Закон композиции Гаусса

В математике , в теории чисел , закон композиции Гаусса — это правило, придуманное Карлом Фридрихом Гауссом , для выполнения бинарной операции над целыми двоичными квадратичными формами (IBQF). Гаусс изложил это правило в своих «Рассуждениях об арифметике» . учебник по теории чисел , опубликованный в 1801 году в статьях 234–244. Закон композиции Гаусса - один из самых глубоких результатов в теории IBQF, а формулировка закона Гауссом и доказательства его свойств, данные Гауссом, обычно считаются очень сложными и очень сложно. Несколько более поздних математиков упростили формулировку закона композиции и представили ее в формате, удобном для численных вычислений. Концепция также нашла обобщения в нескольких направлениях.

Целые бинарные квадратичные формы

Выражение формы $Q(x,y)=\alpha x^{2}+\beta xy+\gamma y^{2}$, где $\alpha ,\beta ,\gamma ,x,y$ все целые числа , называется целой двоичной квадратичной формой (IBQF). Форма $Q(x,y)$ называется примитивным IBQF, если $\alpha ,\beta ,\gamma$ являются относительно простыми. Количество $\Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma$ называется дискриминантом IBQF $Q(x,y)$. Целое число $\Delta$ является дискриминантом некоторого IBQF тогда и только тогда, когда $\Delta \equiv 0,1(\mathrm {mod} \,\,4)$. $\Delta$ называется фундаментальным дискриминантом тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих утверждений

• $\Delta \equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)$ и не содержит квадратов ,
• $\Delta =4m$ где $m=2{\text{ or }}3\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)$ и $m$ бесквадратен.

Если $\Delta <0$ и $\alpha >0$ затем $Q(x,y)$ называется положительно определенным; если $\Delta <0$ и $\alpha <0$ затем $Q(x,y)$ называется отрицательно определенным; если $\Delta >0$ затем $Q(x,y)$ говорят, что он бессрочен.

Эквивалентность IBQF

Два IBQF $g(x,y)$ и $h(x,y)$ называются эквивалентными (или собственно эквивалентными), если существуют целые числа α, β, γ, δ такие, что

$\alpha \delta -\beta \gamma =1$ и $g(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=h(x,y).$

Обозначения $g(x,y)\sim h(x,y)$ используется для обозначения того факта, что две формы эквивалентны. Отношение " $\sim$" — это отношение эквивалентности в множестве всех IBQF. Класс эквивалентности, которому соответствует IBQF. $g(x,y)$ принадлежит, обозначается $[g(x,y)]$.

Два IBQF $g(x,y)$ и $h(x,y)$ называются несобственно эквивалентными, если

$\alpha \delta -\beta \gamma =-1$ и $g(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=h(x,y).$

Отношение несобственной эквивалентности в множестве IBQF также является отношением эквивалентности.

Легко увидеть, что эквивалентные IBQF (правильные или неправильные) имеют один и тот же дискриминант.

Формулировка Гаусса закона композиции

Исторический контекст

Следующее тождество, названное тождеством Брахмагупты , было известно индийскому математику Брахмагупте (598–668), который использовал его для вычисления последовательно лучших дробных приближений к квадратным корням из положительных целых чисел:

$(x^{2}+Dy^{2})(u^{2}+Dv^{2})=(xu+Dyv)^{2}+D(xv-yu)^{2}$

Письмо $f(x,y)=x^{2}+Dy^{2}$ это тождество можно представить в виде

$f(x,y)f(u,v)=f(X,Y)$ где $X=xu+Dyv,Y=xv-yu$.

Закон композиции IBQF Гаусса обобщает это тождество до тождества вида $g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)$ где $g(x,y),h(x,y),F(X,Y)$ все IBQF и $X,Y$ представляют собой линейные комбинации произведений $xu,xv,yu,yv$.

