Местная жесткость

Теоремы локальной жесткости в теории дискретных подгрупп групп Ли — это результаты, которые показывают, что малые деформации некоторых таких подгрупп всегда тривиальны. Она отличается от жесткости Мостова и слабее (но выполняется чаще), чем сверхжесткость .

История

Первая такая теорема была доказана Атле Сельбергом для кокомпактных дискретных подгрупп унимодулярных групп. $\mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )$. Вскоре после этого аналогичное утверждение было доказано Эухенио Калаби на примере фундаментальных групп компактных гиперболических многообразий. распространил теорему на все кокомпактные подгруппы полупростых групп Ли Наконец, Андре Вейль . Расширение некокомпактных решеток было сделано позже Говардом Гарландом и Мадабуси Сантанамом Рагунатаном . Результат теперь иногда называют жесткостью Калаби-Вейля (или просто Вейля).

Заявление

Деформации подгрупп

Позволять $\Gamma$ быть группой, порожденной конечным числом элементов $g_{1},\ldots ,g_{n}$ и $G$ группа Лжи. Тогда карта $\mathrm {Hom} (\Gamma ,G)\to G^{n}$ определяется $\rho \mapsto (\rho (g_{1}),\ldots ,\rho (g_{n}))$ является инъективным, и это обеспечивает $\mathrm {Hom} (\Gamma ,G)$ с топологией, индуцированной топологией $G^{n}$. Если $\Gamma$ является подгруппой $G$ тогда деформация ​ $\Gamma$ какой-либо элемент в $\mathrm {Hom} (\Gamma ,G)$. Два представления $\phi ,\psi$ называются сопряженными, если существует $g\in G$ такой, что $\phi (\gamma )=g\psi (\gamma )g^{-1}$ для всех $\gamma \in \Gamma$. См. также разнообразие персонажей .

Решетки в простых группах не типа А1 или А1×А1

Самое простое утверждение: когда $\Gamma$ является решеткой в ​​простой группе Ли $G$ и последний не локально изоморфен $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ или $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ и $\Gamma$ (это означает, что ее алгебра Ли не принадлежит ни одной из этих двух групп).

Существует район $U$ в $\mathrm {Hom} (\Gamma ,G)$ включения $i:\Gamma \subset G$ такой, что любой $\phi \in U$ сопряжен с $i$.

Всякий раз, когда такое утверждение справедливо для пары $G\supset \Gamma$ будем говорить, что сохраняется локальная жесткость.

Решетки в SL(2,C)

Локальная жесткость справедлива для кокомпактных решеток в $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$. Решетка $\Gamma$ в $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$ Терстона хирургии Дена который не является кокомпактным, имеет нетривиальные деформации, вытекающие из гиперболической теории . Однако если добавить ограничение, согласно которому представление должно отправлять параболические элементы в $\Gamma$ к параболическим элементам, то сохраняется локальная жесткость.

Решетки в SL(2,R)

В этом случае локальная жесткость никогда не сохраняется. Для кокомпактных решеток малая деформация остается кокомпактной решеткой, но не может быть сопряжена с исходной ( см. Пространство Тейхмюллера подробнее ). Некокомпактные решетки практически свободны и, следовательно, имеют нерешеточные деформации.

Полупростые группы Ли

Локальная жесткость сохраняется для решеток в полупростых группах Ли при условии, что последние не имеют фактора типа A1 (т. е. локально изоморфны $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ или $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )$) или первое неприводимо.

Другие результаты

Существуют также результаты локальной жесткости, когда окружающая группа изменяется, даже в случае, когда сверхжесткость не удается. Например, если $\Gamma$ является решеткой в ​​унитарной группе $\mathrm {SU} (n,1)$ и $n\geq 2$ тогда включение $\Gamma \subset \mathrm {SU} (n,1)\subset \mathrm {SU} (n+1,1)$ является локально жестким.

Однородная решетка $\Gamma$ в любой компактно порожденной топологической группе $G$ является топологически локально жестким в том смысле, что любая достаточно малая деформация $\varphi$ включения $i:\Gamma \subset G$ является инъективным и $\varphi (\Gamma )$ представляет собой однородную решетку в $G$. Неприводимая равномерная решетка в группе изометрий любого собственного геодезически полного $\mathrm {CAT} (0)$-пространство, не изометричное гиперболической плоскости и не содержащее евклидовых факторов, является локально жестким.

Доказательства теоремы

Оригинальное доказательство Вейля основано на связывании деформаций подгруппы $\Gamma$ в $G$ в первую когомологий группу $\Gamma$ с коэффициентами из алгебры Ли $G$, а затем показав, что эти когомологии исчезают для кокомпактных решеток, когда $G$ не имеет простого фактора абсолютного типа A1. Более геометрическое доказательство, которое также работает в некомпактных случаях, использует теорию Чарльза Эресмана (и Уильяма Терстона ). $(G,X)$ структуры.