Фундаментальный домен

Учитывая топологическое пространство и на него группу действующую , образы отдельной точки под действием группы образуют орбиту действия. или Фундаментальная область фундаментальная область — это подмножество пространства, которое содержит ровно одну точку с каждой из этих орбит. Он служит геометрической реализацией абстрактного множества представителей орбит.

Есть много способов выбрать фундаментальную область. Обычно фундаментальная область должна представлять собой связное подмножество с некоторыми ограничениями на ее границу, например, гладкую или многогранную. Затем изображения выбранной фундаментальной области под действием группы плиткой заполняют пространство . Одна общая конструкция фундаментальных областей использует ячейки Вороного .

Подсказки к общему определению

Для данного действия группы G представителей на топологическом пространстве X посредством гомеоморфизмов фундаментальной областью этого действия является множество D орбит. Обычно требуется, чтобы это было достаточно хорошее топологически множество одним из нескольких точно определенных способов. Одним из типичных условий является то, что D является почти открытым множеством в том смысле, что является симметричной разностью открытого множества в X с множеством нулевой меры для некоторой (квази)инвариантной меры на X. D Фундаментальная область всегда содержит свободное регулярное множество U , открытое множество, перемещаемое G в непересекающиеся копии, и почти так же хорошо, как D, представляет орбиты. Часто D требуется, чтобы представлял собой полный набор представителей смежных классов с некоторыми повторениями, но повторяющаяся часть имеет нулевую меру. Это типичная ситуация в эргодической теории . используется фундаментальная область Если для вычисления интеграла по X / G , множества нулевой меры не имеют значения.

Например, когда X — евклидово пространство R ^н размерности n , G — решетка Z ^н действуя на него сдвигами, фактор X / G является n -мерным тором . Фундаментальной областью D здесь можно считать [0,1) ^н, отличающийся от открытого множества (0,1) ^н множеством нулевой меры или замкнутым единичным кубом [0,1] ^н, граница которого состоит из точек, орбита которых имеет более одного представителя в D .

Примеры

Примеры в трехмерном евклидовом пространстве R ³.

для n -кратного вращения: орбита представляет собой либо набор из n точек вокруг оси, либо одну точку на оси; фундаментальная область — это сектор
для отражения в плоскости: орбита представляет собой либо набор из двух точек, по одной на каждой стороне плоскости, либо одну точку на плоскости; фундаментальная область - это полупространство, ограниченное этой плоскостью
для отражения в точке: орбита — совокупность двух точек, по одной с каждой стороны от центра, за исключением одной орбиты, состоящей только из центра; фундаментальная область — это полупространство, ограниченное любой плоскостью, проходящей через центр
для поворота на 180° вокруг линии: орбита представляет собой либо набор из двух точек, противоположных друг другу относительно оси, либо одну точку на оси; фундаментальная область — это полупространство, ограниченное любой плоскостью, проходящей через линию
для дискретной трансляционной симметрии в одном направлении: орбиты представляют собой сдвиг одномерной решетки в направлении вектора трансляции; фундаментальная область представляет собой бесконечную плиту
для дискретной трансляционной симметрии в двух направлениях: орбиты представляют собой сдвиги двумерной решетки в плоскости через векторы трансляции; фундаментальная область представляет собой бесконечный стержень с параллелограммным поперечным сечением.
для дискретной трансляционной симметрии в трех направлениях: орбиты являются сдвигами решетки; фундаментальная область представляет собой примитивную ячейку , которая представляет собой, например, параллелепипед или ячейку Вигнера-Зейтца , также называемую Вороного . клеткой /диаграммой

В случае трансляционной симметрии в сочетании с другими симметриями фундаментальная область является частью примитивной клетки. Например, для групп обоев фундаментальный домен в 1, 2, 3, 4, 6, 8 или 12 раз меньше, чем примитивная ячейка.

Фундаментальная область модульной группы

Каждая треугольная область представляет собой свободное регулярное множество H/Γ; серый (с третьей точкой треугольника, обращенной в бесконечность) является канонической фундаментальной областью.

На диаграмме справа показана часть конструкции фундаментальной области действия модулярной группы Γ в верхней полуплоскости H .

Эта знаменитая диаграмма встречается во всех классических книгах по модульным функциям . (Вероятно, это было хорошо известно К. Ф. Гауссу , который имел дело с фундаментальными областями под видом теории приведения квадратичных форм .) Здесь каждая треугольная область (ограниченная синими линиями) представляет собой свободное регулярное множество действия Γ на Х. Границы (синие линии) не являются частью свободных регулярных множеств. Чтобы построить фундаментальную область H /Γ, необходимо также подумать о том, как назначать точки на границе, стараясь не учитывать такие точки дважды. Таким образом, свободное регулярное множество в этом примере равно

U=\left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}.

Фундаментальная область создается путем добавления границы слева плюс половины дуги внизу, включая точку посередине:

D=U\cup \left\{z\in H:\left|z\right|\geq 1,\,{\mbox{Re}}(z)={\frac {-1}{2}}\right\}\cup \left\{z\in H:\left|z\right|=1,\,{\frac {-1}{2}}<{\mbox{Re}}(z)\leq 0\right\}.

Выбор точек границы, которые следует включить в состав фундаментальной области, произволен и варьируется от автора к автору.

Основная трудность определения фундаментальной области заключается не столько в определении множества как такового , сколько в том, как обращаться с интегралами по фундаментальной области при интегрировании функций с полюсами и нулями на границе области.

См. также

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная область» . Математический мир .