Закон состава IBQF

Рассмотрим следующие IBQF:

$g(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$

$h(x,y)=dx^{2}+exy+fy^{2}$

$F(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}$

Если можно найти целые числа $p,q,r,s$ и $p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime }$ такие, что следующие шесть чисел

$pq^{\prime }-qp^{\prime },pr^{\prime }-rp^{\prime },ps^{\prime }-sp^{\prime },qr^{\prime }-rq^{\prime },qs^{\prime }-sq^{\prime },rs^{\prime }-sr^{\prime }$

не имеют общих делителей, кроме ±1, и такие, что если мы позволим

$X=pxu+qxv+ryu+syv$

$Y=p^{\prime }xu+q^{\prime }xv+r^{\prime }yu+s^{\prime }yv$

следующее соотношение тождественно выполняется

$g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)$,

тогда форма $F(x,y)$ называется комбинацией форм $g(x,y)$ и $h(x,y)$. Можно отметить, что совокупность двух IBQF, если она существует, не уникальна.

Пример

Рассмотрим следующие бинарные квадратичные формы:

$g(x,y)=2x^{2}+3xy-10y^{2}$

$h(x,y)=5x^{2}+3xy-4y^{2}$

$F(x,y)=10x^{2}+3xy-2y^{2}$

Позволять

$[p,q,r,s]=[1,0,0,2],\quad [p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime }]=[0,2,5,3]$

У нас есть

$pq^{\prime }-qp^{\prime }=2,pr^{\prime }-rp^{\prime }=5,ps^{\prime }-sp^{\prime }=3,qr^{\prime }-rq^{\prime }=0,qs^{\prime }-sq^{\prime }=4,rs^{\prime }-sr^{\prime }=10$.

Эти шесть чисел не имеют общих делителей, кроме ±1.Позволять

$X=pxu+qxv+ryu+syv=xu+2yv$,

$Y=p^{\prime }xu+q^{\prime }xv+r^{\prime }yu+s^{\prime }yv=2xv+5yu+3yv$.

Тогда можно убедиться, что

$g(x,y)h(u,v)=F(X,Y)$.

Следовательно $F(x,y)$ представляет собой совокупность $g(x,y)$ и $h(x,y)$.

Алгоритм поиска композиции двух IBQF

Следующий алгоритм можно использовать для вычисления совокупности двух IBQF.

Алгоритм

Учитывая следующие IBQF, имеющие одинаковый дискриминант $\Delta$:

$f_{1}(x,y)=a_{1}x^{2}+b_{1}xy+c_{1}y^{2}$

$f_{2}(x,y)=a_{2}x^{2}+b_{2}xy+c_{2}y^{2}$

$\Delta =b_{1}^{2}-4a_{1}c_{1}=b_{2}^{2}-4a_{2}c_{2}$

1. Вычислить $\beta ={\frac {b_{1}+b_{2}}{2}}$
2. Вычислить $n=\gcd(a_{1},a_{2},\beta )$
3. Вычислить $t,u,v$ такой, что $a_{1}t+a_{2}u+\beta v=n$
4. Вычислить $A={\frac {a_{1}a_{2}}{n^{2}}}$
5. Вычислить $B={\frac {a_{1}b_{2}t+a_{2}b_{1}u+v(b_{1}b_{2}+\Delta )/2}{n}}$
6. Вычислить $C={\frac {B^{2}-\Delta }{4A}}$
7. Вычислить $F(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}$
8. Вычислить

$X=nx_{1}x_{2}+{\frac {(b_{2}-B)n}{2a_{2}}}x_{1}y_{2}+{\frac {(b_{1}-B)n}{2a_{1}}}y_{1}x_{1}+{\frac {[b_{1}b_{2}+\Delta -B(b_{1}+b_{2})]n}{4a_{1}a_{2}}}y_{1}y_{2}$

$Y={\frac {a_{1}}{n}}x_{1}y_{2}+{\frac {a_{2}}{n}}y_{1}x_{1}+{\frac {b_{1}+b_{2}}{2n}}y_{1}y_{2}$

Затем $F(X,Y)=f_{1}(x_{1},y_{1})f_{2}(x_{2},y_{2})$ так что $F(x,y)$ представляет собой совокупность $f_{1}(x,y)$ и $f_{2}(x,y)$.

