Гильбертова модульная форма

В математике — модулярная форма Гильберта это обобщение модульных форм на функции двух или более переменных. Это (комплексная) аналитическая функция на m -кратном произведении верхних полуплоскостей. ${\mathcal {H}}$ удовлетворяющее определенному функциональному уравнению .

Определение

Пусть F — вполне вещественное числовое поле степени m над рациональным полем. Позволять $\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{m}$ быть вложениями F . действительными Через них у нас есть карта

GL_{2}(F)\to GL_{2}(\mathbb {R} )^{m}.

Позволять ${\mathcal {O}}_{F}$ — кольцо целых F чисел . Группа $GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})$ называется полной гильбертовой модулярной группой . Для каждого элемента $z=(z_{1},\ldots ,z_{m})\in {\mathcal {H}}^{m}$ , имеет место групповое действие $GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})$ определяется $\gamma \cdot z=(\sigma _{1}(\gamma )z_{1},\ldots ,\sigma _{m}(\gamma )z_{m})$

Для

g={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in GL_{2}(\mathbb {R} ),

определять:

j(g,z)=\det(g)^{-1/2}(cz+d)

Гильбертова модульная форма веса. $(k_{1},\ldots ,k_{m})$ является аналитической функцией на ${\mathcal {H}}^{m}$ такой, что для каждого $\gamma \in GL_{2}^{+}({\mathcal {O}}_{F})$

f(\gamma z)=\prod _{i=1}^{m}j(\sigma _{i}(\gamma ),z_{i})^{k_{i}}f(z).

В отличие от случая модульной формы, для точек возврата не требуется никаких дополнительных условий из-за принципа Кехера . ^{[ сомнительно – обсудить ]}

История

Эти модульные формы для действительных квадратичных полей были впервые рассмотрены в 1901 году в книге Геттингенского университета «Habilitationsssschrift » Отто Блюменталя . Там он упоминает, что Дэвид Гильберт первоначально рассматривал их в работе 1893–1894 годов, которая так и осталась неопубликованной. Работа Блюменталя была опубликована в 1903 году. По этой причине модульные формы Гильберта теперь часто называют модульными формами Гильберта-Блюменталя .

Теория оставалась бездействующей в течение нескольких десятилетий; Эрих Хекке обращался к нему в своих ранних работах, но большой интерес к гильбертовым модулярным формам ожидался с развитием теории комплексных многообразий .

См. также

Ссылки

Ян Х. Брюнье: Модульные формы Гильберта и их приложения.
Пол Б. Гарретт : Голоморфные модульные формы Гильберта . Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software, Пасифик Гроув, Калифорния, 1990. ISBN 0-534-10344-8
Эберхард Фрайтаг : Модульные формы Гильберта . Издательство Спрингер. ISBN 0-387-50586-5