Решетка (дискретная подгруппа)

Для дискретных подгрупп группы R ^н , см. Решетка (группа) . Чтобы узнать о других значениях, см. Решетка (значения) .

Часть дискретной группы Гейзенберга , дискретная подгруппа непрерывной группы Ли Гейзенберга. (Цвета и края предназначены только для наглядности.)

В теории Ли и смежных областях математики решетка в локально компактной группе — это дискретная подгруппа со свойством, что фактор-пространство имеет конечную инвариантную меру . В частном случае подгрупп R ^н , это сводится к обычному геометрическому понятию решетки как периодического подмножества точек, и как алгебраическая структура решеток, так и геометрия пространства всех решеток относительно хорошо поняты.

Теория особенно богата для решеток в полупростых группах Ли или, в более общем плане, в полупростых алгебраических группах над локальными полями . В частности, в этом случае существует множество результатов о жесткости, а знаменитая теорема Григория Маргулиса утверждает, что в большинстве случаев все решетки получаются как арифметические группы .

Решетки также хорошо изучены в некоторых других классах групп, в частности в группах, связанных с алгебрами Каца–Муди и группами автоморфизмов регулярных деревьев (последние известны как древесные решетки ).

Решетки представляют интерес во многих областях математики: в геометрической теории групп (как особенно хороший пример дискретных групп ), в дифференциальной геометрии (посредством построения локально однородных многообразий), в теории чисел (посредством арифметических групп ), в эргодической теории (посредством построения локально однородных многообразий). изучение однородных потоков на факторпространствах) и в комбинаторике (путем построения расширяющихся графов Кэли и других комбинаторных объектов).

Общие сведения о решетках

Неформальное обсуждение

Решетки лучше всего рассматривать как дискретные аппроксимации непрерывных групп (таких как группы Ли). Например, интуитивно ясно, что подгруппа $\mathbb {Z} ^{n}$ целочисленных векторов «выглядит» как реальное векторное пространство $\mathbb {R} ^{n}$ в некотором смысле, при этом обе группы существенно различны: одна конечно порождена и счетна , а другая не конечно порождена и имеет мощность континуума .

Строго определив в предыдущем абзаце значение понятия «приближение непрерывной группы дискретной подгруппой», чтобы получить обобщающее понятие $\mathbb {Z} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{n}$ вопрос в том, для чего он предназначен. Возможно, наиболее очевидная идея состоит в том, чтобы сказать, что подгруппа «приближает» большую группу, и состоит в том, что большая группа может быть охвачена трансляциями «маленького» подмножества всеми элементами в подгруппах. В локально компактной топологической группе сразу имеются два понятия «малого»: топологическое ( компактное или относительно компактное подмножество ) или теоретико-мерное (подмножество конечной меры Хаара). Обратите внимание: поскольку мера Хаара является мерой Радона и придает конечную массу компактным подмножествам, второе определение является более общим. Определение решетки, используемое в математике, опирается на второе значение (в частности, включает такие примеры, как $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$), но первое имеет и свой интерес (такие решетки называются равномерными).

Другими понятиями являются грубая эквивалентность и более сильная квазиизометрия . Однородные решетки квазиизометричны своим объемлющим группам, а неоднородные даже грубо им не эквивалентны.

Определение

Позволять $G$ быть локально компактной группой и $\Gamma$ дискретная подгруппа (это означает, что существует окрестность $U$ элемента идентичности $e_{G}$ из $G$ такой, что $\Gamma \cap U=\{e_{G}\}$). Затем $\Gamma$ называется решеткой в $G$ если, кроме того, существует борелевская мера $\mu$ на факторпространстве $G/\Gamma$ которое конечно (т.е. $\mu (G/\Gamma )<+\infty$) и $G$-инвариант (это означает, что для любого $g\in G$ и любое открытое подмножество $W\subset G/\Gamma$ равенство $\mu (gW)=\mu (W)$ доволен).

Несколько более сложная формулировка такова: предположим, что, кроме того, $G$ унимодулярно, то поскольку $\Gamma$ дискретна, она также унимодулярна и по общим теоремам существует единственная $G$-инвариантная борелевская мера на $G/\Gamma$ вплоть до масштабирования. Затем $\Gamma$ является решеткой тогда и только тогда, когда эта мера конечна.

