бутылка Клейна

В математике бутылка Клейна ( / ˈk ) является l aɪ n / примером неориентируемой поверхности ; то есть, неформально, односторонняя поверхность, по которой, если путешествовать по ней, можно было бы проследить обратно до исходной точки, перевернув путешественника вверх тормашками. Более формально, бутылка Клейна — это двумерное многообразие , на котором нельзя определить вектор нормали в каждой точке, который непрерывно меняется на всем многообразии. Другие родственные неориентируемые поверхности включают ленту Мёбиуса и действительную проективную плоскость . Лента Мёбиуса представляет собой поверхность с границей , а бутылка Клейна не имеет границы. Для сравнения: сфера — это ориентируемая поверхность без границы.

Бутылка Клейна была впервые описана в 1882 году математиком Феликсом Кляйном . ^[1]

Строительство [ править ]

Следующий квадрат представляет собой фундаментальный многоугольник бутылки Клейна. Идея состоит в том, чтобы «склеить» соответствующие красные и синие края совпадающими стрелками, как показано на рисунках ниже. Обратите внимание, что это «абстрактное» склеивание в том смысле, что попытка реализовать это в трех измерениях приводит к самопересекающейся бутылке Клейна. ^[2]

Чтобы построить бутылку Клейна, склейте вместе красные стрелки квадрата (левая и правая стороны), в результате чего получится цилиндр. Чтобы склеить концы цилиндра так, чтобы стрелки на кружках совпадали, нужно пропустить один конец через боковую часть цилиндра. Это создает кривую самопересечения; Таким образом, это погружение бутылки Клейна в трехмерное пространство .

Такое погружение полезно для визуализации многих свойств бутылки Клейна. Например, у бутылки Клейна нет границы , где поверхность резко останавливается, и она неориентируема , что отражается в односторонности погружения.

Распространенная физическая модель бутылки Клейна представляет собой аналогичную конструкцию. В Музее науки в Лондоне выставлена коллекция бутылок Клейна из выдутого вручную стекла, демонстрирующая множество вариаций на эту топологическую тему. Бутылки датированы 1995 годом и были изготовлены для музея Аланом Беннеттом. ^[3]

Собственно бутылка Клейна не самопересекающаяся. Тем не менее, есть способ представить бутылку Клейна как четырехмерную. Добавив к трехмерному пространству четвертое измерение, можно устранить самопересечение. Аккуратно вытолкните кусок трубки, содержащий пересечение четвертого измерения, из исходного трехмерного пространства. Полезная аналогия — рассмотреть самопересекающуюся кривую на плоскости; самопересечения можно устранить, подняв одну нить с плоскости. ^[4]

Предположим для пояснения, что мы принимаем время в качестве четвертого измерения. Рассмотрим, как можно построить фигуру в пространстве xyzt . Сопровождающая иллюстрация («Эволюция времени...») показывает одну полезную эволюцию фигуры. При t = 0 стена прорастает из бутона где-то рядом с точкой «пересечения». После того, как фигура некоторое время подрастает, самая ранняя часть стены начинает отступать, исчезая, как Чеширский кот , но оставляя после себя постоянно расширяющуюся улыбку. К тому времени, когда фронт роста достигает того места, где была почка, уже нечего пересекать, и рост завершается без нарушения существующей структуры. Четырехфигурная фигура, как она определена, не может существовать в трехмерном пространстве, но ее легко понять в четырехмерном пространстве. ^[4]

Более формально, бутылка Клейна — это фактор-пространство , описываемое как квадрат [0,1] × [0,1] со сторонами, идентифицируемыми соотношениями (0, y ) ~ (1, y ) для 0 ⩽ y ⩽ 1 и ( Икс , 0) ~ (1 - Икс , 1) для 0 ≤ Икс ≤ 1 .

