Бинарная квадратичная форма

Эта статья о двоичных квадратичных формах с целыми коэффициентами. Для бинарных квадратичных форм с другими коэффициентами см. квадратичную форму .

В математике бинарная квадратичная форма — это квадратичный однородный полином от двух переменных.

$q(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\,$

где a , b , c — коэффициенты . Когда коэффициенты могут быть произвольными комплексными числами , большинство результатов не специфичны для случая двух переменных, поэтому они описываются в квадратичной форме . Квадратичная форма с целыми коэффициентами называется целой двоичной квадратичной формой , часто сокращенно двоичной квадратичной формой .

Данная статья целиком посвящена целым двоичным квадратичным формам. Этот выбор мотивирован их статусом движущей силы развития алгебраической теории чисел . С конца девятнадцатого века бинарные квадратичные формы уступили свое преимущество в теории алгебраических чисел квадратичным и более общим числовым полям , но достижения, характерные для бинарных квадратичных форм, все еще иногда происходят.

Пьер Ферма заявил, что если p — нечетное простое число, то уравнение $p=x^{2}+y^{2}$ имеет решение тогда и только тогда $p\equiv 1{\pmod {4}}$, и он сделал аналогичное утверждение об уравнениях $p=x^{2}+2y^{2}$, $p=x^{2}+3y^{2}$, $p=x^{2}-2y^{2}$ и $p=x^{2}-3y^{2}$. $x^{2}+y^{2},x^{2}+2y^{2},x^{2}-3y^{2}$ и т. д. являются квадратичными формами, и теория квадратичных форм дает единый способ рассмотрения и доказательства этих теорем.

Другим примером квадратичных форм является уравнение Пелля. $x^{2}-ny^{2}=1$.

Бинарные квадратичные формы тесно связаны с идеалами в квадратичных полях. Это позволяет вычислить номер класса квадратичного поля путем подсчета количества приведенных двоичных квадратичных форм данного дискриминанта.

Классическая тета-функция двух переменных: $\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}q^{m^{2}+n^{2}}$, если $f(x,y)$ является положительно определенной квадратичной формой, тогда $\sum _{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}}q^{f(m,n)}$ является тэта-функцией.

Эквивалентность

Две формы f и g называются эквивалентными, если существуют целые числа $\alpha ,\beta ,\gamma ,{\text{ and }}\delta$ такие, что выполняются следующие условия:

${\begin{aligned}f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)&=g(x,y),\\\alpha \delta -\beta \gamma &=1.\end{aligned}}$

Например, с $f=x^{2}+4xy+2y^{2}$ и $\alpha =-3$, $\beta =2$, $\gamma =1$, и $\delta =-1$, мы находим, что f эквивалентно $g=(-3x+2y)^{2}+4(-3x+2y)(x-y)+2(x-y)^{2}$, что упрощает $-x^{2}+4xy-2y^{2}$.

Приведенные выше условия эквивалентности определяют отношение эквивалентности на множестве целых квадратичных форм. Отсюда следует, что квадратичные формы разбиваются на классы эквивалентности, называемые классами квадратичных форм. может Инвариант класса означать либо функцию, определенную в классах эквивалентности форм, либо свойство, общее для всех форм одного и того же класса.

Лагранж использовал другое понятие эквивалентности, в котором второе условие заменено на $\alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1$. Со времен Гаусса было признано, что это определение уступает приведенному выше. Если возникает необходимость различения, иногда формы называют правильно эквивалентными, используя приведенное выше определение, и несобственно эквивалентными , если они эквивалентны в смысле Лагранжа.

В матричной терминологии, которая иногда используется ниже, когда

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$

имеет целочисленные элементы и определитель 1, карта $f(x,y)\mapsto f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)$ это (правое) групповое действие $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ на множестве бинарных квадратичных форм. Приведенное выше отношение эквивалентности возникает из общей теории действий групп.

Если $f=ax^{2}+bxy+cy^{2}$, то важные инварианты включают

• Дискриминант ​ $\Delta =b^{2}-4ac$.
• Содержимое, равное наибольшему общему делителю a , b и c .