Свойства закона композиции

Существование композита

Композиция двух IBQF существует тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый дискриминант.

Эквивалентные формы и закон композиции

Позволять $g(x,y),h(x,y),g^{\prime }(x,y),h^{\prime }(x,y)$ будут IBQF и пусть существуют следующие эквивалентности:

$g(x,y)\sim g^{\prime }(x,y)$

$h(x,y)\sim h^{\prime }(x,y)$

Если $F(x,y)$ представляет собой совокупность $g(x,y)$ и $h(x,y)$, и $F^{\prime }(x,y)$ представляет собой совокупность $g^{\prime }(x,y)$ и $h^{\prime }(x,y)$, затем

$F(x,y)\sim F^{\prime }(x,y).$

Бинарная операция

Позволять $D$ быть фиксированным целым числом и рассмотрим множество $S_{D}$ всех возможных примитивных IBQF дискриминанта $D$. Позволять $G_{D}$ — множество классов эквивалентности в этом множестве при отношении эквивалентности " $\sim$". Позволять $[g(x,y)]$ и $[h(x,y)]$ быть двумя элементами $G_{D}$. Позволять $F(x,y)$ быть составной частью IBQF $g(x,y)$ и $h(x,y)$ в $S_{D}$. Тогда следующее уравнение

$[g(x,y)]\circ [h(x,y)]=[F(x,y)]$

определяет четко определенную бинарную операцию " $\circ$" в $G_{D}$.

Группа Г _Д

• Набор $G_{D}$ является конечной абелевой группой относительно бинарной операции $\circ$.

• Элемент идентичности в группе $G_{D}$ = ${\begin{cases}[x^{2}-(D/4)y^{2}]&{\text{ if }}D\equiv 0\,(\mathrm {mod} \,\,4)\\[1mm][x^{2}+xy+((1-D)/4)y^{2}]&{\text{ if }}D\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,\,4)\end{cases}}$

• Обратная сторона $[ax^{2}+bxy+cy^{2}]$ в $G_{D}$ является $[ax^{2}-bxy+cy^{2}]$.

Современный подход к закону композиции

Следующий очерк современного подхода к закону композиции IBQF основан на монографии Дункана А. Бьюэлла. С книгой можно ознакомиться для получения более подробной информации и доказательств всех приведенных ниже утверждений.

Квадратичные алгебраические числа и целые числа

Позволять $\mathbb {Z}$ быть набором целых чисел. Далее в этом разделе элементы $\mathbb {Z}$ будем называть рациональными целыми числами , чтобы отличить их от целых алгебраических чисел, которые будут определены ниже.

Комплексное число $\alpha$ называется квадратичным алгебраическим числом , если оно удовлетворяет уравнению вида

$ax^{2}+bx+c=0$ где $a,b,c\in \mathbb {Z}$.

$\alpha$ называется квадратичным алгебраическим целым числом, если оно удовлетворяет уравнению вида

$x^{2}+bx+c=0$ где $b,c\in \mathbb {Z}$

Квадратичные алгебраические числа — это числа вида

$\alpha ={\frac {-b+e{\sqrt {d}}}{2a}}$ где $a,b,d,e\in \mathbb {Z}$ и $d$ не имеет никаких квадратных множителей, кроме $1$.

Целое число $d$ называется подкоренным числом целого алгебраического числа $\alpha$. Норма числа квадратичного алгебраического $\alpha$ определяется как

$N(\alpha )=(b^{2}+e^{2}d)/4a^{2}$.