В случае дискретных подгрупп эта инвариантная мера локально совпадает с мерой Хаара и, следовательно, является дискретной подгруппой в локально компактной группе. $G$ быть решеткой эквивалентно тому, что она имеет фундаментальную область (для действия на $G$ левыми сдвигами) конечного объема для меры Хаара.

Решетка $\Gamma \subset G$ называется равномерным (или кокомпактным), если фактор-пространство $G/\Gamma$ компактен (и неоднороден в противном случае). Эквивалентно дискретная подгруппа $\Gamma \subset G$ является равномерной решеткой тогда и только тогда, когда существует компактное подмножество $C\subset G$ с $G=\bigcup {}_{\gamma \in \Gamma }\,C\gamma$. Обратите внимание, что если $\Gamma$ — любая дискретная подгруппа в $G$ такой, что $G/\Gamma$ тогда компактен $\Gamma$ автоматически является решеткой в $G$.

Первые примеры

Фундаментальным и простейшим примером является подгруппа $\mathbb {Z} ^{n}$ которая является решеткой в ​​группе Ли $\mathbb {R} ^{n}$. Немного более сложный пример дает дискретная группа Гейзенберга внутри непрерывной группы Гейзенберга.

Если $G$ дискретная группа, то решетка в $G$ это именно подгруппа $\Gamma$ конечного индекса (т.е. фактормножество $G/\Gamma$ конечно).

Все эти примеры однотипны. Неоднородный пример дает модульная группа $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ внутри $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$, а также многомерными аналогами $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$.

Любая подгруппа конечного индекса решетки также является решеткой той же группы. В более общем смысле подгруппа, соизмеримая решетке, является решеткой.

Какие группы имеют решетки?

Не всякая локально компактная группа содержит решетку, и для этого не существует общего теоретико-группового достаточного условия. С другой стороны, существует множество более конкретных условий, в которых существуют такие критерии. Например, существование или отсутствие решеток в группах Ли — хорошо изученная тема.

Как мы уже упоминали, необходимым условием того, чтобы группа содержала решетку, является то, что группа должна быть унимодулярной . Это позволяет легко создавать группы без решеток, например группу обратимых верхнетреугольных матриц или аффинные группы . Также не очень сложно найти унимодулярные группы без решеток, например некоторые нильпотентные группы Ли, как описано ниже.

Более сильным условием, чем унимодулярность, является простота . Этого достаточно, чтобы подразумевать существование решетки в группе Ли, но в более общей ситуации локально компактных групп существуют простые группы без решетки, например «группы Неретина».

Решетки в разрешимых группах Ли

Нильпотентные группы Ли

Для нильпотентных групп теория значительно упрощается по сравнению с общим случаем и остается аналогичной случаю абелевых групп. Все решетки в нильпотентной группе Ли равномерны, и если $N$ является связной односвязной нильпотентной группой Ли (т. е. она не содержит нетривиальной компактной подгруппы), то дискретная подгруппа является решеткой тогда и только тогда, когда она не содержится в собственной связной подгруппе (это обобщает тот факт, что дискретная подгруппа в векторном пространстве является решеткой тогда и только тогда, когда она охватывает векторное пространство).

Нильпотентная группа Ли $N$ содержит решетку тогда и только тогда, когда алгебра Ли ${\mathfrak {n}}$ из $N$ можно определить через рациональные числа. То есть тогда и только тогда, когда константы структурные ${\mathfrak {n}}$ являются рациональными числами. Точнее: в нильпотентной группе, алгебра Ли которой имеет только рациональные структурные константы, решетки представляют собой образы через экспоненциальное отображение решеток (в более элементарном смысле решетки (группы) ) в алгебре Ли.

Решетка в нильпотентной группе Ли $N$ всегда конечно порожден (и, следовательно , конечно представлен, поскольку сам нильпотентен); на самом деле он генерируется не более чем $\dim(N)$ элементы.

Наконец, нильпотентная группа изоморфна решетке в нильпотентной группе Ли тогда и только тогда, когда она содержит подгруппу конечного индекса, не имеющую кручения и конечно порожденную.

