Полностью вещественное числовое поле
В теории чисел числовое поле F называется вполне вещественным если для каждого вложения F образ в комплексные числа лежит , внутри действительных чисел . Эквивалентные условия заключаются в том, что F порождается над Q одним корнем целочисленного многочлена P , причем все корни P действительны; или что алгебра произведения F с вещественным полем над Q изоморфна тензорная тензорной степени R .
Например, квадратичные поля F степени 2 над Q являются либо действительными (и тогда вполне вещественными), либо комплексными, в зависимости от того, квадратный корень присоединен ли к Q из положительного или отрицательного числа . В случае кубических полей кубический целочисленный полином P, неприводимый над Q, будет иметь хотя бы один действительный корень. Если оно имеет один действительный и два комплексных корня, соответствующее кубическое расширение Q, определенное присоединением вещественного корня, не будет полностью вещественным, хотя это поле действительных чисел.
особую значительную роль Полно действительные числовые поля играют в алгебраической теории чисел . Абелево расширение Q , над которым либо вполне вещественно, либо содержит вполне вещественное подполе оно имеет степень два.
Любое числовое поле Галуа над рациональными числами должно быть либо полностью действительным, либо полностью мнимым .
См. также
[ редактировать ]- Полностью мнимое числовое поле
- CM-поле , полностью мнимое квадратичное расширение вполне реального поля.
Ссылки
[ редактировать ]- Хида, Харузо (1993), Элементарная теория L-функций и рядов Эйзенштейна , Студенческие тексты Лондонского математического общества, том. 26, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-43569-7