Возникла терминология для классификации классов и их форм с точки зрения их инвариантов. Форма дискриминанта $\Delta$ определенно , если $\Delta <0$, вырождается , если $\Delta$ является полным квадратом и неопределенным в противном случае. Форма является примитивной , если ее содержание равно 1, то есть если ее коэффициенты взаимно просты. Если дискриминант формы является фундаментальным дискриминантом , то форма примитивна. Удовлетворить дискриминаторов $\Delta \equiv 0,1{\pmod {4}}.$

Автоморфизмы

Если f — квадратичная форма, матрица

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$

в $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ является автоморфизмом f , если $f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=f(x,y)$. Например, матрица

${\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}$

является автоморфизмом вида $f=x^{2}-2y^{2}$. Автоморфизмы формы подгруппой являются $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$. Когда f определена, группа конечна, а когда f неопределенна, она бесконечна и циклична .

Представительство

Бинарная квадратичная форма $q(x,y)$ представляет собой целое число $n$ если можно найти целые числа $x$ и $y$ удовлетворяющее уравнению $n=q(x,y).$ Такое уравнение представляет представление n собой через q .

Примеры

Диофант размышлял, можно ли для нечетного целого числа $n$, можно найти целые числа $x$ и $y$ для чего $n=x^{2}+y^{2}$. Когда $n=65$, у нас есть

${\begin{aligned}65&=1^{2}+8^{2},\\65&=4^{2}+7^{2},\end{aligned}}$

поэтому мы находим пары $(x,y)=(1,8){\text{ and }}(4,7)$ это делает свое дело. Мы получаем больше пар, которые работают, переключая значения $x$ и $y$ и/или путем изменения знака одного или обоих из $x$ и $y$. Всего существует шестнадцать различных пар решений. С другой стороны, когда $n=3$, уравнение

$3=x^{2}+y^{2}$

не имеет целочисленных решений. Чтобы понять почему, отметим, что $x^{2}\geq 4$ пока не $x=-1,0$ или $1$. Таким образом, $x^{2}+y^{2}$ превысит 3, если только $(x,y)$ является одной из девяти пар с $x$ и $y$ каждый равен $-1,0$ или 1. Мы можем проверить эти девять пар напрямую и убедиться, что ни одна из них не удовлетворяет $3=x^{2}+y^{2}$, поэтому уравнение не имеет целочисленных решений.

Аналогичный аргумент показывает, что для каждого $n$, уравнение $n=x^{2}+y^{2}$ может иметь лишь конечное число решений, поскольку $x^{2}+y^{2}$ превысит $n$ если только абсолютные значения $|x|$ и $|y|$ оба меньше, чем ${\sqrt {n}}$. Существует только конечное число пар, удовлетворяющих этому ограничению.

Другая древняя проблема, связанная с квадратичными формами, требует от нас решения уравнения Пелла . Например, мы можем искать целые числа x и y так, чтобы $1=x^{2}-2y^{2}$. Изменение знаков x и y в решении дает другое решение, поэтому достаточно искать решения только в натуральных числах. Одним из решений является $(x,y)=(3,2)$, то есть имеет место равенство $1=3^{2}-2\cdot 2^{2}$. Если $(x,y)$ есть ли какое-либо решение $1=x^{2}-2y^{2}$, затем $(3x+4y,2x+3y)$ еще одна такая пара. Например, из пары $(3,2)$, мы вычисляем

$(3\cdot 3+4\cdot 2,2\cdot 3+3\cdot 2)=(17,12)$,

и мы можем проверить, что это удовлетворяет $1=17^{2}-2\cdot 12^{2}$. Повторяя этот процесс, мы находим дополнительные пары $(x,y)$ с $1=x^{2}-2y^{2}$:

${\begin{aligned}(3\cdot 17+4\cdot 12,2\cdot 17+3\cdot 12)&=(99,70),\\(3\cdot 99+4\cdot 70,2\cdot 99+3\cdot 70)&=(577,408),\\&\vdots \end{aligned}}$

Эти значения будут продолжать расти в размерах, поэтому мы видим, что существует бесконечно много способов представить 1 в виде $x^{2}-2y^{2}$. Это рекурсивное описание обсуждалось в комментарии Теона Смирнского к «Началам» Евклида .