Свойства [ править ]

Как и лента Мёбиуса собой двумерное многообразие неориентируемое , бутылка Клейна представляет . В отличие от ленты Мёбиуса, это замкнутое многообразие, то есть компактное многообразие без края. Хотя ленту Мёбиуса можно вложить в трёхмерное евклидово пространство R ³, бутылка Клейна не может. Его можно встроить в R. ⁴, однако. ^[4]

Продолжая эту последовательность, например, создавая 3-многообразие, которое не может быть вложено в R ⁴ но может быть в R ⁵, возможно; в этом случае соединение двух концов сферинда друг с другом таким же образом, как два конца цилиндра для бутылки Клейна, создает фигуру, называемую «сферической бутылкой Клейна», которая не может быть полностью вложена в R. ⁴. ^[5]

Бутылку Клейна можно рассматривать как пучок волокон над окружностью S. ¹, с волокном S ¹, следующим образом: квадрат (по модулю отношения эквивалентности, идентифицирующего ребро) сверху принимается за E , общее пространство, в то время как базовое пространство B задается единичным интервалом в y по модулю 1 ~ 0 . Тогда проекция π: E → B определяется формулой π([ x , y ]) = [ y ] .

Бутылку Клейна можно построить (в четырехмерном пространстве, поскольку в трехмерном пространстве это невозможно сделать, не позволяя поверхности пересекаться) путем соединения краев двух лент Мёбиуса, как описано в следующем лимерике Лео Мозера : ^[6]

Математик по имени Кляйн
Я думал, что лента Мёбиуса божественна.
Он сказал: «Если приклеить
Края двух,
Ты получишь странную бутылку, похожую на мою».

Первоначальное построение бутылки Клейна путем идентификации противоположных краев квадрата показывает, что бутылке Клейна можно придать сложную структуру CW с одной 0-ячейкой P , двумя 1-ячейками C ₁ , C ₂ и одной 2-ячейкой D . его эйлерова характеристика Поэтому равна 1 − 2 + 1 = 0 . Граничный гомоморфизм задается формулами ∂ D = 2 C ₁ и ∂ C ₁ = ∂ C ₂ = 0 , в результате чего группы гомологий бутылки Клейна K будут H ₀ ( K , Z ) = Z , H ₁ ( K , Z ) знак равно Z ×( Z /2 Z ) и ЧАС _п ( K , Z ) знак равно 0 для n > 1 .

Существует карта покрытия 2-1 от тора до бутылки Клейна, потому что две копии фундаментальной области бутылки Клейна, одна из которых помещена рядом с зеркальным отображением другой, дают фундаментальную область тора. Универсальным покрытием как тора, так и бутылки Клейна является плоскость R. ².

Фундаментальная группа бутылки Клейна может быть определена как группа преобразований колоды универсального покрытия и имеет представление ⟨ a , b | аб = б ⁻¹а ⟩ . Отсюда следует, что он изоморфен $\mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z}$ , единственное нетривиальное полупрямое произведение аддитивной группы целых чисел $\mathbb {Z}$ с самим собой.

Шести цветов достаточно, чтобы раскрасить любую карту на поверхности бутылки Клейна; это единственное исключение из гипотезы Хивуда , обобщения теоремы о четырех цветах , для которой потребуется семь цветов.

Бутылка Клейна гомеоморфна связной сумме двух проективных плоскостей . ^[7] Он также гомеоморфен сфере плюс две перемычки .

Бутылка Клейна, встроенная в евклидово пространство, является односторонней. Однако существуют и другие топологические трехмерные пространства, и в некоторых неориентируемых примерах бутылку Клейна можно вложить так, что она станет двусторонней, хотя из-за природы пространства она останется неориентируемой. ^[2]

Рассечение [ править ]

В результате вскрытия бутылки Клейна получаются ленты Мёбиуса.

