поверхность Клейна
В математике поверхность Клейна — это диааналитическое многообразие комплексной размерности 1. Поверхности Клейна могут иметь границу и не обязательно должны быть ориентируемыми . Поверхности Клейна обобщают римановы поверхности . В то время как последние используются для аналитического изучения алгебраических кривых над комплексными числами , первые используются для аналитического изучения алгебраических кривых над действительными числами. Поверхности Клейна были представлены Феликсом Кляйном в 1882 году. [1]
Поверхность Клейна — это поверхность ( т. е. дифференцируемое многообразие понятие угла между двумя касательными векторами действительной размерности 2), на которой четко определено в данной точке, а также угол между двумя пересекающимися кривыми на поверхности. Эти углы находятся в диапазоне [0,π]; поскольку поверхность не имеет понятия ориентации, невозможно различить углы α и −α. (Напротив, на римановых поверхностях ориентированы и углы в диапазоне (-π,π] могут быть осмысленно определены.) Длина кривых, площадь подмногообразий и понятие геодезической не определены на поверхностях Клейна.
Две поверхности Клейна X и Y считаются эквивалентными, если существуют конформные (т.е. сохраняющие угол, но не обязательно сохраняющие ориентацию) дифференцируемые отображения f : X → Y и g : Y → X , которые отображают границу на границу и удовлетворяют условиям fg = id Y и gf = идентификатор X .
Примеры
[ редактировать ]Каждая риманова поверхность (аналитическое многообразие комплексной размерности 1 без края) является клейновой поверхностью. Примеры включают открытые подмножества комплексной плоскости (некомпактные), сферы Римана (компактные) и торов (компактные). Обратите внимание, что существует множество различных неэквивалентных римановых поверхностей с тем же тором, что и многообразие.
в Замкнутый диск комплексной плоскости является поверхностью Клейна (компактной, с краем). Все закрытые диски эквивалентны поверхности Клейна. Замкнутое кольцо в комплексной плоскости представляет собой поверхность Клейна (компактную, с границей). Не все кольца эквивалентны поверхности Клейна: существует однопараметрическое семейство неэквивалентных поверхностей Клейна, возникающих таким образом из колец. Удалив из сферы Римана несколько открытых дисков, мы получим другой класс клейновых поверхностей (компактных, с краем). Реальную проективную плоскость можно превратить в поверхность Клейна (компактную, без границы) по существу только одним способом. Бутылку Клейна можно превратить в поверхность Клейна (компактную, без границ); существует однопараметрическое семейство структур неэквивалентных поверхностей Клейна, определенных на бутылке Клейна. Аналогично существует однопараметрическое семейство неэквивалентных структур клейновой поверхности (компактных, с краем), определенных на ленте Мёбиуса . [2]
Каждое компактное топологическое 2-многообразие (возможно, с краем) можно превратить в поверхность Клейна: [3] часто разными, неэквивалентными способами.
Характеристики
[ редактировать ]Граница компактной клейновой поверхности состоит из конечного числа компонент связности , каждая из которых гомеоморфна окружности. Эти компоненты называются овалами поверхности Клейна. [3]
Предположим, что Σ — (не обязательно связная) риманова поверхность и τ:Σ→Σ — антиголоморфная (переворачивающая ориентацию) инволюция . Тогда фактор Σ/τ имеет естественную структуру клейновой поверхности, и каждая клейновская поверхность может быть получена таким образом, по существу, только одним способом. [3] Неподвижные точки τ соответствуют граничным точкам Σ/τ. Поверхность Σ называется «аналитическим дублем» Σ/τ.
Поверхности Клейна образуют категорию ; морфизм поверхности Клейна X в поверхность Клейна Y - это дифференцируемое отображение f : X → Y , которое на каждом участке координат либо голоморфно, либо комплексно сопряжено с голоморфным отображением и, кроме того, отображает границу X на границу Y .
) и компактными связными клейновыми поверхностями (с точностью до эквивалентности) существует взаимно однозначное соответствие Между гладкими проективными алгебраическими кривыми над вещественными числами (с точностью до изоморфизма . Действительные точки кривой соответствуют граничным точкам поверхности Клейна. [3] Действительно, существует эквивалентность категорий между категорией гладких проективных алгебраических кривых над R (с регулярными отображениями в качестве морфизмов) и категорией компактных связных клейновых поверхностей. Это похоже на соответствие между гладкими проективными алгебраическими кривыми над комплексными числами и компактными связными римановыми поверхностями. (Заметим, что рассматриваемые здесь алгебраические кривые представляют собой абстрактные кривые: целые , разделенные одномерные схемы конечного типа над R. Такая кривая не обязана иметь каких-либо R -рациональных точек (как и кривая X 2 + И 2 +1=0 над R ), и в этом случае его клейновская поверхность будет иметь пустую границу.)
Существует также взаимно однозначное соответствие между компактными связными клейновыми поверхностями (с точностью до эквивалентности) и полями алгебраических функций одной переменной над R (с точностью до R -изоморфизма). Это соответствие похоже на соответствие между компактными связными римановыми поверхностями и полями алгебраических функций над комплексными числами. [2] Если X — поверхность Клейна, функция f : X → C u{∞} называется мероморфной, если на каждом участке координат f или ее комплексно-сопряженная функция мероморфна в обычном смысле, и если f принимает только вещественные значения (или ∞ ) на границе X . Учитывая связную поверхность Клейна X , набор мероморфных функций, определенных на X, поле M( X ), поле алгебраических функций от одной переменной над R. образует M является контравариантным функтором и дает двойственность (контравариантную эквивалентность) между категорией компактных связных поверхностей Клейна (с непостоянными морфизмами) и категорией функциональных полей от одной переменной над действительными числами.
можно Классифицировать компактные связные поверхности Клейна X с точностью до гомеоморфизма (не с точностью до эквивалентности!), задав три числа ( g , k , a ): род g аналитического дубля Σ, число k компонент связности границы X и число a , определяемое как a =0, если X ориентируемо, и a =1 в противном случае. [3] У нас всегда k ≤ g +1. Эйлерова характеристика X g равна 1 - . [3]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кляйн, Феликс (1882), теория Убера Римана алгебраических функций и их интегралов (на немецком языке), Тойбнер
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Норман Л. Аллинг; Ньюкомб Гринлиф (1969). «Поверхности Клейна и поля вещественных алгебраических функций» (PDF) . Бюллетень AMS (75): 869–872.
- ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б с д и ж Флоран Шаффхаузер (2015). «Лекции о поверхностях Клейна и их фундаментальных группах». arXiv : 1509.01733 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Норман Л. Аллинг; Ньюкомб Гринлиф (1971), Основы теории клейновских поверхностей. Конспекты лекций по математике, Vol. 219. , Шпрингер-Верлаг