Общий случай

Приведенный выше критерий наличия решетки нильпотентных групп Ли не применим к более общим разрешимым группам Ли. Остается верным, что любая решетка в разрешимой группе Ли является равномерной. и что решетки в разрешимых группах конечно представимы.

Не все конечно порожденные разрешимые группы являются решетками в группе Ли. Алгебраический критерий состоит в том, что группа является полициклической .

Решетки в полупростых группах Ли

Арифметические группы и существование решеток

Основная статья: Арифметическая группа

Если $G$ — полупростая линейная алгебраическая группа в $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ который определен над полем $\mathbb {Q}$ рациональных чисел (т.е. полиномиальных уравнений, определяющих $G$ имеют свои коэффициенты в $\mathbb {Q}$) то у него есть подгруппа $\Gamma =G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )$. Фундаментальная теорема Армана Бореля и Хариш-Чандры гласит, что $\Gamma$ всегда представляет собой решетку $G$; простейшим примером этого является подгруппа $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$.

Обобщая приведенную выше конструкцию, получаем понятие арифметической решетки в полупростой группе Ли. Поскольку все полупростые группы Ли можно определить над $\mathbb {Q}$ следствием арифметической конструкции является то, что любая полупростая группа Ли содержит решетку.

неприводимость

Когда группа Лия $G$ распадается как продукт $G=G_{1}\times G_{2}$ существует очевидная конструкция решеток в $G$ из меньших групп: если $\Gamma _{1}\subset G_{1},\Gamma _{2}\subset G_{2}$ тогда это решетки $\Gamma _{1}\times \Gamma _{2}\subset G$ это тоже решетка. Грубо говоря, решетка называется неприводимой , если она не возникает из этой конструкции.

Более формально, если $G=G_{1}\times \ldots \times G_{r}$ это разложение $G$ на простые факторы, решётка $\Gamma \subset G$ называется неприводимым, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

• Проекция $\Gamma$ к любому фактору $G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}$ плотный;
• Пересечение $\Gamma$ с любым фактором $G_{i_{1}}\times \ldots \times G_{i_{k}}$ это не решетка.

Примером неприводимой решетки является подгруппа $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])$ которую мы рассматриваем как подгруппу $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ через карту $g\mapsto (g,\sigma (g))$ где $\sigma$ это карта Галуа, отправляющая матрицу с коэффициентами $a_{i}+b_{i}{\sqrt {2}}$ к $a_{i}-b_{i}{\sqrt {2}}$.

Ранг 1 против более высокого ранга

Реальный ранг группы Ли. $G$ — максимальная размерность $\mathbb {R}$-расщепляемый тор ​ $G$ (абелева подгруппа, содержащая только полупростые элементы, имеющие хотя бы одно действительное собственное значение, отличное от $\pm 1$). Полупростыми группами Ли вещественного ранга 1 без компактных факторов являются (с точностью до изогении ) группы Ли из следующего списка (см. Список простых групп Ли ):

• Ортогональные группы $\mathrm {SO} (n,1)$ действительных квадратичных форм подписи $(n,1)$ для $n\geq 2$;
• Унитарные группы $\mathrm {SU} (n,1)$ эрмитовых форм подписи $(n,1)$ для $n\geq 2$;
• Группы $\mathrm {Sp} (n,1)$ (группы матриц с коэффициентами кватернионов , сохраняющими «кватернионную квадратичную форму» сигнатуры $(n,1)$) для $n\geq 2$;
• Исключительная группа Ли $F_{4}^{-20}$ (вещественная форма ранга 1, соответствующая исключительной алгебре Ли $F_{4}$).

Действительный ранг группы Ли оказывает существенное влияние на поведение содержащихся в ней решеток. В частности, поведение решеток первых двух семейств групп (и в меньшей степени решеток последних двух) существенно отличается от поведения неприводимых решеток в группах более высокого ранга. Например:

• Во всех группах существуют неарифметические решетки $\mathrm {SO} (n,1)$, в $\mathrm {SU} (2,1),\mathrm {SU} (3,1)$, и, возможно, в $\mathrm {SU} (n,1),n\geq 4$ (последнее — вопрос открытый ), но в остальных все неприводимые решетки арифметичны;
• Решетки в группах Ли ранга 1 имеют бесконечные, бесконечные нормальные подгруппы индекса , в то время как все нормальные подгруппы неприводимых решеток более высокого ранга либо имеют конечный индекс, либо содержатся в их центре;
• Гипотетически арифметические решетки в группах более высокого ранга обладают свойством конгруэнтной подгруппы. но там много решеток $\mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)$ которые имеют неконгруэнтные подгруппы конечного индекса.