В результате разделения бутылки Клейна на две половины вдоль ее плоскости симметрии получаются две ленты Мёбиуса в зеркальном отображении , т. е. одна с полуповоротом влево, а другая с полуповоротом вправо (одна из них изображена справа). . Помните, что изображенного на фотографии перекрестка на самом деле нет. ^[8]

Простозамкнутые кривые [ править ]

Одно из описаний типов просто-замкнутых кривых, которые могут появиться на поверхности бутылки Клейна, дается с помощью первой группы гомологий бутылки Клейна, рассчитанной с целыми коэффициентами. Эта группа изоморфна Z × Z ₂ . С точностью до изменения ориентации единственными классами гомологий, содержащими простозамкнутые кривые, являются следующие: (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (0,1). С точностью до изменения ориентации простой замкнутой кривой, если она лежит внутри одной из двух перемычек, составляющих бутылку Клейна, то она находится в классе гомологии (1,0) или (1,1); если он разрезает бутылку Клейна на две ленты Мёбиуса, то он находится в классе гомологии (2,0); если он разрезает бутылку Клейна на кольцо, то он находится в классе гомологии (0,1); а если ограничивает диск, то он принадлежит классу гомологии (0,0). ^[4]

Параметризация [ править ]

Погружение бутылки Клейна в виде восьмерки.

Погружение в фигуру 8 [ править ]

виде «восьмерки» или «бублика» Чтобы сделать погружение бутылки Клейна в , можно начать с ленты Мёбиуса и свернуть ее, чтобы довести край до средней линии; поскольку край только один, то там он встретится, пройдя через среднюю линию. Он имеет особенно простую параметризацию в виде тора «восьмерки» с полуповоротом: ^[4]

{\begin{aligned}x&=\left(r+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\cos \theta \\y&=\left(r+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\sin \theta \\z&=\sin {\frac {\theta }{2}}\sin v+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\end{aligned}}

для 0 ⩽ θ < 2π, 0 ⩽ v < 2π и r > 2.

В этом погружении круг самопересечения (где sin( v ) равен нулю) представляет собой геометрический круг в плоскости xy . Положительная константа r — это радиус этого круга. Параметр θ задает угол в плоскости xy , а также поворот фигуры 8, а v определяет положение вокруг поперечного сечения в форме восьмерки. При указанной выше параметризации поперечное сечение представляет собой кривую Лиссажу 2:1 .

4-D непересекающиеся [ править ]

Непересекающуюся 4-D параметризацию можно смоделировать по образцу плоского тора :

{\begin{aligned}x&=R\left(\cos {\frac {\theta }{2}}\cos v-\sin {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\y&=R\left(\sin {\frac {\theta }{2}}\cos v+\cos {\frac {\theta }{2}}\sin 2v\right)\\z&=P\cos \theta \left(1+\varepsilon \sin v\right)\\w&=P\sin \theta \left(1+{\varepsilon }\sin v\right)\end{aligned}}

где R и P — константы, определяющие соотношение сторон, θ и v аналогичны определенным выше. v определяет положение вокруг восьмерки, а также положение в плоскости xy. θ также определяет угол поворота восьмерки и положение вокруг плоскости zw. ε — любая маленькая константа, а ε sin v — небольшой , зависящий от v выступ в пространстве zw , чтобы избежать самопересечения. V - образный выступ приводит к тому, что самопересекающаяся двумерная/плоская фигура-8 расширяется в трехмерную стилизованную форму «картофельных чипсов» или форму седла в пространстве xyw и xyz, если смотреть с ребра. Когда ε=0, самопересечение представляет собой окружность в плоскости zw <0, 0, cos θ , sin θ >. ^[4]

3D защемленный тор / 4D трубка Мёбиуса [ править ]

Сжатый тор — это, пожалуй, самая простая параметризация бутылки Клейна как в трех, так и в четырех измерениях. Это тор, который в трех измерениях сплющивается и проходит сквозь себя с одной стороны. К сожалению, в трех измерениях эта параметризация имеет две точки защемления , что делает ее нежелательной для некоторых приложений. В четырех измерениях амплитуда z превращается в амплитуду w , и здесь нет самопересечений или точек защемления. ^[4]

