Куб Бхаргавы

В математике , в теории чисел , куб Бхаргавы (также называемый кубом Бхаргавы ) — это конфигурация, состоящая из восьми целых чисел , помещенных в восемь углов куба . ^[1] Эта конфигурация широко использовалась Манджулом Бхаргавой , канадско-американским Филдсовской медали , удостоенным математиком , для изучения законов композиции бинарных квадратичных форм и других подобных форм. Каждой паре противоположных граней куба Бхаргавы можно сопоставить целочисленную двоичную квадратичную форму, получив таким образом три двоичные квадратичные формы, соответствующие трем парам противоположных граней куба Бхаргавы. ^[2] Все эти три квадратичные формы имеют один и тот же дискриминант , и Манджул Бхаргава доказал, что их композиция в смысле Гаусса ^[3] является единичным элементом в ассоциированной группе классов эквивалентности примитивных бинарных квадратичных форм. (Эта формулировка композиции Гаусса, вероятно, была впервые предложена Дедекиндом.) ^[4] Используя это свойство в качестве отправной точки для теории композиции бинарных квадратичных форм, Манджул Бхаргава с помощью куба определил четырнадцать различных законов композиции.

Целочисленные двоичные квадратичные формы

Выражение формы $Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ , где a , b и c — фиксированные целые числа, а x и y — целые переменные, называется целочисленной двоичной квадратичной формой. Дискриминант формы определяется как

D=b^{2}-4ac.

Форма называется примитивной, если коэффициенты a , b , c относительно просты. Две формы

Q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\quad Q^{\prime }(x,y)=a^{\prime }x^{2}+b^{\prime }xy+c^{\prime }y^{2}

называются эквивалентными, если существует преобразование

x\mapsto \alpha x+\beta y,\quad y\mapsto \gamma x+\delta y

с целыми коэффициентами, удовлетворяющими $\alpha \delta -\beta \gamma =1$ который преобразует $Q(x,y)$ к $Q^{\prime }(x,y)$ . Это отношение действительно является отношением эквивалентности в множестве целочисленных двоичных квадратичных форм и сохраняет дискриминанты и примитивность.

Гаусс-композиция целочисленных двоичных квадратичных форм

Позволять $Q(x,y)$ и $Q^{\prime }(x,y)$ — две примитивные бинарные квадратичные формы, имеющие одинаковый дискриминант, и пусть соответствующие классы эквивалентности форм равны $[Q(x,y)]$ и $[Q^{\prime }(x,y)]$ . Можно найти целые числа $p,q,r,s,p^{\prime },q^{\prime },r^{\prime },s^{\prime },a^{\prime \prime },b^{\prime \prime },c^{\prime \prime }$ такой, что

X=px_{1}x_{2}+qx_{1}y_{2}+ry_{1}x_{2}+sy_{1}y_{2}

Y=p^{\prime }x_{1}x_{2}+q^{\prime }x_{1}y_{2}+r^{\prime }y_{1}x_{2}+s^{\prime }y_{1}y_{2}

Q^{\prime \prime }(x,y)=a^{\prime \prime }x^{2}+b^{\prime \prime }xy+c^{\prime \prime }y^{2}

Q^{\prime \prime }(X,Y)=Q(x_{1},y_{1})Q^{\prime }(x_{2},y_{2})

Класс $[Q^{\prime \prime }(x,y)]$ однозначно определяется классами [ Q ( x , y )] и [ Q ^′( x , y )] и называется композицией классов $[Q(x,y)]$ и $[Q^{\prime }(x,y)]$ . ^[3] Об этом свидетельствует запись

[Q^{\prime \prime }(x,y)]=[Q(x,y)]\ast [Q^{\prime }(x,y)]

Множество классов эквивалентности примитивных бинарных квадратичных форм, имеющих заданный дискриминант D, является группой по описанному выше закону композиции. Идентификационным элементом группы является класс, определяемый следующей формой:

Q_{Id}^{(D)}(x,y)={\begin{cases}x^{2}-{\frac {D}{4}}y^{2}&D\equiv 0{\pmod {4}}\\x^{2}+xy+{\frac {1-D}{4}}y^{2}&D\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}

Обратный класс $[ax^{2}+hxy+by^{2}]$ это класс $[ax^{2}-hxy+by^{2}]$ .