Kazhdan's property (T)

Свойство, известное как (T), было введено Кажданом для изучения решеток алгебраических структур в некоторых группах Ли, когда классические, более геометрические методы не дали результата или, по крайней мере, оказались не столь эффективными. Фундаментальным результатом при изучении решеток является следующий:

Решетка в локально компактной группе обладает свойством (T) тогда и только тогда, когда сама группа обладает свойством (T).

Используя гармонический анализ, можно классифицировать полупростые группы Ли в зависимости от того, обладают ли они этим свойством. Как следствие, мы получаем следующий результат, дополнительно иллюстрирующий дихотомию предыдущего раздела:

• Решетки в $\mathrm {SO} (n,1),\mathrm {SU} (n,1)$ не обладают свойством Каждана (T), в отличие от неприводимых решеток во всех других простых группах Ли;

Свойства конечности

Решетки в полупростых группах Ли всегда конечно представлены и фактически удовлетворяют более сильным условиям конечности . Для однородных решеток это является прямым следствием кокомпактности. В неоднородном случае это можно доказать с помощью теории редукции. Легче доказать конечную представимость групп со свойством (T) ; однако существует геометрическое доказательство, которое работает для всех полупростых групп Ли.

Римановы многообразия, ассоциированные с решетками в группах Ли

Левоинвариантные метрики

Если $G$ является группой Ли, то из внутреннего произведения $g_{e}$ в касательном пространстве ${\mathfrak {g}}$ (алгебра Ли $G$) можно построить риманову метрику на $G$ следующим образом: если $v,w$ принадлежат касательному пространству в точке $\gamma \in G$ помещать $g_{\gamma }(v,w)=g_{e}(\gamma ^{*}v,\gamma ^{*}w)$ где $\gamma ^{*}$ указывает карту касательной (в $\gamma$) диффеоморфизма $x\mapsto \gamma ^{-1}x$ из $G$.

Карты $x\mapsto \gamma x$ для $\gamma \in G$ по определению являются изометриями для этой метрики $g$. В частности, если $\Gamma$ — любая дискретная подгруппа в $G$ (так что он действует свободно и правильно прерывисто посредством левых переводов на $G$) частное $\Gamma \backslash G$ является римановым многообразием, локально изометричным $G$ с метрикой $g$.

Риманова форма объема, связанная с $g$ определяет меру Хаара на $G$ и мы видим, что фактормногообразие имеет конечный риманов объем тогда и только тогда, когда $\Gamma$ представляет собой решётку.

Интересные примеры этого класса римановых пространств включают компактные плоские многообразия и нильмногообразия .

Локально симметричные пространства

Основная статья: Симметричное пространство

Естественная билинейная форма на ${\mathfrak {g}}$ задается формой Киллинга . Если $G$ не компактен, он не определен и, следовательно, не является внутренним произведением: однако, когда $G$ является полупростым и $K$ является максимальной компактной подгруппой, ее можно использовать для определения $G$-инвариантная метрика на однородном пространстве $X=G/K$: такие римановы многообразия называются симметрическими пространствами некомпактного типа без евклидовых факторов.

Подгруппа $\Gamma \subset G$ действует свободно, правильно прерывисто на $X$ тогда и только тогда, когда оно дискретно и без кручения. Частные $\Gamma \backslash X$ называются локально-симметричными пространствами. Таким образом, существует биективное соответствие между полными локально симметрическими пространствами, локально изоморфными $X$ и конечного риманова объема, и решетки без кручения в $G$. Это соответствие можно распространить на все решетки, добавив орбифолды на геометрической стороне.

Решетки в p-адических группах Ли

Класс групп со свойствами, подобными (относительно решеток) вещественным полупростым группам Ли, — это полупростые алгебраические группы над локальными полями характеристики 0, например p-адическими полями. $\mathbb {Q} _{p}$. Имеется арифметическая конструкция, аналогичная реальному случаю, и дихотомия между высшим рангом и рангом единица имеет место и в этом случае, в более выраженной форме. Позволять $G$ быть алгебраической группой над $\mathbb {Q} _{p}$ раскола $\mathbb {Q} _{p}$-ранг р . Затем:

• Если r не менее 2, все неприводимые решетки в $G$ являются арифметическими;
• если r=1 , то существует несчетное число классов соизмеримости неарифметических решеток.