Проблема представления

Старейшей проблемой теории бинарных квадратичных форм является проблема представления : описать представления данного числа. $n$ по заданной квадратичной форме f . «Описать» может означать разные вещи: дать алгоритм генерации всех представлений, замкнутую формулу количества представлений или даже просто определить, существуют ли какие-либо представления.

В приведенных выше примерах обсуждается проблема представления чисел 3 и 65 в виде $x^{2}+y^{2}$ а для числа 1 по виду $x^{2}-2y^{2}$. Мы видим, что число 65 представлено $x^{2}+y^{2}$ шестнадцатью различными способами, а 1 представлено $x^{2}-2y^{2}$ бесконечно многими способами и 3 не представлен $x^{2}+y^{2}$ совсем. В первом случае шестнадцать представлений были явно описаны. Было также показано, что число представлений целого числа $x^{2}+y^{2}$ всегда конечно. Функция суммы квадратов $r_{2}(n)$ дает количество представлений n по $x^{2}+y^{2}$ как функция n . Есть закрытая формула

$r_{2}(n)=4(d_{1}(n)-d_{3}(n)),$

где $d_{1}(n)$ - это количество делителей n , которые конгруэнтны 1 по модулю 4 и $d_{3}(n)$ — это количество делителей числа n , которые равны 3 по модулю 4.

Существует несколько инвариантов классов, имеющих отношение к проблеме представления:

• Набор целых чисел, представленный классом. Если целое число n представлено формой в классе, то оно представлено всеми другими формами в классе.
• Минимальное абсолютное значение, представленное классом. Это наименьшее неотрицательное значение в наборе целых чисел, представленных классом.
• Классы сравнения по модулю дискриминанта класса, представленного этим классом.

Минимальное абсолютное значение, представленное классом, равно нулю для вырожденных классов и положительному для определенных и неопределенных классов. Все числа представлены определенной формой $f=ax^{2}+bxy+cy^{2}$ имеют одинаковый знак: положительный, если $a>0$ и отрицательный, если $a<0$. По этой причине первые называются положительно-определенными формами, а вторые — отрицательно-определенными .

Число представлений целого числа n формой f конечно, если f определено, и бесконечно, если f неопределенно. Мы видели примеры этого в примерах выше: $x^{2}+y^{2}$ положительно определен и $x^{2}-2y^{2}$ является неопределенным.

Эквивалентные представления

Понятие эквивалентности форм можно распространить на эквивалентные представления . Представительства $m=f(x_{1},y_{1})$ и $n=g(x_{2},y_{2})$ эквивалентны, если существует матрица

${\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}}$

с целочисленными элементами и определителем 1, так что $f(\alpha x+\beta y,\gamma x+\delta y)=g(x,y)$ и

${\begin{pmatrix}\delta &-\beta \\-\gamma &\alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\end{pmatrix}}$

Приведенные выше условия дают (правильное) действие группы $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ на множестве представлений целых чисел двоичными квадратичными формами. Отсюда следует, что определенная таким образом эквивалентность является отношением эквивалентности и, в частности, что формы в эквивалентных представлениях являются эквивалентными формами.

В качестве примера позвольте $f=x^{2}-2y^{2}$ и рассмотрим представление $1=f(x_{1},y_{1})$. Такое представление является решением уравнения Пелла, описанного в примерах выше. Матрица

${\begin{pmatrix}3&-4\\-2&3\end{pmatrix}}$

имеет определитель 1 и является автоморфизмом f . Действуя по представлению $1=f(x_{1},y_{1})$ этой матрицей дает эквивалентное представление $1=f(3x_{1}+4y_{1},2x_{1}+3y_{1})$. Это этап рекурсии в описанном выше процессе генерации бесконечного множества решений задачи. $1=x^{2}-2y^{2}$. Повторяя это матричное действие, мы обнаруживаем, что все бесконечные множества представлений 1 через f , которые были определены выше, эквивалентны.

Обычно существует конечное число классов эквивалентности представлений целого числа n формами данного ненулевого дискриминанта. $\Delta$. Полный набор представителей этих классов может быть дан в терминах сокращенных форм, определенных в разделе ниже. Когда $\Delta <0$, каждое представление эквивалентно уникальному представлению в приведенной форме, поэтому полный набор представителей задается конечным числом представлений n с помощью приведенных форм дискриминанта $\Delta$. Когда $\Delta >0$Загер доказал, что каждое представление натурального числа n формой дискриминанта $\Delta$ эквивалентно уникальному представлению $n=f(x,y)$ в котором f редуцировано в смысле Загира и $x>0$, $y\geq 0$. Множество всех таких представлений образует полный набор представителей классов эквивалентности представлений.