{\begin{aligned}x(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\cos {\varphi }\\y(\theta ,\varphi )&=(R+r\cos \theta )\sin {\varphi }\\z(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \cos \left({\frac {\varphi }{2}}\right)\\w(\theta ,\varphi )&=r\sin \theta \sin \left({\frac {\varphi }{2}}\right)\end{aligned}}

Можно рассматривать это как трубку или цилиндр, который вращается, как в торе, но его круглое поперечное сечение переворачивается в четырех измерениях, представляя свою «заднюю сторону» при повторном соединении, точно так же, как поперечное сечение ленты Мёбиуса вращается перед повторным соединением. Его трехмерная ортогональная проекция представляет собой защемленный тор, показанный выше. Так же, как лента Мёбиуса является подмножеством полнотория, трубка Мёбиуса является подмножеством тороидально замкнутого сферинда (твёрдого сферитора ).

Форма бутылки [ править ]

Гораздо сложнее параметризация трехмерного погружения самой бутылки.

{\begin{aligned}x(u,v)=-&{\frac {2}{15}}\cos u\left(3\cos {v}-30\sin {u}+90\cos ^{4}{u}\sin {u}\right.-\\&\left.60\cos ^{6}{u}\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]y(u,v)=-&{\frac {1}{15}}\sin u\left(3\cos {v}-3\cos ^{2}{u}\cos {v}-48\cos ^{4}{u}\cos {v}+48\cos ^{6}{u}\cos {v}\right.-\\&60\sin {u}+5\cos {u}\cos {v}\sin {u}-5\cos ^{3}{u}\cos {v}\sin {u}-\\&\left.80\cos ^{5}{u}\cos {v}\sin {u}+80\cos ^{7}{u}\cos {v}\sin {u}\right)\\[3pt]z(u,v)=&{\frac {2}{15}}\left(3+5\cos {u}\sin {u}\right)\sin {v}\end{aligned}}

для 0 ⩽ u < π и 0 ⩽ v < 2π. ^[4]

Гомотопические классы [ править ]

Регулярные трехмерные погружения бутылки Клейна делятся на три регулярных гомотопических класса. ^[9] Эти трое представлены:

«традиционная» бутылка Клейна;
левая бутылка Клейна в форме восьмерки;
правосторонняя бутылка Клейна в форме восьмерки.

Традиционное погружение в бутылку Клейна является ахиральным . Погружение в форме восьмерки является хиральным. (Вышеупомянутое погружение защемленного тора не является регулярным, поскольку оно имеет точки защемления, поэтому оно не имеет отношения к этому разделу.)

Если традиционную бутылку Клейна разрезать в плоскости симметрии, она распадается на две ленты Мёбиуса противоположной киральности. Бутылку Клейна в форме восьмерки можно разрезать на две ленты Мёбиуса одинаковой киральности , и ее нельзя регулярно деформировать до ее зеркального отображения. ^[4]

Обобщения [ править ]

Обобщение бутылки Клейна на высший род дано в статье о фундаментальном многоугольнике . ^[10]

В другом порядке идей, построении 3-многообразий , известно, что бутылка Клейна гомеоморфна декартову произведению Мёбиуса ленты твердая и замкнутого интервала. Твердая бутылка Клейна — это неориентируемая версия полнотора , эквивалентная $D^{2}\times S^{1}.$

Поверхность Клейна [ править ]