Квадратичные формы, связанные с кубом Бхаргавы

Пусть ( M , N ) — пара матриц 2 × 2, связанных с парой противоположных сторон куба Бхаргавы; матрицы формируются таким образом, что их строки и столбцы соответствуют ребрам соответствующих граней. Целочисленная двоичная квадратичная форма, связанная с этой парой граней, определяется как

Q=-\det(Mx+Ny)

Квадратичная форма также определяется как

Q=-\det(Mx-Ny)

Однако в дальнейшем будет принято первое определение.

Три формы

Пусть куб образован целыми числами a , b , c , d , e , f , g , h . Пары матриц, связанные с противоположными ребрами, обозначаются ( M ₁ , N ₁ ), ( M ₂ , N ₂ ) и ( M ₃ , N ₃ ). Первые строки M ₁ , M ₂ и M ₃ — это соответственно [ a b ], [ ac ] и [ a e ]. Противоположные края одной грани — это вторые ряды. Соответствующие ребра в противоположных гранях образуют строки матриц N ₁ , N ₂ , N ₃ (см. рисунок).

Куб Бхаргавы, показывающий пару противоположных граней M ₁ и N ₁ .

Куб Бхаргавы, показывающий пару противоположных граней M ₂ и N ₂ .

Куб Бхаргавы, показывающий пару противоположных граней M ₃ и N ₃ .

Форма Q ₁

Квадратичная форма, связанная с гранями, определяемыми матрицами $M_{1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},N_{1}={\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}}$ (см. рисунок)

Q_{1}=-\det(M_{1}x+N_{1}y)=-(\det(M_{1})x^{2}+(ah+ed-bg-fc)xy+\det(N_{1})y^{2})

Дискриминант квадратичной формы Q ₁ равен

D_{1}=(ah+ed-bg-fc)^{2}-4\det(M_{1})\det(N_{1}).

Форма Q ₂

Квадратичная форма, связанная с гранями, определяемыми матрицами $M_{2}={\begin{bmatrix}a&c\\e&g\end{bmatrix}},N_{2}={\begin{bmatrix}b&d\\f&h\end{bmatrix}}$ (см. рисунок)

Q_{2}=-\det(M_{2}x+N_{2}y)=-(\det(M_{2})x^{2}+(ah+bg-fc-ed)xy+\det(N_{2})y^{2})

Дискриминант квадратичной формы Q ₂ равен

D_{2}=(ah+bg-fc-ed)^{2}-4\det(M_{2})\det(N_{2}).

Форма Q ₃

Квадратичная форма, связанная с гранями, определяемыми матрицами $M_{3}={\begin{bmatrix}a&e\\b&f\end{bmatrix}},N_{3}={\begin{bmatrix}c&g\\d&h\end{bmatrix}}$ (см. рисунок)

Q_{3}=-\det(M_{3}x+N_{3}y)=-(\det(M_{3})x^{2}+(ah+fc-ed-bg)xy+\det(N_{3})y^{2})

Дискриминант квадратичной формы Q ₃ есть

D_{3}=(ah+fc-ed-bg)^{2}-4\det(M_{3})\det(N_{3}).

Связь между Q ₁ , Q ₂ , Q ₃

Удивительное открытие Манджула Бхаргавы можно резюмировать следующим образом: ^[2]

Если куб A порождает три примитивные бинарные квадратичные формы Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ , то Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ имеют один и тот же дискриминант, и произведение этих трех форм является единицей в группе, определяемой формулой Гаусс-композиция. И наоборот, если Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ — любые три примитивные бинарные квадратичные формы одного и того же дискриминанта, произведение которых является единицей при композиции Гаусса, то существует куб A, дающий Q ₁ , Q ₂ , Q ₃ .

Пример

Три квадратичные формы, связанные с числовым кубом Бхаргавы, показанным на рисунке, вычисляются следующим образом.