В последнем случае все решетки фактически являются свободными группами (вплоть до конечного индекса).

S-арифметические группы

В более общем смысле можно рассматривать решетки в группах вида

$G=\prod _{p\in S}G_{p}$

где $G_{p}$ является полупростой алгебраической группой над $\mathbb {Q} _{p}$. Обычно $p=\infty$ разрешено, в этом случае $G_{\infty }$ это настоящая группа Ли. Пример такой решетки дает

$\mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\frac {1}{p}}\right]\right)\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p})$.

Эту арифметическую конструкцию можно обобщить и получить понятие S-арифметической группы . Теорема об арифметичности Маргулиса применима и к этому случаю. В частности, если хотя бы два из факторов $G_{p}$ некомпактны, то любая неприводимая решетка в $G$ является S-арифметикой.

Решетки в группах аделей

Если $\mathrm {G}$ — полупростая алгебраическая группа над числовым полем $F$ и $\mathbb {A}$ это кольцо Адель, затем группа $G=\mathrm {G} (\mathbb {A} )$ аделических точек корректно определена (с учетом некоторых технических деталей) и представляет собой локально компактную группу, которая естественным образом содержит группу $\mathrm {G} (F)$ из $F$-рациональная точка как дискретная подгруппа. Теорема Бореля-Хариша-Чандры распространяется на этот случай, и $\mathrm {G} (F)\subset \mathrm {G} (\mathbb {A} )$ представляет собой решётку.

Теорема сильной аппроксимации связывает фактор $\mathrm {G} (F)\backslash \mathrm {G} (\mathbb {A} )$ к более классическим факторам S-арифметики. Этот факт делает группы Аделей очень эффективными инструментами теории автоморфных форм . В частности, современные формы формулы следа обычно формулируются и доказываются для аделических групп, а не для групп Ли.

Жесткость

Результаты жесткости

Другая группа явлений, касающихся решеток в полупростых алгебраических группах, известна под общим названием жесткость . Вот три классических примера результатов в этой категории.

Результаты локальной жесткости утверждают, что в большинстве ситуаций каждая подгруппа, которая достаточно «близка» к решетке (в интуитивном смысле, формализованном топологией Шаботи или топологией на многообразии характеров ), фактически сопряжена с исходной решеткой элементом амбиентная группа Ли. Следствием локальной жесткости и теоремы Каждана-Маргулиса является теорема Ванга: в данной группе (с фиксированной мерой Хаара) для любого v>0 существует лишь конечное число (с точностью до сопряжения) решеток с кообъемом, ограниченным v .

Теорема о жесткости Мостова утверждает, что для решеток в простых группах Ли, не локально изоморфных $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ (группа матриц размера 2 на 2 с определителем 1) любой изоморфизм решеток по существу индуцируется изоморфизмом между самими группами. В частности, решетка в группе Ли «помнит» окружающую группу Ли через свою групповую структуру. Первое утверждение иногда называют сильной жесткостью и принадлежит Джорджу Мостоу и Гопалу Прасаду (Мостоу доказал его для кокомпактных решеток, а Прасад распространил его на общий случай).

Сверхжесткость обеспечивает (для групп Ли и алгебраических групп над локальными полями более высокого ранга) усиление как локальной, так и сильной жесткости, имея дело с произвольными гомоморфизмами решетки в алгебраической группе G в другую алгебраическую группу H . Оно было доказано Григорием Маргулисом и является важным компонентом доказательства его теоремы об арифметичности.

Нежесткость в малых размерах

Единственные полупростые группы Ли, для которых не выполняется жесткость Мостова, — это все группы, локально изоморфные $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$. В этом случае на самом деле существует непрерывно много решеток, и они порождают пространства Тейхмюллера .

Неоднородные решетки в группе $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )$ не являются локально жесткими. Фактически они являются точками накопления (в топологии Шаботи) решеток меньшего кообъема, как показывает гиперболическая хирургия Дена .