Сокращение и номера классов

что для каждого значения D существует лишь конечное число классов бинарных квадратичных форм с дискриминантом D. Лагранж доказал , Их число равно номер класса дискриминанта D . Он описал алгоритм, названный редукцией , для построения канонического представителя в каждом классе, приведенной формы , коэффициенты которого являются наименьшими в подходящем смысле.

Гаусс предложил превосходный алгоритм редукции в Disquisitiones Arithmeticae , который с тех пор является алгоритмом редукции, который чаще всего приводится в учебниках. В 1981 году Загер опубликовал альтернативный алгоритм сокращения, который нашел несколько применений в качестве альтернативы алгоритму Гаусса.

Состав

Композиция чаще всего относится к бинарной операции над примитивными классами эквивалентности форм одного и того же дискриминанта, одному из глубочайших открытий Гаусса, которое превращает это множество в конечную абелеву группу, называемую группой классов форм (или просто группой классов) дискриминанта. $\Delta$. С тех пор группы классов стали одной из центральных идей в алгебраической теории чисел. С современной точки зрения группа классов фундаментального дискриминанта $\Delta$ изоморфна поля группе классов квадратичного узкой $\mathbf {Q} ({\sqrt {\Delta }})$ дискриминанта $\Delta$. Для негатива $\Delta$узкая группа классов аналогична идеальной группе классов , но для положительных $\Delta$ оно может быть в два раза больше.

«Композиция» также иногда относится, грубо говоря, к бинарной операции над двоичными квадратичными формами. Слово «примерно» указывает на два предостережения: могут быть составлены только определенные пары двоичных квадратичных форм, и результирующая форма не является четко определенной (хотя ее класс эквивалентности определен). Операция композиции над классами эквивалентности определяется путем определения композиции форм, а затем демонстрации того, что это вызывает четко определенную операцию над классами.

«Композиция» также может относиться к бинарной операции над представлением целых чисел в формах. Эта операция существенно сложнее чем композиция форм, а возникла впервые исторически. Такие операции мы рассмотрим в отдельном разделе ниже.

Композиция означает взятие двух квадратичных форм одного и того же дискриминанта и объединение их для создания квадратичной формы одного и того же дискриминанта, как следует из тождества Брахмагупты .

Составление форм и классов

Было дано множество определений состава форм, часто в попытке упростить чрезвычайно техническое и общее определение Гаусса. Мы представляем здесь метод Арндта, поскольку он остается довольно общим, но при этом достаточно простым, чтобы его можно было вычислить вручную. Альтернативное определение описано в Кубиках Бхаргавы .

Предположим, мы хотим составить формы $f_{1}=A_{1}x^{2}+B_{1}xy+C_{1}y^{2}$ и $f_{2}=A_{2}x^{2}+B_{2}xy+C_{2}y^{2}$, каждый примитив и одного и того же дискриминанта $\Delta$. Выполняем следующие шаги:

1. Вычислить $B_{\mu }={\tfrac {B_{1}+B_{2}}{2}}$ и $e=\gcd(A_{1},A_{2},B_{\mu })$, и $A={\tfrac {A_{1}A_{2}}{e^{2}}}$
2. Решите систему сравнений

   ${\begin{aligned}x&\equiv B_{1}{\pmod {2{\tfrac {A_{1}}{e}}}}\\x&\equiv B_{2}{\pmod {2{\tfrac {A_{2}}{e}}}}\\{\tfrac {B_{\mu }}{e}}x&\equiv {\tfrac {\Delta +B_{1}B_{2}}{2e}}{\pmod {2A}}\end{aligned}}$

   Можно показать, что эта система всегда имеет единственное целочисленное решение по модулю $2A$. Мы произвольно выбираем такое решение и называем B. его
3. Вычислите C так, что $\Delta =B^{2}-4AC$. Можно показать, что C является целым числом.

