Инфраструктура (теория чисел)

В математике инфраструктура структура , – ​​это групповая возникающая в глобальных полях .

развитие

В 1972 году Д. Шэнкс впервые обнаружил инфраструктуру поля действительных квадратичных чисел и применил свой алгоритм гигантского шага «маленького шага» для вычисления регулятора такого поля в ${\mathcal {O}}(D^{1/4+\varepsilon })$ бинарные операции (для каждого $\varepsilon >0$), где $D$ – дискриминант квадратичного поля; требуются предыдущие методы ${\mathcal {O}}(D^{1/2+\varepsilon })$ бинарные операции. Десять лет спустя HW Lenstra опубликовала математическая основа, описывающая инфраструктуру поля действительных квадратичных чисел в терминах «круговых групп». Его описал также Р. Шуф. и ХК Уильямс, и позже расширен Х.К. Уильямсом, Г.В. Дуеком и Б.К. Шмидом на определенные поля кубических чисел единичного ранга один и Дж. Бухманом и Х. К. Уильямсом для всех числовых полей единичного ранга. В своей докторской диссертации Дж. Бухманн представил алгоритм гигантского шага «маленького шага» для вычисления регулятора числового поля произвольного единичного ранга. Первое описание инфраструктур в числовых полях произвольного единичного ранга было дано Р. Шуфом с использованием делителей Аракелова в 2008 году.

Инфраструктура была описана также для других глобальных полей , а именно для полей алгебраических функций над конечными полями . Впервые это было сделано А. Штейном и Х. Г. Циммером в случае реальных гиперэллиптических функциональных полей. Он был распространен на некоторые поля кубических функций единичного ранга Ренатой Шайдлер и А. Штайн. В 1999 г. С. Паулюс и Х.-Г. Рюк связал инфраструктуру поля вещественных квадратичных функций с группой классов дивизоров. Эту связь можно обобщить на произвольные функциональные поля и, в сочетании с результатами Р. Шуфа, на все глобальные поля.

Одномерный случай

Абстрактное определение

Одномерная (абстрактная) инфраструктура $(X,d)$ состоит из действительного числа $R>0$, конечное множество $X\neq \emptyset$ вместе с инъективным отображением $d:X\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z}$. Карта $d$ часто называют картой расстояний .

Интерпретируя $\mathbb {R} /R\mathbb {Z}$ как круг окружности ​ $R$ и путем выявления $X$ с $d(X)$, можно рассматривать одномерную инфраструктуру как круг с конечным набором точек на нем.

Детские шаги

Детский шаг — это унарная операция. $bs:X\to X$ на одномерной инфраструктуре $(X,d)$. Визуализируя инфраструктуру в виде круга, маленьким шагом назначается каждая точка $d(X)$ следующий. Формально это можно определить, присвоив $x\in X$ настоящее число $f_{x}:=\inf\{f'>0\mid d(x)+f'\in d(X)\}$; тогда можно определить $bs(x):=d^{-1}(d(x)+f_{x})$.

Гигантские шаги и карты сокращения

Наблюдая за этим $\mathbb {R} /R\mathbb {Z}$ естественно абелева группа , можно рассмотреть сумму $d(x)+d(y)\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z}$ для $x,y\in X$. В общем, это не элемент $d(X)$. Но вместо этого можно взять элемент $d(X)$ который лежит рядом . Чтобы формализовать эту концепцию, предположим, что существует карта $red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X$; тогда можно определить $gs(x,y):=red(d(x)+d(y))$ чтобы получить бинарную операцию $gs:X\times X\to X$, называемая операцией гигантского шага . Обратите внимание, что эта операция, как правило, не является ассоциативной .

Основная сложность – как выбрать карту $red$. Предполагая, что кто-то хочет иметь условие $red\circ d=\mathrm {id} _{X}$, остается ряд возможностей. Один из возможных вариантов дается следующим образом: для $v\in \mathbb {R} /R\mathbb {Z}$, определять $f_{v}:=\inf\{f\geq 0\mid v-f\in d(X)\}$; тогда можно определить $red(v):=d^{-1}(v-f_{v})$. Этот выбор, кажущийся несколько произвольным, естественным образом возникает, когда кто-то пытается получить инфраструктуру из глобальных полей. Возможны и другие варианты, например, выбор элемента $x\in d(X)$ такой, что $|d(x)-v|$ минимальна (здесь $|d(x)-v|$ означает $\inf\{|f-v|\mid f\in d(x)\}$, как $d(x)$ имеет форму $v+R\mathbb {Z}$); одна из возможных конструкций в случае вещественных квадратичных гиперэллиптических функциональных полей предложена С.Д. Гэлбрейтом, М. Харрисоном и Д.Дж. Мирелесом Моралесом.