{\begin{aligned}Q_{1}(x,y)=-\det(M_{1}x+N_{1}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&-2\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\4&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\4y&-2x+5y\end{vmatrix}}=2x^{2}-5xy+12y^{2}\\\\Q_{2}(x,y)=-\det(M_{2}x+N_{2}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&4\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&3\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&3y\\-2y&4x+5y\end{vmatrix}}=-4x^{2}-5xy-6y^{2}\\\\Q_{3}(x,y)=-\det(M_{3}x+N_{3}y)&=-\det \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&4\\-2&5\end{bmatrix}}y\right)\\&=-{\begin{vmatrix}x&4y\\-2y&3x+5y\end{vmatrix}}=-3x^{2}-5xy-8y^{2}\\{}\end{aligned}}

Состав $[Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]$ это форма $[Q(x,y)]$ где $Q(x,y)=-3x^{2}+5xy-8y^{2}$ из-за следующего:

X=-2x_{1}x_{2}+4y_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}

Y=x_{1}x_{2}+3y_{1}y_{2}

Q(X,Y)=Q_{1}(x_{1},y_{1})Q_{2}(x_{2},y_{2})

Также $[Q_{3}(x,y)]^{-1}=Q(x,y)$ . Таким образом $[Q_{1}(x,y)]\ast [Q_{2}(x,y)]\ast [Q_{3}(x,y)]$ является единичным элементом в группе, определяемой композицией Гаусса.

Дальнейшие законы композиции на формах

Состав кубиков

Тот факт, что композиция трех бинарных квадратичных форм, связанных с кубом Бхаргавы, является единичным элементом в группе таких форм, был использован Манджулом Бхаргавой для определения закона композиции самих кубов. ^[2]

Композиция кубических форм

Целочисленная двоичная куба в виде $px^{3}+3qx^{2}y+3rxy^{2}+sy^{3}$ может быть представлен тройным симметричным кубом Бхаргавы, как показано на рисунке. Закон композиции кубов можно использовать для определения закона композиции бинарных кубических форм. ^[2]

Куб Бхаргавы, соответствующий двоичной кубической форме. $px^{3}+3qx^{2}y+3rxy^{2}+sy^{3}$ .

Состав пар бинарных квадратичных форм

Пара бинарных квадратичных форм $(ax^{2}+2bxy+cy^{2},dx^{2}+2exy+fy^{2})$ можно представить в виде двоякосимметричного куба Бхаргавы, как показано на рисунке. Закон композиции кубов теперь используется для определения закона композиции пар бинарных квадратичных форм. ^[2]

Куб Бхаргавы, соответствующий паре бинарных квадратичных форм. $(ax^{2}+2bxy+cy^{2},$ $dx^{2}+2exy+fy^{2})$ .

См. также

Закон композиции Гаусса

Ссылки

^ Мак Трифкович (2013). Алгебраическая теория квадратных чисел . Нью-Йорк: Спрингер. п. 175. ИСБН 978-1-4614-7716-7 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Манджул Бхаргава (2006). Законы и приложения высшего состава , в Трудах Международного конгресса математиков, Мадрид, Испания, 2006 г. Европейское математическое общество.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Карл Фридрих Гаусс (1986). Арифметические исследования . Издательство Спрингер. стр. 100-1 230–256.
^ Ричард Дедекинд (1932). Сборник математических сочинений . Том 2. Скотская тропа. п. 307.

[1] Мак Трифкович (2013). Алгебраическая теория квадратных чисел . Нью-Йорк: Спрингер. п. 175. ИСБН 978-1-4614-7716-7 .

[Manjul1-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Манджул Бхаргава (2006). Законы и приложения высшего состава , в Трудах Международного конгресса математиков, Мадрид, Испания, 2006 г. Европейское математическое общество.

[Gauss-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Карл Фридрих Гаусс (1986). Арифметические исследования . Издательство Спрингер. стр. 100-1 230–256.

[Dedekind-4] Ричард Дедекинд (1932). Сборник математических сочинений . Том 2. Скотская тропа. п. 307.

[1]

[2]

[3]

[4]