Поле алгебраической функции

В математике поле алгебраических функций (часто сокращенно называемое полем функций ) с n переменными над полем k представляет собой конечно порожденное расширение поля K / k , которое имеет степень трансцендентности n над k . Эквивалентно, поле алгебраических функций n переменных над k может быть определено как конечное расширение поля K = k ( x ₁ ,..., x _n ) рациональных функций от n переменных над k .

Пример

В качестве примера в кольце многочленов k   [ X , Y ] рассмотрим идеал , порожденный неприводимым многочленом Y ² − Х ³ и образуем поле частных факторкольца X k   [ , ( Y ]/ Y ² − Х ³ ). Это функциональное поле одной переменной над k ; это также можно записать как $k(X)({\sqrt {X^{3}}})$ (со степенью 2 выше $k(X)$) или как $k(Y)({\sqrt[{3}]{Y^{2}}})$ (со степенью 3 выше $k(Y)$). Мы видим, что степень поля алгебраических функций не является четко определенным понятием.

Структура категорий

Поля алгебраических функций над k образуют категорию ; морфизмы из функционального поля K в L представляют собой кольцевые гомоморфизмы f : K → L с f ( a ) = a для всех a из k . Все эти морфизмы инъективны . Если K — функциональное поле над k из n переменных, а L — функциональное поле от m переменных и n > m не существует , то морфизмов из K в L .

возникающие из многообразий, кривых и

Функциональное поле алгебраического многообразия размерности n над k — это поле алгебраических функций от n переменных над k . Два многообразия бирационально эквивалентны тогда и только тогда, когда их функциональные поля изоморфны. (Но заметим, что неизоморфные многообразия могут иметь одно и то же функциональное поле!) Присвоение каждому многообразию его функционального поля приводит к двойственности (контравариантной эквивалентности) между категорией многообразий над k (с доминирующими рациональными отображениями в качестве морфизмов) и категорией алгебраических функциональные поля над k . (Рассматриваемые здесь многообразия следует понимать в схемном смысле ; они не обязательно должны иметь k -рациональные точки, как кривая X ² + И ² + 1 = 0, определенный над вещественными числами , то есть с k = R. )

Случай n = 1 (неприводимые алгебраические кривые в схемном смысле) особенно важен, поскольку каждое функциональное поле одной переменной над k возникает как функциональное поле однозначно определенной регулярной (т. е. неособой) проективной неприводимой алгебраической кривой над k . Фактически, функциональное поле дает двойственность между категорией регулярных проективных неприводимых алгебраических кривых (с доминирующими регулярными отображениями в качестве морфизмов) и категорией функциональных полей одной переменной над k .

Поле M( X ) мероморфных функций , определенных на связной римановой поверхности X, является полем функций одной переменной над комплексными числами C . Фактически, M дает двойственность (контравариантную эквивалентность) между категорией компактных связных римановых поверхностей (с непостоянными голоморфными отображениями в качестве морфизмов) и функциональными полями одной переменной над C . Аналогичное соответствие существует между компактными связными поверхностями Клейна и функциональными полями одной переменной над R .

Числовые поля и конечные поля

Аналогия с функциональным полем утверждает, что почти все теоремы о числовых полях имеют аналог для функциональных полей одной переменной над конечным полем , и эти аналоги часто легче доказать. (Например, см. «Аналог неприводимых многочленов над конечным полем» .) В контексте этой аналогии как числовые поля, так и функциональные поля над конечными полями обычно называются « глобальными полями ».

Исследование функциональных полей над конечным полем имеет приложения в криптографии и кодах с исправлением ошибок . Например, функциональное поле эллиптической кривой над конечным полем (важный математический инструмент для криптографии с открытым ключом ) является полем алгебраической функции.

Поля функций над полем рациональных чисел играют также важную роль при решении обратных задач Галуа .

Поле констант

Учитывая любое поле алгебраических функций K над k , мы можем рассмотреть набор элементов K , которые являются алгебраическими над k . Эти элементы образуют поле, известное как поле констант поля алгебраических функций.

Например, C ( x ) — функциональное поле одной переменной над R ; его поле констант равно C .

Оценки и места

Ключевыми инструментами изучения полей алгебраических функций являются абсолютные значения, оценки, места и их пополнения.

Учитывая поле алгебраических функций K / k одной переменной, мы определяем понятие кольца нормирования K любого / k : это подкольцо O кольца K k которое содержит , и отличается от k и K , и такое, что для x в K мы имеем x ∈ O или x  ^-1 € О. ​ Каждое такое кольцо нормирования является кольцом дискретного нормирования и его максимальный идеал называется местом , K / k .

Дискретное оценивание K K / k — это сюръективная функция v : v → Z ∪{∞} такая, что x (x) = ∞ тогда и только тогда, когда = 0, v ( xy ) = v ( x ) + v ( y ) и v ( x + y ) ≥ min( v ( x ), v ( y )) для всех x , y ∈ K и v ( a ) = 0 для всех a ∈ k \ {0}.

Существуют естественные биективные соответствия между множеством колец нормирования K / k , множеством мест K / k и множеством дискретных нормирований K / k . Этим множествам можно придать естественную топологическую структуру: пространство Зариского–Римана группы K / k .

См. также

• функциональное поле алгебраического многообразия
• функциональное поле (теория схем)
• алгебраическая функция
• Модуль Дринфельда