Относительно компактное подпространство
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( июнь 2022 г. ) |
В математике ( относительно компактное подпространство или относительно компактное подмножество , или предкомпактное подмножество ) Y топологического пространства X — это подмножество, замыкание которого компактно .
Характеристики
[ редактировать ]Каждое подмножество компактного топологического пространства относительно компактно (поскольку замкнутое подмножество компакта компактно). А в произвольном топологическом пространстве каждое подмножество относительно компактного множества относительно компактно.
Каждое компактное подмножество хаусдорфова пространства относительно компактно. В нехаусдорфовом пространстве, таком как конкретная точечная топология на бесконечном множестве, замыкание компактного подмножества не обязательно компактно; иными словами, компактное подмножество нехаусдорфова пространства не обязательно является относительно компактным.
(возможно, нехаусдорфового) Каждое компактное подмножество топологического векторного пространства является полным и относительно компактным.
В случае метрической топологии или, в более общем смысле, когда могут использоваться для проверки компактности, критерием относительной компактности становится то, что любая последовательность в Y имеет подпоследовательность, сходящуюся в X. последовательности
Некоторые основные теоремы характеризуют относительно компактные подмножества, в частности, в функциональных пространствах . Примером может служить теорема Арсела–Асколи . Другие интересные случаи связаны с равномерной интегрируемостью и концепцией нормального семейства в комплексном анализе . Теорема Малера о компактности в геометрии чисел характеризует относительно компактные подмножества в некоторых некомпактных однородных пространствах (в частности, пространствах решеток ).
Контрпример
[ редактировать ]В качестве контрпримера возьмем любую окрестность конкретной точки бесконечного частного точечного пространства . Сама окрестность может быть компактной, но не относительно компактной, поскольку ее замыканием является все некомпактное пространство.
Почти периодические функции
[ редактировать ]Определение почти периодической функции F на концептуальном уровне связано с тем, что F является относительно компактным множеством. Это необходимо уточнить с точки зрения топологии, используемой в конкретной теории.
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- стр. 12 В. Хацкевича, Д. Шойхета, Дифференциальные операторы и нелинейные уравнения , Birkhäuser Verlag AG, Базель, 1993, 270 стр. в google book