Теория жесткости моста

В математике и , теорема Мостоу о жесткости , или сильная теорема жесткости , или теорема Мостоу-Прасада о жесткости , по сути, утверждает, что геометрия полного гиперболического многообразия конечного объема размерности больше двух определяется фундаментальной группой следовательно, уникальна. Теорема была доказана для замкнутых многообразий Мостоу 1968 ( Марденом ( 1974 ) и распространена на многообразия конечного объема ) в трех измерениях и Прасадом ( 1973 ) во всех измерениях не менее трех. Громов (1981) дал альтернативное доказательство, используя Громов норм . Бессон, Куртуа и Галло (1996) дали простейшее доступное доказательство.

Хотя теорема показывает, что пространство деформации (полных) гиперболических структур на конечном гиперболическом объеме $n$-коллектор (для $n>2$) — точка для гиперболической поверхности рода $g>1$ существует пространство модулей размерности $6g-6$ который параметризует все метрики постоянной кривизны (с точностью до диффеоморфизма ), что является важным фактом для теории Тейхмюллера . Существует также богатая теория пространств деформации гиперболических структур на многообразиях бесконечного объема в трех измерениях.

Теорема

Теорема может быть дана в геометрической формулировке (относящейся к полным многообразиям конечного объема) и в алгебраической формулировке (относящейся к решеткам в группах Ли ).

Геометрическая форма

Позволять $\mathbb {H} ^{n}$ быть $n$-мерное гиперболическое пространство . Полное гиперболическое многообразие можно определить как фактор $\mathbb {H} ^{n}$ группой изометрий, действующих свободно и правильно разрывно (это эквивалентно определению ее как риманова многообразия с секционной кривизной -1, которое является полным ). Он имеет конечный объем, если интеграл от формы объема конечен (что, например, имеет место, если она компактна). Теорему Мостоу о жесткости можно сформулировать как:

Предполагать $M$ и $N$ являются полными гиперболическими многообразиями конечного объема размерности $n\geq 3$. Если существует изоморфизм $f\colon \pi _{1}(M)\to \pi _{1}(N)$ то оно индуцировано единственной изометрией из $M$ к $N$.

Здесь $\pi _{1}(X)$ является фундаментальной группой многообразия $X$. Если $X$ — гиперболическое многообразие, полученное как фактор $\mathbb {H} ^{n}$ группой $\Gamma$ затем $\pi _{1}(X)\cong \Gamma$.

Эквивалентное утверждение состоит в том, что любая гомотопическая эквивалентность из $M$ к $N$ может быть гомотопирован к единственной изометрии. Доказательство фактически показывает, что если $N$ имеет большую размерность, чем $M$ тогда между ними не может быть гомотопической эквивалентности.

Алгебраическая форма

Группа изометрий гиперболического пространства $\mathbb {H} ^{n}$ можно отождествить с группой Ли $\mathrm {PO} (n,1)$ ( проективная ортогональная группа квадратичной формы сигнатуры $(n,1)$. Тогда следующее утверждение эквивалентно предыдущему.

Позволять $n\geq 3$ и $\Gamma$ и $\Lambda$ быть две решетки в $\mathrm {PO} (n,1)$ и предположим, что существует групповой изоморфизм $f\colon \Gamma \to \Lambda$. Затем $\Gamma$ и $\Lambda$ сопряжены в $\mathrm {PO} (n,1)$. То есть существует $g\in \mathrm {PO} (n,1)$ такой, что $\Lambda =g\Gamma g^{-1}$.

В целом

Жесткость Мостова справедлива (в ее геометрической формулировке) в более общем смысле для фундаментальных групп всех полных, конечного объема, неположительно кривых (без евклидовых факторов) локально симметричных пространств размерности не менее трех, или в ее алгебраической формулировке для всех решеток в простом Ли группы, не локально изоморфные $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$.

Приложения

Из теоремы о жесткости Мостова следует, что группа изометрий гиперболического n -многообразия M конечного объема (при n >2) конечна и изоморфна $\operatorname {Out} (\pi _{1}(M))$.

Жесткость Мостоу также использовалась Терстоном для доказательства уникальности представлений упаковки кругов в триангулированных плоских графах .

Следствием жесткости Мостоу, представляющим интерес для геометрической теории групп, является то, что существуют гиперболические группы , которые квазиизометричны , но не соизмеримы друг с другом.

См. также

• Сверхжесткость , более сильный результат для пространств более высокого ранга.
• Локальная жесткость — результат деформаций, которые не обязательно являются решетчатыми.

Ссылки

• Бессон, Жерар; Куртуа, Жиль; Галло, Сильвестр (1996), «Минимальная энтропия и теоремы жесткости Мостоу», Ergodic Theory and Dynamical Systems , 16 (4): 623–649, doi : 10.1017/S0143385700009019 , S2CID   122773907
• Громов, Майкл (1981), «Гиперболические многообразия (по Терстону и Йоргенсену)» , Семинар Бурбаки, Том. 1979/80 (PDF) , Конспекты лекций по математике, том. 842, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 40–53, doi : 10.1007/BFb0089927 , ISBN.  978-3-540-10292-2 , MR   0636516 , заархивировано из оригинала 10 января 2016 г.
• Марден, Альберт (1974), «Геометрия конечно порожденных клейниевых групп», Annals of Mathematics , Second Series, 99 (3): 383–462, doi : 10.2307/1971059 , ISSN   0003-486X , JSTOR   1971059 , MR   0349992 , Збл   0282.30014
• Мостоу, Г.Д. (1968), "Квазиконформные отображения в n -пространстве и жесткость гиперболических пространственных форм" , Опубл. Математика. IHÉS , 34 : 53–104, doi : 10.1007/bf02684590 , S2CID   55916797
• Мостоу, Г.Д. (1973), Сильная жесткость локально симметричных пространств , Анналы математических исследований, вып. 78, Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-08136-6 , МР   0385004
• Прасад, Гопал (1973), «Высокая жесткость решеток Q-ранга 1», Inventiones Mathematicae , 21 (4): 255–286, Bibcode : 1973InMat..21..255P , doi : 10.1007/BF01418789 , ISSN   0020-9910 , МР   0385005 , S2CID   55739204
• Спатцир, Р.Дж. (1995), «Гармонический анализ в теории жесткости», Петерсен, Карл Э.; Салама, Ибрагим А. (ред.), Эргодическая теория и ее связь с гармоническим анализом, Материалы Александрийской конференции 1993 г. , Cambridge University Press, стр. 153–205, ISBN  0-521-45999-0 . (Содержит обзор большого количества теорем жесткости, в том числе касающихся групп Ли, алгебраических групп и динамики потоков. Включает 230 ссылок.)
• Терстон, Уильям (1978–1981), Геометрия и топология трехмерных многообразий , конспект лекций в Принстоне . (Приводит два доказательства: одно похоже на оригинальное доказательство Мостова, а другое основано на норме Громова )