Форма $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}$ представляет собой «композицию» $f_{1}$ и $f_{2}$. что его первый коэффициент четко определен, а два других зависят от выбора B и C. Мы видим , Один из способов сделать эту операцию четко определенной — это принять произвольное соглашение о том, как выбирать B — например, выбрать B как наименьшее положительное решение приведенной выше системы сравнений. Альтернативно, мы можем рассматривать результат композиции не как форму, а как класс эквивалентности форм по модулю действия группы матриц вида

${\begin{pmatrix}1&n\\0&1\end{pmatrix}}$,

где n — целое число. Если мы рассмотрим класс $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}$ при этом действии средние коэффициенты форм в классе образуют класс конгруэнтности целых чисел по модулю 2 A . Таким образом, композиция дает таким классам четко определенную функцию от пар бинарных квадратичных форм.

Можно показать, что если $f_{1}$ и $f_{2}$ эквивалентны $g_{1}$ и $g_{2}$ соответственно, то состав $f_{1}$ и $f_{2}$ эквивалентно композиции $g_{1}$ и $g_{2}$. Отсюда следует, что композиция индуцирует четко определенную операцию над примитивными классами дискриминантов. $\Delta$и, как упоминалось выше, Гаусс показал, что эти классы образуют конечную абелеву группу. Класс идентичности в группе — это уникальный класс, содержащий все формы $x^{2}+Bxy+Cy^{2}$, т. е. с первым коэффициентом 1. (Можно показать, что все такие формы принадлежат одному классу и ограничение $\Delta \equiv 0{\text{ or }}1{\pmod {4}}$ следует, что существует такая форма каждого дискриминанта.) Чтобы инвертировать класс, мы берем представителя $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}$ и сформировать класс $Ax^{2}-Bxy+Cy^{2}$. Альтернативно, мы можем сформировать класс $Cx^{2}+Bxy+Ay^{2}$ поскольку это и $Ax^{2}-Bxy+Cy^{2}$ эквивалентны.

Роды бинарных квадратичных форм

Гаусс также рассматривал более грубое понятие эквивалентности, в котором каждый грубый класс назывался родом форм. Каждый род представляет собой объединение конечного числа классов эквивалентности одного и того же дискриминанта, причем количество классов зависит только от дискриминанта. В контексте бинарных квадратичных форм роды могут определяться либо через классы конгруэнтности чисел, представленных формами, либо через символы рода, определенные на множестве форм. Третье определение представляет собой частный случай рода квадратичной формы от n переменных. Это утверждает, что формы принадлежат к одному и тому же роду, если они локально эквивалентны во всех рациональных простых числах (включая архимедово место ).

История

Существуют косвенные свидетельства протоисторических знаний об алгебраических тождествах, включающих бинарные квадратичные формы. Первая проблема, касающаяся бинарных квадратичных форм, требует существования или построения представлений целых чисел с помощью конкретных бинарных квадратичных форм. Яркими примерами являются решение уравнения Пелла и представление целых чисел в виде суммы двух квадратов. Уравнение Пелла уже рассматривалось индийским математиком Брахмагуптой в VII веке нашей эры. Несколько столетий спустя его идеи были расширены до полного решения уравнения Пелла, известного как метод чакравалы , приписываемого либо индийским математикам Джаядеве , либо Бхаскаре II . Проблема представления целых чисел суммами двух квадратов была рассмотрена в III веке Диофантом . В 17 веке, вдохновленный чтением «Арифметики » Диофанта , Ферма сделал несколько наблюдений о представлениях в конкретных квадратичных формах, включая ту, которая сейчас известна как теорема Ферма о суммах двух квадратов . Эйлер предоставил первые доказательства наблюдений Ферма и добавил без доказательств некоторые новые гипотезы о представлениях в конкретных формах.

Общая теория квадратичных форм была начата Лагранжем в 1775 году в его «Исследованиях по арифметике» . Лагранж был первым, кто осознал, что «связная общая теория требует одновременного рассмотрения всех форм». Он был первым, кто осознал важность дискриминанта и определил основные понятия эквивалентности и редукции, которые, по словам Вейля, «с тех пор доминируют во всем предмете квадратичных форм». Лагранж показал, что существует конечное число классов эквивалентности данного дискриминанта, тем самым впервые определив число арифметических классов . Его введение сокращения позволило быстро перечислить классы данного дискриминанта и предвещало возможное развитие инфраструктуры . В 1798 году Лежандр опубликовал «Essai sur la theorie des nombres» , в котором суммировал работу Эйлера и Лагранжа и добавил некоторые из своих собственных вкладов, в том числе первый взгляд на операцию композиции форм.

