Kazhdan–Margulis theorem

В теории Ли , области математики , теорема Каждана-Маргулиса — это утверждение, утверждающее, что дискретная подгруппа в полупростых группах Ли не может быть слишком плотной в группе. Точнее, в любой такой группе Ли существует равномерная окрестность единицы , такая что каждая решетка в группе имеет сопряженную , пересечение которой с этой окрестностью содержит только единицу. Этот результат был доказан в 1960-х годах Давидом Кажданом и Григорием Маргулисом . ^[1]

Заявление и замечания

Формальная формулировка теоремы Каждана–Маргулиса следующая.

Позволять $G$ — полупростая группа Ли: существует открытая окрестность $U$ личности $e$ в $G$ такая, что для любой дискретной подгруппы $\Gamma \subset G$ есть элемент $g\in G$ удовлетворяющий $g\Gamma g^{-1}\cap U=\{e\}$ .

Заметим, что в общих группах Ли это утверждение далеко не верно; в частности, в нильпотентной группе Ли для любой окрестности единицы существует решетка в группе, порожденная ее пересечением с окрестностью: например, в $\mathbb {R} ^{n}$ , решетка $\varepsilon \mathbb {Z} ^{n}$ удовлетворяет этому свойству для $\varepsilon >0$ достаточно маленький.

Доказательство

Основной технический результат Каждана–Маргулиса, интересный сам по себе и из которого непосредственно следует более известное утверждение, приведенное выше, состоит в следующем. ^[2]

Дана полупростая группа Ли без компактных факторов. $G$ наделенный нормой $|\cdot |$ , существует $c>1$ , район $U_{0}$ из $e$ в $G$ , компактное подмножество $E\subset G$ такая, что для любой дискретной подгруппы $\Gamma \subset G$ существует $g\in E$ такой, что $|g\gamma g^{-1}|\geq c|\gamma |$ для всех $\gamma \in \Gamma \cap U_{0}$ .

Район $U_{0}$ получается как окрестность Цассенхауза единицы в $G$ : тогда теорема следует из стандартных аргументов теории Ли.

Существуют и другие доказательства. Есть одно доказательство, которое носит более геометрический характер и может дать больше информации: ^[3]^[4] и есть третье доказательство, основанное на понятии инвариантных случайных подгрупп , которое значительно короче. ^[5]

Приложения

Гипотеза Сельберга

Одной из мотиваций Каждана-Маргулиса было доказать следующее утверждение, известное в то время как гипотеза Сельберга (напомним, что решетка называется однородной, если ее фактор-пространство компактно):

Решетка в полупростой группе Ли неоднородна тогда и только тогда, когда она содержит унипотентный элемент.

Этот результат следует из более технической версии теоремы Каждана–Маргулиса и того факта, что только унипотентные элементы могут быть сопряжены сколь угодно близко (для данного элемента) к единице.

Объемы локально симметричных пространств

Следствием теоремы является то, что локально симметрические пространства и орбифолды, связанные с решетками в полупростой группе Ли, не могут иметь сколь угодно малый объем (при нормировке меры Хаара).

Для гиперболических поверхностей это принадлежит Зигелу, и существует явная нижняя оценка $\pi /21$ для наименьшего кообъема фактора гиперболической плоскости по решетке в $\mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {R} )$ (см. теорему Гурвица об автоморфизмах ). Для гиперболических трехмногообразий известна решетка минимального объема и ее кообъем около 0,0390. ^[6] В более высоких размерностях проблема нахождения решетки минимального объема все еще остается открытой, хотя она и была решена при ограничении подклассом арифметических групп . ^[7]

Теорема Ванга о конечности

Вместе с локальной жесткостью и конечной порожденностью решеток теорема Каждана-Маргулиса является важным компонентом доказательства теоремы Ванга о конечности. ^[8]

Если $G$ — простая группа Ли, не локально изоморфная $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ или $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ с фиксированной мерой Хаара и $v>0$ существует лишь конечное число решеток в $G$ кообъема менее $v$ .

