_{1}^{2})(x_{2}^{2}-Ny_{2}^{2})=(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2})^{2}-N(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2},

он смог «составить» тройки ( x ₁ , y ₁ , k ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , k ₂ ), которые были решениями x ² - ² = k , чтобы сгенерировать новую тройку

(x_{1}x_{2}+Ny_{1}y_{2}\,,\,x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}\,,\,k_{1}k_{2}).

Это не только дало возможность генерировать бесконечное множество решений задачи x ² - ² = 1, начиная с одного решения, но также путем деления такой композиции на k ₁ k ₂ часто можно получить целые или «почти целые» решения. На этом тождестве был также основан общий метод решения уравнения Пелля, данный Бхаскаром II в 1150 году, а именно метод чакравалы (циклический) . ^{[ 2 ]}

См. также

Ссылки

^ Джордж Г. Джозеф (2000). Герб павлина , с. 306. Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-00659-8 .
^ Джон Стиллвелл (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer, стр. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

Внешние ссылки

Личность Брахмагупты в PlanetMath
Личность Брахмагупты на MathWorld
Коллекция алгебраических тождеств, заархивированная 6 марта 2012 г. в Wayback Machine.

[1] Джордж Г. Джозеф (2000). Герб павлина , с. 306. Издательство Принстонского университета . ISBN 0-691-00659-8 .

[stillwell-2] Джон Стиллвелл (2002), Математика и ее история (2-е изд.), Springer, стр. 72–76, ISBN 978-0-387-95336-6

[ 1 ]

[ 2 ]