Теория была значительно расширена и уточнена Гауссом в разделе V «Disquisitiones Arithmeticae» . Гаусс представил очень общую версию оператора композиции, позволяющую составлять четные формы из разных дискриминантов и импримитивные формы. Он заменил эквивалентность Лагранжа более точным понятием собственной эквивалентности, и это позволило ему показать, что примитивные классы данного дискриминанта образуют группу при операции композиции. Он представил теорию рода, которая дает мощный способ понять частное группы классов по подгруппе квадратов. (Гаусс и многие последующие авторы написали 2 b вместо b ; современное соглашение, допускающее нечетность коэффициента при xy, принадлежит Эйзенштейну ).

Эти исследования Гаусса сильно повлияли как на арифметическую теорию квадратичных форм более чем двух переменных, так и на последующее развитие теории алгебраических чисел, где квадратичные поля заменяются более общими числовыми полями . Но эффект не был немедленным. Раздел V «Рассуждений» содержит поистине революционные идеи и включает в себя очень сложные вычисления, иногда оставляемые на усмотрение читателя. В совокупности новизна и сложность сделали Раздел V чрезвычайно трудным. Дирихле опубликовал упрощения теории, которые сделали ее доступной более широкой аудитории. Кульминацией этого произведения является его текст Vorlesungen über Zahlentheorie . Третье издание этой работы включает два дополнения Дедекинда . В Дополнении XI представлена ​​теория колец , и с тех пор, особенно после публикации в 1897 году » Гильберта «Зальберихта , теория бинарных квадратичных форм потеряла свое выдающееся положение в теории алгебраических чисел и оказалась в тени более общей теории поля алгебраических чисел .

Несмотря на это, работа над двоичными квадратичными формами с целыми коэффициентами продолжается и по сей день. Сюда входят многочисленные результаты о полях квадратичных чисел, которые часто можно перевести на язык бинарных квадратичных форм, а также разработки, касающиеся самих форм или возникшие в результате размышлений о формах, включая Шанкса инфраструктуру Загира , алгоритм редукции , топографы Конвея и Бхаргавы. реинтерпретация композиции через кубики Бхаргавы .

См. также

• Куб Бхаргавы
• Теорема Ферма о суммах двух квадратов
• Символ Лежандра
• Личность Брахмагупты

Ссылки

• Йоханнес Бухманн, Ульрих Фоллмер: Двоичные квадратичные формы , Springer, Берлин, 2007 г., ISBN   3-540-46367-4
• Дункан А. Бьюэлл: Бинарные квадратичные формы , Спрингер, Нью-Йорк, 1989.
• Дэвид А. Кокс, Простые числа формы $x^{2}+y^{2}$, Ферма, теория полей классов и комплексное умножение
• Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Тексты для аспирантов по математике, том. 138, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-3-540-55640-4 , МР   1228206
• Фрелих, Альбрехт ; Тейлор, Мартин (1993), Алгебраическая теория чисел , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 27, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-43834-6 , МР   1215934
• Харди, штат Джорджия ; Райт, Э.М. (2008) [1938], Введение в теорию чисел , отредактированное Д. Р. Хит-Брауном и Дж. Х. Сильверманом . Предисловие Эндрю Уайлса . (6-е изд.), Оксфорд: Clarendon Press, ISBN  978-0-19-921986-5 , МР   2445243 , Збл   1159.11001
• Вейль, Андре (2001), Теория чисел: подход через историю от Хаммурапи до Лежандра , Birkhäuser Boston
• Загер, Дон (1981), Дзета-функции и квадратичные поля: введение в теорию высших чисел , Спрингер

Внешние ссылки

• Питер Лущный, Положительные числа, представленные двоичной квадратичной формой
• А. В. Малышев (2001) [1994], «Бинарная квадратичная форма» , Энциклопедия Математики , EMS Press