Поверхность Клебша

Кубик Клебша на локальной карте

Модель поверхности

В математике диагональная кубическая поверхность Клебша , или икосаэдрическая кубическая поверхность Клейна , представляет собой неособую кубическую поверхность , изученную Клебшем (1871) и Кляйном (1873) , все 27 исключительных линий которыхможно определить по действительным числам. Термин икосаэдрическая поверхность Клейна может относиться либо к этой поверхности, либо к ее раздутию в 10 точках Эккардта .

Определение

набор точек x0 _это : x1 _x2 : x4 _x3 : Клебша — _: ( из ₎ P Поверхность ⁴ удовлетворяющие уравнениям

$x_{0}+x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0,$

$x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=0.$

Исключение x ₀ показывает, что он также изоморфен поверхности

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{3}^{3}+x_{4}^{3}=(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})^{3}$

в П ³ .

Характеристики

Группой симметрии поверхности Клебша является группа симметрии S ₅ порядка 120, действующая перестановками координат (в P ⁴ ). С точностью до изоморфизма поверхность Клебша является единственной кубической поверхностью с этой группой автоморфизмов.

27 исключительных строк:

• 15 изображений (под S ₅ ) линии точек вида ( a : − a : b : − b : 0).
• 12 изображений линии через точку (1:ζ:ζ ² : г ³ : г ⁴ ) и его комплексно-сопряженное число, где ζ — примитивный корень пятой степени из 1.

Поверхность имеет 10 точек Эккардта , где пересекаются 3 линии, заданные точкой(1 : −1 : 0 : 0 : 0) и его сопряженные при перестановках. Хирцебрух (1976) показал, что поверхность, полученная раздутием поверхности Клебша в ее 10 точках Эккардта, является гильбертовой модулярной поверхностью главной конгруэнтной подгруппы уровня 2 гильбертовой модулярной группы поля Q ( √ 5 ). Фактор модулярной группы Гильберта по ее конгруэнц-подгруппе уровня 2 изоморфен знакопеременной группе порядка 60 в 5 точках.

Как и все неособые кубические поверхности, кубику Клебша можно получить раздутием проективной плоскости в 6 точках. Кляйн (1873) описал эти моменты следующим образом. Если проективная плоскость отождествляется с набором линий, проходящих через начало координат в трехмерном векторном пространстве, содержащем икосаэдр с центром в начале координат, то 6 точек соответствуют 6 линиям, проходящим через 12 вершин икосаэдра. Точки Эккардта соответствуют 10 линиям, проходящим через центры 20 граней.

Ссылки

• Клебш, А. (1871), «О применении квадратичной замены к уравнениям 5-й степени и геометрической теории пятисторонней плоскости», Mathematical Annals , 4 (2): 284–345, doi : 10.1007/ БФ01442599
• Хирцебрух, Фридрих (1976), "Модулярная группа Гильберта для поля Q (√5) и кубическая диагональная поверхность Клебша и Клейна", Изв. матем. Surveys , 31 (5): 96–110, doi : 10.1070/RM1976v031n05ABEH004190 , ISSN   0042-1316 , MR   0498397
• Хант, Брюс (1996), Геометрия некоторых специальных арифметических частных , Конспект лекций по математике, том. 1637, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0094399 , ISBN  978-3-540-61795-2 , МР   1438547
• Кляйн, Феликс (1873), «О поверхностях третьего порядка» , Mathematical Annals , 6 (4), Springer Berlin / Heidelberg: 551–581, doi : 10.1007/BF01443196

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Диагональная кубика Клебша» . Математический мир .
• Клебш Поверхность , Джон Баэз , 1 марта 2016 г., Блог AMS Visual Insight