CM-поле

В математике CM -поле — это особый тип числового поля , названный так из-за тесной связи с теорией комплексного умножения . Другое используемое название — J-field .

Аббревиатура «CM» была введена ( Shimura & Taniyama 1961 ).

Формальное определение [ править ]

Числовое поле K является CM-полем, если оно является квадратичным расширением K / F , где основное поле F , полностью вещественное а K полностью мнимое . Т.е. каждое вложение F в $\mathbb {C}$ лежит целиком внутри $\mathbb {R}$ , но вложения K в $\mathbb {R}$ .

Другими словами, существует подполе F такое поля K , что K порождается над F одним квадратным корнем из элемента, скажем β = ${\sqrt {\alpha }}$ , таким образом, что минимальный полином β над полем рациональных чисел $\mathbb {Q}$ имеет все свои корни из недействительных комплексных чисел . Для этого α следует выбрать полностью отрицательным , так, чтобы для каждого вложения σ числа $F$ в поле действительных чисел, σ(α) < 0.

Свойства [ править ]

Одной из особенностей CM-поля является то, что комплексное сопряжение на $\mathbb {C}$ индуцирует автоморфизм на поле, не зависящий от его вложения в $\mathbb {C}$ . В приведенных обозначениях оно должно изменить знак β.

Числовое поле K является CM-полем тогда и только тогда, когда оно имеет «дефект единицы», т.е. если оно содержит собственное подполе F , группа единиц которого имеет тот же самый $\mathbb {Z}$ -ранг как у К ( Ремак 1954 ). Фактически, F — это вполне вещественное подполе поля K , упомянутое выше. Это следует из единичной теоремы Дирихле .

Примеры [ править ]

Самый простой и мотивирующий пример CM-поля — это мнимое квадратичное поле , для которого вполне вещественное подполе — это просто поле рациональных чисел.
Одним из наиболее важных примеров CM-поля является круговое поле. $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ , который порождается примитивным корнем n-й степени из единицы . Это вполне мнимое квадратичное расширение . вполне вещественного поля $\mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1}).$ Последнее представляет собой фиксированное поле комплексного сопряжения , а $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ получается из него присоединением квадратного корня из $\zeta _{n}^{2}+\zeta _{n}^{-2}-2=(\zeta _{n}-\zeta _{n}^{-1})^{2}.$
Союз Q ^СМвсех полей CM аналогично полю CM, за исключением того, что оно имеет бесконечную степень. Это квадратичное расширение объединения всех вполне вещественных полей Q ^р. Абсолютная группа Галуа Gal( Q / Q ^р) порождается (как замкнутая подгруппа) всеми элементами порядка 2 из Gal( Q / Q ), а Gal( Q / Q ^СМ) — подгруппа индекса 2. Группа Галуа Gal( Q ^СМ/ Q ) имеет центр, порожденный элементом порядка 2 (комплексное сопряжение), а фактор по его центру — это группа Gal( Q ^р/ Вопрос ).
Если V — комплексное абелево многообразие размерности n , то любая абелева алгебра F эндоморфизмов V имеет ранг не более n над Z. 2 Если оно имеет ранг 2 n и V простое, то F — порядок в CM-поле. И наоборот, любое поле СМ возникает из некоторого простого комплексного абелева многообразия, единственного с точностью до изогении.
Одним из примеров полностью мнимого поля, не являющегося CM, является числовое поле, определяемое полиномом $x^{4}+x^{3}-x^{2}-x+1$ .

Ссылки [ править ]

Ремак, Роберт (1954), «О полях алгебраических чисел со слабыми дефектами единицы», Compositio Mathematica (на немецком языке), 12 : 35–80, Zbl 0055.26805
Шимура, Горо (1971), Введение в арифметическую теорию автоморфных функций , Публикации Математического общества Японии, том. 11, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета
Шимура, Горо; Танияма, Ютака (1961), Комплексное умножение абелевых многообразий и его приложения к теории чисел , Публикации Математического общества Японии, том. 6, Токио: Математическое общество Японии, MR 0125113.
Вашингтон, Лоуренс К. (1996). Введение в циклотомные поля (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 0-387-94762-0 . Збл 0966.11047 .