Поверхность Клейна — это, как и римановы поверхности , поверхность с атласом, позволяющим карты переходов составлять с использованием комплексного сопряжения . Можно получить так называемую диааналитическую структуру пространства, имеющую только одну сторону. ^[11]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Стиллвелл 1993 , с. 65, 1.2.3 Бутылка Клейна.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Уикс, Джеффри (2020). Форма пространства, 3-е изд . ЦРК Пресс. ISBN 978-1138061217 .
^ «Странные поверхности: новые идеи» . Музей науки Лондон. Архивировано из оригинала 28 ноября 2006 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Аллинг и Гринлиф, 1969 .
^ Марк тен Бош - https://marctenbosch.com/news/2021/12/4d-toys-version-1-7-klein-bottles/
^ Дэвид Дарлинг (11 августа 2004 г.). Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона . Джон Уайли и сыновья. п. 176. ИСБН 978-0-471-27047-8 .
^ Шик, Пол (2007). Топология: множество точек и геометрическая . Уайли-Интерсайенс. стр. 191–192. ISBN 9780470096055 .
^ Разрезание бутылки Кляйна пополам - Numberphile на YouTube
^ Секин, Карло Х (1 июня 2013 г.). «О количестве типов бутылок Клейна». Журнал математики и искусств . 7 (2): 51–63. CiteSeerX 10.1.1.637.4811 . дои : 10.1080/17513472.2013.795883 . S2CID 16444067 .
^ Дэй, Адам (17 февраля 2014 г.). «Квантовая гравитация на бутылке Клейна» . CQG+ .
^ Битетто, доктор Марко (14 февраля 2020 г.). Гиперпространственная динамика . Доктор Марко А.В. Битетто.

Источники [ править ]

В эту статью включен материал из бутылки Кляйна на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .
Вайсштейн, Эрик В. «Бутылка Кляйна» . Математический мир .
Аллинг, Норман; Гринлиф, Ньюкомб (1969). «Поверхности Клейна и поля вещественных алгебраических функций» . Бюллетень Американского математического общества . 75 (4): 627–888. дои : 10.1090/S0002-9904-1969-12332-3 . МР 0251213 . ЧП евклид.бамс/1183530665 . (Классика теории клейновских поверхностей)
Стиллвелл, Джон (1993). Классическая топология и комбинаторная теория групп (2-е изд.). Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-97970-0 .

Внешние ссылки [ править ]

Математика визуализации — бутылка Клейна
Самая большая бутылка Кляйна в мире
Анимация «Бутылка Клейна»: создана для семинара по топологии в Ганноверском университете Лейбница.
Анимация «Бутылка Кляйна» 2010 года, включающая поездку на автомобиле через бутылку и оригинальное описание Феликса Кляйна: создано в Свободном университете Берлина.
Klein Bottle , XScreenSaver «взломать». Заставка для X 11 и OS X с анимированной бутылкой Клейна.

[FOOTNOTEStillwell1993651.2.3_The_Klein_Bottle-1] Стиллвелл 1993 , с. 65, 1.2.3 Бутылка Клейна.

[:0-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Уикс, Джеффри (2020). Форма пространства, 3-е изд . ЦРК Пресс. ISBN 978-1138061217 .

[3] «Странные поверхности: новые идеи» . Музей науки Лондон. Архивировано из оригинала 28 ноября 2006 г.

[FOOTNOTEAllingGreenleaf1969-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Аллинг и Гринлиф, 1969 .

[5] Марк тен Бош - https://marctenbosch.com/news/2021/12/4d-toys-version-1-7-klein-bottles/

[Darling2004-6] Дэвид Дарлинг (11 августа 2004 г.). Универсальная книга по математике: от абракадабры до парадоксов Зенона . Джон Уайли и сыновья. п. 176. ИСБН 978-0-471-27047-8 .

[7] Шик, Пол (2007). Топология: множество точек и геометрическая . Уайли-Интерсайенс. стр. 191–192. ISBN 9780470096055 .

[8] Разрезание бутылки Кляйна пополам - Numberphile на YouTube

[9] Секин, Карло Х (1 июня 2013 г.). «О количестве типов бутылок Клейна». Журнал математики и искусств . 7 (2): 51–63. CiteSeerX 10.1.1.637.4811 . дои : 10.1080/17513472.2013.795883 . S2CID 16444067 .

[10] Дэй, Адам (17 февраля 2014 г.). «Квантовая гравитация на бутылке Клейна» . CQG+ .

[11] Битетто, доктор Марко (14 февраля 2020 г.). Гиперпространственная динамика . Доктор Марко А.В. Битетто.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]