Позволять $\mathbb {Q}$ быть полем рациональных чисел. Наименьшее поле, содержащее $\mathbb {Q}$ и квадратичное алгебраическое число $\alpha$ – квадратичное поле, содержащее $\alpha$ и обозначается $\mathbb {Q} (\alpha )$. Это поле может быть показано как

$\mathbb {Q} (\alpha )=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})=\{t+u{\sqrt {d}}\,|\,t,u\in \mathbb {Q} \}$

Дискриминант ​ $\Delta$ поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ определяется

$\Delta ={\begin{cases}4d&{\text{ if }}d\equiv 2{\text{ or }}3\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\\[1mm]d&{\text{ if }}d\equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\end{cases}}$

Позволять $d\neq 1$ быть целым рациональным числом без квадратных множителей (кроме 1). Набор целых квадратичных алгебраических чисел подкоренных чисел $d$ обозначается $O({\sqrt {d}})$. Этот набор задается

$O({\sqrt {d}})={\begin{cases}\{a+b{\sqrt {d}}\,|\,a,b\in \mathbb {Z} \}&{\text{ if }}d\equiv 2{\text{ or }}3\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\\[1mm]\{(a+b{\sqrt {d}})/2\,|\,a,b\in \mathbb {Z} ,a\equiv b\,\,\mathrm {mod} \,\,2)\}&{\text{ if }}d\equiv 1\,\,(\mathrm {mod} \,\,4)\}\end{cases}}$

$O({\sqrt {d}})$ является кольцом при обычном сложении и умножении. Если мы позволим

$\delta ={\begin{cases}-{\sqrt {d}}&{\text{ if }}\delta {\text{ is even}}\\[1mm](1-{\sqrt {d}})/2&{\text{ if }}\delta {\text{ is odd}}\end{cases}}$

затем

$O({\sqrt {d}})=\{a+b\delta ,|,a,b\in \mathbb {Z} \}$.

Идеалы в квадратичных полях

Позволять $\mathbf {a}$ быть идеалом в кольце целых чисел $O({\sqrt {d}})$; то есть пусть $\mathbf {a}$ быть непустым подмножеством $O({\sqrt {d}})$ такой, что для любого $\alpha ,\beta \in \mathbf {a}$ и любой $\lambda ,\mu \in O({\sqrt {d}})$, $\lambda \alpha +\mu \beta \in \mathbf {a}$. (Идеал $\mathbf {a}$ как определено здесь, иногда называют интегральным идеалом, чтобы отличить его от дробного идеала , который будет определен ниже.) Если $\mathbf {a}$ является идеалом в $O({\sqrt {d}})$ тогда можно найти $\alpha _{1},\alpha _{2}\in O({\sqrt {d}})$ такой любой элемент в $\mathbf {a}$ можно однозначно представить в виде $\alpha _{1}x+\alpha _{2}y$ с $x,y\in \mathbb {Z}$. Такая пара элементов в $O({\sqrt {d}})$ называется основой идеала $\mathbf {a}$. Об этом свидетельствует запись $\mathbf {a} =\langle \alpha _{1},\alpha _{2}\rangle$. Норма ​ ​ $\mathbf {a} =\langle \alpha _{1},\alpha _{2}\rangle$ определяется как

$N(\mathbf {a} )=|\alpha _{1}{\overline {\alpha _{2}}}-{\overline {\alpha _{1}}}\alpha _{2}|/{\sqrt {\Delta }}$.

Норма не зависит от выбора основания.

Некоторые особые идеалы

• Продукт идеалов двух $\mathbf {a} =\langle \alpha _{1},\alpha _{2}\rangle$ и $\mathbf {b} =\langle \beta _{1},\beta _{2}\rangle$, обозначенный $\mathbf {a} \mathbf {b}$, является идеалом, порожденным $\mathbb {Z}$-линейные комбинации $\alpha _{1}\beta _{1},\alpha _{1}\beta _{2},\alpha _{2}\beta _{1},\alpha _{2}\beta _{2}$.