с действительными

Д. Шэнкс наблюдал инфраструктуру в полях действительных квадратичных чисел, когда рассматривал циклы приведенных двоичных квадратичных форм . Обратите внимание, что существует тесная связь между сокращением двоичных квадратичных форм и непрерывной дроби расширением ; один шаг в разложении определенной квадратичной иррациональности в непрерывную дробь дает унарную операцию над множеством приведенных форм, которая циклически перебирает все приведенные формы в одном классе эквивалентности. Располагая все эти уменьшенные формы в цикле, Шанкс заметил, что можно быстро перейти к уменьшенным формам дальше от начала круга, составив две такие формы и сократив результат. Он назвал эту бинарную операцию над множеством приведенных форм гигантским шагом , а операцию перехода к следующей сокращенной форме в цикле - детским шагом .

Отношение к $\mathbb {R} /R\mathbb {Z}$

Набор $\mathbb {R} /R\mathbb {Z}$ имеет естественную групповую операцию, и в ее терминах определяется операция гигантского шага. Следовательно, имеет смысл сравнить арифметику в инфраструктуре с арифметикой в $\mathbb {R} /R\mathbb {Z}$. Оказывается, групповая операция $\mathbb {R} /R\mathbb {Z}$ можно описать с помощью гигантских шагов и маленьких шагов, представляя элементы $\mathbb {R} /R\mathbb {Z}$ элементами $X$ вместе с относительно небольшим действительным числом; впервые это описали Д. Хюнляйн и С. Паулюс. и М. Дж. Джейкобсона-младшего, Р. Шайдлера и Х. К. Уильямса. в случае инфраструктур, полученных из полей действительных квадратичных чисел. Они использовали числа с плавающей запятой для представления действительных чисел и называли эти представления CRIAD-представлениями соответственно. $(f,p)$-представления. В более общем плане можно определить аналогичную концепцию для всех одномерных инфраструктур; их иногда называют $f$-представления.

Набор ​ $f$-представления - это подмножество $fRep$ из $X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z}$ такое, что карта $\Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z} ,\;(x,f)\mapsto d(x)+f$ является биекцией и что $(x,0)\in fRep$ для каждого $x\in X$. Если $red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X$ это карта редукции, $fRep_{red}:=\{(x,f)\in X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \mid red(d(x)+f)=x\}$ представляет собой набор $f$-представительства; наоборот, если $fRep$ представляет собой набор $f$-представления, можно получить карту приведения, установив $red(f)=\pi _{1}(\Psi _{fRep}^{-1}(f))$, где $\pi _{1}:X\times \mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;(x,f)\mapsto x$ — проекция на $X$. Следовательно, наборы $f$-представления и отображения приведения находятся во взаимно однозначном соответствии .

Использование биекции $\Psi _{fRep}:fRep\to \mathbb {R} /R\mathbb {Z}$, можно остановить групповую операцию на $\mathbb {R} /R\mathbb {Z}$ к $fRep$, следовательно, поворачивая $fRep$ в абелеву группу $(fRep,+)$ к $x+y:=\Psi _{fRep}^{-1}(\Psi _{fRep}(x)+\Psi _{fRep}(y))$, $x,y\in fRep$. В некоторых случаях эту групповую операцию можно описать явно, не используя $\Psi _{fRep}$ и $d$.

В случае использования карты сокращения $red:\mathbb {R} /R\mathbb {Z} \to X,\;v\mapsto d^{-1}(v-\inf\{f\geq 0\mid v-f\in d(X)\})$, получается $fRep_{red}=\{(x,f)\mid f\geq 0,\;\forall f'\in [0,f):d(x)+f'\not \in d(X)\}$. Данный $(x,f),(x',f')\in fRep_{red}$, можно рассмотреть $(x'',f'')$ с $x''=gs(x,x')$ и $f''=f+f'+(d(x)+d(x')-d(gs(x,x')))\geq 0$; это вообще не элемент $fRep_{red}$, но его можно уменьшить следующим образом: вычисляется $bs^{-1}(x'')$ и $f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x'')))$; в случае, если последнее не отрицательно, заменяется $(x'',f'')$ с $(bs^{-1}(x''),f''-(d(x'')-d(bs^{-1}(x''))))$ и продолжается. Если значение было отрицательным, то это $(x'',f'')\in fRep_{red}$ и это $\Psi _{fRep_{red}}(x,f)+\Psi _{fRep_{red}}(x',f')=\Psi _{fRep_{red}}(x'',f'')$, то есть $(x,f)+(x',f')=(x'',f'')$.