См. также

Лемма Маргулиса

Примечания

^ Каждан, Давид ; Маргулис, Григорий (1968). «Доказательство гипотезы Сельберга» . Математика. Сборник СССР . 4 . Перевод З. Скальского: 147–152. дои : 10.1070/SM1968v004n01ABEH002782 . МР 0223487 .
^ Рагунатан 1972 , Теорема 11.7.
^ Геландер, Цачик (2011). «Объем в зависимости от ранга решеток». Журнал чистой и прикладной математики . 2011 (661): 237–248. arXiv : 1102.3574 . дои : 10.1515/CRELLE.2011.085 . S2CID 122888051 .
^ Баллманн, Вернер; Громов, Михаил ; Шредер, Виктор (1985). Многообразия неположительной кривизны . Прогресс в математике. Том. 61. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс. дои : 10.1007/978-1-4684-9159-3 . ISBN 978-1-4684-9161-6 .
^ Геландер, Цачик (2018). «Теорема Каждана-Маргулиса для инвариантных случайных подгрупп». Достижения в математике . 327 : 47–51. arXiv : 1510.05423 . дои : 10.1016/j.aim.2017.06.011 . S2CID 119314646 .
^ Маршалл, Тимоти Х.; Мартин, Гавен Дж. (2012). «Гиперболические решетки минимального кообъема, II: Простое кручение в клейновой группе» . Анналы математики . 176 : 261–301. дои : 10.4007/анналы.2012.176.1.4 . МР 2925384 .
^ Белолипецкий Михаил; Эмери, Винсент (2014). «Гиперболические многообразия малого объема» (PDF) . Документа Математика . 19 : 801–814. arXiv : 1310.2270 . дои : 10.4171/дм/464 . S2CID 303659 .
^ Теорема 8.1 в Ван, Сянь-Чунг (1972), «Темы полностью прерывистых групп», Бутби, Уильям М.; Вайс, Гвидо Л. (ред.), Симметричные пространства, краткие курсы, представленные в Вашингтонском университете. , Чистая и прикладная математика., вып. 1, Марсель Деккер, стр. 459–487, Збл 0232.22018.

Ссылки

Геландер, Цачик (2014). «Лекции по решеткам и локально-симметричным пространствам». В Бествине, Младен; Сагеев, Миха; Фогтманн, Карен (ред.). Геометрическая теория групп . стр. 249–282. arXiv : 1402.0962 . Бибкод : 2014arXiv1402.0962G .
Рагунатан, MS (1972). Дискретные подгруппы групп Ли . Результаты математики и ее пограничные области. Издательство Спрингер . МР0507234 .

[1] Каждан, Давид ; Маргулис, Григорий (1968). «Доказательство гипотезы Сельберга» . Математика. Сборник СССР . 4 . Перевод З. Скальского: 147–152. дои : 10.1070/SM1968v004n01ABEH002782 . МР 0223487 .

[FOOTNOTERaghunathan1972Theorem_11.7-2] Рагунатан 1972 , Теорема 11.7.

[3] Геландер, Цачик (2011). «Объем в зависимости от ранга решеток». Журнал чистой и прикладной математики . 2011 (661): 237–248. arXiv : 1102.3574 . дои : 10.1515/CRELLE.2011.085 . S2CID 122888051 .

[4] Баллманн, Вернер; Громов, Михаил ; Шредер, Виктор (1985). Многообразия неположительной кривизны . Прогресс в математике. Том. 61. Birkhäuser Boston, Inc., Бостон, Массачусетс. дои : 10.1007/978-1-4684-9159-3 . ISBN 978-1-4684-9161-6 .

[5] Геландер, Цачик (2018). «Теорема Каждана-Маргулиса для инвариантных случайных подгрупп». Достижения в математике . 327 : 47–51. arXiv : 1510.05423 . дои : 10.1016/j.aim.2017.06.011 . S2CID 119314646 .

[6] Маршалл, Тимоти Х.; Мартин, Гавен Дж. (2012). «Гиперболические решетки минимального кообъема, II: Простое кручение в клейновой группе» . Анналы математики . 176 : 261–301. дои : 10.4007/анналы.2012.176.1.4 . МР 2925384 .

[7] Белолипецкий Михаил; Эмери, Винсент (2014). «Гиперболические многообразия малого объема» (PDF) . Документа Математика . 19 : 801–814. arXiv : 1310.2270 . дои : 10.4171/дм/464 . S2CID 303659 .

[8] Теорема 8.1 в Ван, Сянь-Чунг (1972), «Темы полностью прерывистых групп», Бутби, Уильям М.; Вайс, Гвидо Л. (ред.), Симметричные пространства, краткие курсы, представленные в Вашингтонском университете. , Чистая и прикладная математика., вып. 1, Марсель Деккер, стр. 459–487, Збл 0232.22018.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]