Модульное многообразие Гильберта

В математике гильбертова модулярная поверхность или поверхность Гильберта–Блюменталя — это алгебраическая поверхность , полученная факторизацией произведения двух копий верхней полуплоскости по гильбертовой модулярной группе . В более общем смысле, гильбертово модулярное многообразие — это алгебраическое многообразие, полученное путем факторизации произведения кратных копий верхней полуплоскости по гильбертовой модулярной группе.

Модульные поверхности Гильберта были впервые описаны Отто Блюменталем ( 1903 , 1904 ) с использованием некоторых неопубликованных заметок, написанных Дэвидом Гильбертом около 10 лет назад.

Определения [ править ]

Если R — кольцо целых вещественного квадратичного поля , то гильбертова модулярная группа SL ₂ ( R ) действует на произведении H × H двух копий верхней полуплоскости H . С этим действием связано несколько бирационально эквивалентных поверхностей, любую из которых можно назвать гильбертовыми модулярными поверхностями :

Поверхность X является фактором H × H по SL ₂ ( R ); он не компактен и обычно имеет факторособенности, исходящие из точек с нетривиальными группами изотропии.
Поверхность Х ^* получается из X добавлением конечного числа точек, соответствующих точкам возврата действия. Он компактен и имеет не только факторособенности X , но и особенности на его точках возврата.
Поверхность Y получается из X ^* путем разрешения особенностей минимальным способом. Это компактная гладкая алгебраическая поверхность , но, вообще говоря, не минимальная.
Поверхность Y ⁰ получается из Y раздутием некоторых исключительных −1-кривых. Он гладкий, компактный и часто (но не всегда) минималистичный.

Существует несколько вариантов этой конструкции:

Гильбертова модулярная группа может быть заменена некоторой подгруппой конечного индекса, такой как конгруэнтная подгруппа .
Можно расширить модулярную группу Гильберта с помощью группы порядка 2, действуя на модулярную группу Гильберта посредством действия Галуа и меняя местами две копии верхней полуплоскости.

Особенности [ править ]

Хирцебрух (1953) показал, как разрешать факторособенности, а Хирцебрух (1971) показал, как разрешать их особенности возврата.

Свойства [ править ]

Гильбертовы модулярные многообразия не могут быть анабелевыми . ^[1]

Классификация поверхностей [ править ]

В статьях Хирцебруха (1971) , Хирцебруха и Ван де Вена (1974) и Хирцебруха и Загира (1977) был определен их тип в классификации алгебраических поверхностей . Большинство из них — поверхности общего типа , но некоторые — рациональные поверхности , раздутые поверхности К3 или эллиптические поверхности .

Примеры [ править ]

Ван дер Гир (1988) приводит длинную таблицу примеров.

Поверхность Клебша , раздутая в 10 точках Эккардта, является гильбертовой модульной поверхностью.

Связано с расширением квадратичного поля [ править ]

Учитывая квадратичное расширение поля $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {p}})$ для $p=4k+1$ существует ассоциированное модульное многообразие Гильберта $Y(p)$ полученный в результате компактификации некоторого фактормногообразия $X(p)$ и разрешение его особенностей. Позволять ${\mathfrak {H}}$ обозначим верхнюю полуплоскость и пусть $SL(2,{\mathcal {O}}_{K})/\{\pm {\text{Id}}_{2}\}$ действовать дальше ${\mathfrak {H}}\times {\mathfrak {H}}$ с помощью

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}(z_{1},z_{2})=\left({\frac {az_{1}+bz_{2}}{cz_{1}+dz_{2}}},{\frac {a'z_{1}+b'z_{2}}{c'z_{1}+d'z_{2}}}\right)$

где $a',b',c',d'$ являются сопряжениями Галуа . ^[2] Соответствующее фактормногообразие обозначается

$X(p)=G\backslash {\mathfrak {H}}\times {\mathfrak {H}}$

и может быть компактифицирован до множества ${\overline {X}}(p)$ , называемые точками возврата , которые находятся в биекции с идеальными классами в ${\text{Cl}}({\mathcal {O}}_{K})$ . Разрешение его особенностей дает разнообразие $Y(p)$ называется модулярным многообразием Гильберта расширения поля . Из теоремы о компактификации Бэйли-Бореля следует вложение этой поверхности в проективное пространство. ^[3]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Ихара, Ясутака ; Накамура, Хироаки (1997). «Некоторые наглядные примеры анабелевой геометрии в больших измерениях». В Шнепсе, Лейла ; Лочак, Пьер (ред.). Геометрические действия Галуа 1: Вокруг программы Гротендика «Esquisse d'un» . Серия лекций Лондонского математического общества (242). Издательство Кембриджского университета. стр. 127–138. дои : 10.1017/CBO9780511758874.010 .
^ Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Вен, Антониус (2004). Компактные сложные поверхности . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 231. дои : 10.1007/978-3-642-57739-0 . ISBN 978-3-540-00832-3 .
^ Бейли, WL; Борель, А. (ноябрь 1966 г.). «Компактификация арифметических частных ограниченных симметричных областей». Анналы математики . 84 (3): 442. дои : 10.2307/1970457 . JSTOR 1970457 .

Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Ван де Вен, Антониус (2004), Компактные комплексные поверхности , результаты математики и ее пограничные области. 3-я серия, том. 4, Шпрингер-Верлаг, Берлин, номер номера : 10.1007/978-3-642-57739-0 , ISBN. 978-3-540-00832-3 , МР 2030225
Блюменталь, Отто (1903), «О модулярных функциях нескольких переменных» , Mathematical Annals , 56 (4): 509–548, doi : 10.1007/BF01444306 , S2CID 122293576
Блюменталь, Отто (1904), «О модулярных функциях нескольких переменных» , Mathematical Annals , 58 (4): 497–527, doi : 10.1007/BF01449486 , S2CID 179178108
Хирцебрух, Фридрих (1953), «О четырехмерных РИМАНОВЫХ поверхностях неоднозначных аналитических функций двух комплексных переменных» , Mathematical Annals , 126 (1): 1–22, doi : 10.1007/BF01343146 , hdl : 21.11116/0000-0004- 3A47-C , ISSN 0025-5831 , MR 0062842 , S2CID 122862268
Хирцебрух, Фридрих (1971), «Модулярная группа Гильберта, разрешение особенностей в точках возврата и родственные проблемы», Семинар Бурбаки, 23-й год (1970/1971), Exp. № 396 , Конспект лекций по математике, вып. 244, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 275–288, doi : 10.1007/BFb0058707 , ISBN. 978-3-540-05720-8 , МР 0417187
Хирцебрух, Фридрих Э.П. (1973), «Модульные поверхности Гильберта», L'Enseignement Mathématique , IIe Série, 19 : 183–281, doi : 10.5169/seals-46292 , ISSN 0013-8584 , MR 0393045
Хирцебрух, Фридрих ; Ван де Вен, Антониус (1974), «Гильбертовы модульные поверхности и классификация алгебраических поверхностей» , Inventiones Mathematicae (Представленная рукопись), 23 (1): 1–29, doi : 10.1007/BF01405200 , hdl : 21.11116/0000-0004 -39А4-3 , ISSN 0020-9910 , MR 0364262 , S2CID 73577779
Хирцебрух, Фридрих ; Загер, Дон (1977), «Классификация гильбертовых модульных поверхностей», в Бейли, WL; Сиода, Т. (ред.), Комплексный анализ и алгебраическая геометрия , Токио: Iwanami Shoten, стр. 43–77, ISBN 978-0-521-09334-7 , МР 0480356
ван дер Гир, Джерард (1988), Модульные поверхности Гильберта , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 16, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-642-61553-5 , ISBN. 978-3-540-17601-5 , МР 0930101

Внешние ссылки [ править ]

Элен С., Краткое введение в гильбертовы модульные поверхности и циклы Хирцебруха-Цагира (PDF)

[1] Ихара, Ясутака ; Накамура, Хироаки (1997). «Некоторые наглядные примеры анабелевой геометрии в больших измерениях». В Шнепсе, Лейла ; Лочак, Пьер (ред.). Геометрические действия Галуа 1: Вокруг программы Гротендика «Esquisse d'un» . Серия лекций Лондонского математического общества (242). Издательство Кембриджского университета. стр. 127–138. дои : 10.1017/CBO9780511758874.010 .

[2] Барт, Вольф П.; Хулек, Клаус; Питерс, Крис AM; Вен, Антониус (2004). Компактные сложные поверхности . Берлин, Гейдельберг: Springer Berlin Heidelberg. п. 231. дои : 10.1007/978-3-642-57739-0 . ISBN 978-3-540-00832-3 .

[3] Бейли, WL; Борель, А. (ноябрь 1966 г.). «Компактификация арифметических частных ограниченных симметричных областей». Анналы математики . 84 (3): 442. дои : 10.2307/1970457 . JSTOR 1970457 .

[1]

[2]

[3]