Поскольку решетки в p-адических группах ранга один являются практически свободными группами, они очень нежесткие.

Решетки для деревьев

Определение

Позволять $T$ — дерево с кокомпактной группой автоморфизмов; например, $T$ может быть правильным или бирегулярным деревом. Группа автоморфизмов $\mathrm {Aut} (T)$ из $T$ является локально компактной группой (когда она наделена компактно-открытой топологией , в которой базис окрестностей единицы задается стабилизаторами конечных поддеревьев, которые компактны). Любая группа, являющаяся решеткой в ​​некотором $\mathrm {Aut} (T)$ тогда называется древовидной решеткой .

Дискретность в этом случае легко увидеть из действия группы на дереве: подгруппа $\mathrm {Aut} (T)$ дискретна тогда и только тогда, когда все стабилизаторы вершин являются конечными группами.

Из основной теории действий групп на деревьях легко видеть, что однородные древесные решетки являются практически свободными группами. Таким образом, наиболее интересными древесными решетками являются неоднородные, то есть те, для которых факторграф $\Gamma \backslash T$ бесконечен. Существование таких решеток увидеть нелегко.

Древовидные решетки алгебраических групп

Если $F$ является локальным полем положительной характеристики (т.е. пополнением функционального поля кривой над конечным полем, например полем формальных Лорана степенных рядов $\mathbb {F} _{p}((t))$) и $G$ алгебраическая группа, определенная над $F$ из $F$-разбить первый ранг, затем любую решетку в $G$ является древовидной решеткой благодаря действию на здание Брюа–Титса , которое в данном случае является деревом. В отличие от случая характеристики 0 такие решетки могут быть неоднородными и в этом случае они никогда не являются конечно порожденными.

Древовидные решетки из теории Басса – Серра

Основная статья: теория Басса – Серра

Если $\Gamma$ — фундаментальная группа бесконечного графа групп , все вершинные группы которого конечны, и при дополнительных необходимых предположениях об индексе реберных групп и размере вершинных групп тогда действие $\Gamma$ на дереве Басса-Серра, связанном с графом групп, реализует его как древесную решетку.

Критерий существования

В более общем плане можно задать следующий вопрос: если $H$ является закрытой подгруппой $\mathrm {Aut} (T)$, при каких условиях $H$ содержать решетку? Существование однородной решетки эквивалентно тому, что $H$ будучи унимодулярным, и фактор $H\backslash T$ будучи конечным. Общая теорема существования более тонкая: необходимо и достаточно, чтобы $H$ быть унимодулярным и что фактор $H\backslash T$ иметь «конечный объем» в подходящем смысле (который можно выразить комбинаторно через действие $H$), более общее, чем более сильное условие конечности фактора (что доказывается самим существованием неоднородных древесных решеток).

Ссылки

• Басс, Хайман; Любоцкий, Александр (2001). Древовидные решетки. С приложениями Х. Басса, Л. Карбоне, А. Любоцкого, Г. Розенберга и Дж. Титса . Прогресс в математике. Биркхойзер Верлаг. ISBN  0-8176-4120-3 .
• Маргулис, Григорий (1991). Дискретные подгруппы полупростых групп Ли . Результаты математики и ее пограничные области. Издательство Спрингер . стр. х+388. ISBN  3-540-12179-Х . МР   1090825 .
• Платонов Владимир ; Рапинчук, Андрей (1994). Алгебраические группы и теория чисел. (Перевод с русского оригинала 1991 года Рэйчел Роуэн.) . Чистая и прикладная математика. Том. 139. Бостон, Массачусетс: ISBN Academic Press, Inc.  0-12-558180-7 . МР   1278263 .
• Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Результаты математики и ее пограничные области. Издательство Спрингер . МР0507234   .
• Витте-Моррис, Дэйв (2015). Введение в арифметические группы . Дедуктивный пресс. п. 492. ИСБН  978-0-9865716-0-2 .
• Геландер, Цачик (2014). «Лекции по решеткам и локально-симметричным пространствам». В Бествине, Младен; Сагеев, Миха; Фогтманн, Карен (ред.). Геометрическая теория групп . стр. 249–282. arXiv : 1402.0962 . Бибкод : 2014arXiv1402.0962G .