• Дробный идеал – это подмножество $I$ квадратичного поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})$ для которого выполняются следующие два свойства:

1. Для любого $\alpha ,\beta \in I$ и для любого $\lambda ,\mu \in O({\sqrt {d}})$, $\lambda \alpha +\mu \beta \in I$.
2. Существует фиксированное целое алгебраическое число $\nu$ такой, что для каждого $\alpha \in I$, $\nu \alpha \in O({\sqrt {d}})$.

• Идеал $\mathbf {a}$ называется главным идеалом, если существует целое алгебраическое число $\alpha$ такой, что $\mathbf {a} =\{\lambda \alpha \,|\,\lambda \in O({\sqrt {d}})\}$. Этот главный идеал обозначается $(\alpha )$.

Есть такой важный результат: «Для любого идеала (целого или дробного) $\mathbf {a}$, существует целостный идеал $\mathbf {b}$ такой, что продукт идеален $\mathbf {ab}$ есть главный идеал».

Отношение эквивалентности во множестве идеалов

Два (целых или дробных) идеала $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ Говорят, что они эквивалентны , помяты $\mathbf {a} \sim \mathbf {b}$, если существует главный идеал $(\alpha )$ такой, что $\mathbf {a} =(\alpha )\mathbf {b}$. Эти идеалы узко эквивалентны, если норма $\alpha$ является положительным. Отношение эквивалентности или узкой эквивалентности в множестве идеалов, определенное здесь, действительно является отношением эквивалентности.

Классы эквивалентности (соответственно узкие классы эквивалентности) дробных идеалов кольца целых квадратичных алгебраических чисел $O({\sqrt {d}})$ образуют абелеву группу при умножении идеалов. Единицей группы является класс всех главных идеалов (соответственно класс всех главных идеалов $(\alpha )$ с $N(\alpha )>0$). Группы классов идеалов и узких классов идеалов называются группой классов и узкой группой классов . $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$.

Бинарные квадратичные формы и классы идеалов

Основной результат, связывающий IBQF и классы идеалов, теперь можно сформулировать следующим образом:

«Группа классов бинарных квадратичных форм дискриминанта $\Delta$ изоморфна узкой группе классов поля квадратичных чисел $\mathbb {Q} ({\sqrt {\Delta }})$."

Подход Бхаргавы к закону композиции

Куб Бхаргавы с целыми числами a , b , c , d , e , f , g , h в углах

Манджул Бхаргава , канадско-американский математик, обладатель Филдсовской медали, представил конфигурацию, названную кубом Бхаргавы , из восьми целых чисел. $a,b,c,d,e,f$ (см. рисунок) для изучения законов композиции бинарных квадратичных форм и других подобных форм. Определение матриц, связанных с противоположными гранями этого куба, как показано ниже.

$M_{1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},N_{1}={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}},M_{2}={\begin{bmatrix}a&c\\e&g\end{bmatrix}},N_{2}={\begin{bmatrix}b&d\\f&h\end{bmatrix}},M_{3}={\begin{bmatrix}a&e\\b&f\end{bmatrix}},N_{3}={\begin{bmatrix}c&g\\d&h\end{bmatrix}}$,

Бхаргава построил три IBQF следующим образом:

$Q_{1}=-\det(M_{1}x+N_{1}y),\,\,Q_{2}=-\det(M_{2}x+N_{2}y)\,\,Q_{3}=-\det(M_{3}x+N_{3}y)$

Бхаргава установил следующий результат, связывающий куб Бхаргавы с законом композиции Гаусса:

«Если куб A порождает три примитивные бинарные квадратичные формы Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ , то Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ имеют один и тот же дискриминант, и произведение этих трех форм является тождеством в группе, определенной И наоборот, если Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ — любые три примитивные бинарные квадратичные формы одного и того же дискриминанта, произведение которых является тождественным при композиции Гаусса, то существует куб A, дающий Q ₁ , Q ₂ , Q _3. ."