Проективная ортогональная группа

В проективной геометрии и линейной алгебре проективная ортогональная группа PO — это индуцированное действие ортогональной группы квадратичного пространства V = ( V , Q ) ^{[примечание 1]}на ассоциированном проективном пространстве P( V ). Явно проективная ортогональная группа - это факторгруппа

PO( V ) = O( V )/ZO( V ) = O( V )/{± I }

где O( V ) — ортогональная группа ( V ) и ZO( — они состоят из единицы и V)={± I} — подгруппа всех ортогональных скалярных преобразований V отражения через начало координат . Эти скаляры факторизованы, потому что они тривиально действуют в проективном пространстве и образуют ядро действия, а обозначение «Z» связано с тем, что скалярные преобразования являются центром ортогональной группы.

Проективная специальная ортогональная группа PSO определяется аналогично как индуцированное действие специальной ортогональной группы на соответствующее проективное пространство. Явно:

PSO( V ) = SO( V )/ZSO( V )

где SO( V ) — специальная ортогональная группа над V , а ZSO( V ) — подгруппа ортогональных скалярных преобразований с единичным определителем . Здесь ZSO является центром SO и тривиален в нечетном измерении, а в четном измерении равен {±1} - это различие между нечетным и четным происходит во всей структуре ортогональных групп. По аналогии с GL/SL и GO/SO проективную ортогональную группу иногда называют также проективной общей ортогональной группой и обозначают PGO.

Как и ортогональная группа, проективная ортогональная группа может быть определена над любым полем и с различными квадратичными формами, хотя, как и в случае с обычной ортогональной группой, основной упор делается на вещественную положительно определенную проективную ортогональную группу; другие поля подробно описаны в обобщениях ниже. Если не указано иное, в дальнейшем PO и PSO будут относиться к действительным положительно определенным группам.

Подобно группам спина и группам штифтов , которые являются покрытиями, а не факторами (специальных) ортогональных групп, проективные (специальные) ортогональные группы представляют интерес для (проективных) геометрических аналогов евклидовой геометрии, как родственные группы Ли , и в представлении теория .

Более того, (реальная положительно определенная) проективная ортогональная группа PO может быть определена как изометрии эллиптического пространства (в смысле эллиптической геометрии ), тогда как PSO может быть определена как сохраняющие ориентацию изометрии эллиптического пространства (когда пространство ориентируемый; в противном случае PSO = PO).

Структура [ править ]

Нечетные и четные размеры [ править ]

Структура PO существенно различается между нечетным и четным измерением, в основном потому, что в четном измерении отражение через начало координат сохраняет ориентацию, а в нечетном измерении оно меняет ориентацию ( $-I\in \operatorname {SO} (2k)$ но $-I\not \in \operatorname {SO} (2k+1)$ ). Это проявляется в том, что каждое нечетномерное вещественное проективное пространство ориентируемо, а всякое четномерное вещественное проективное пространство положительной размерности неориентируемо. На более абстрактном уровне алгебры Ли нечетных и четномерных проективных ортогональных групп образуют два разных семейства: $B_{k}={\mathfrak {so}}_{2k+1},D_{k}={\mathfrak {so}}_{2k}.$

Таким образом, O(2 k +1) = SO(2 k +1) × {± I }, ^{[заметка 2]} пока $\operatorname {O} (2k)\neq \operatorname {SO} (2k)\times \{\pm I\}$ и вместо этого является нетривиальным центральным расширением PO(2 k ).

Помните, что PO(2 k +1) является изометрией R P ^{22 тыс.} = Р( Р ^{2к + 1}), а PO(2 k ) — изометрии R P ^{2k −1} = Р( Р ^{22 тыс.}) – нечетномерная (векторная) группа является изометрией четномерного проективного пространства, а четномерная (векторная) группа – изометрией нечетномерного проективного пространства.

В нечетном измерении, $\operatorname {SO} (2k+1)\cong \operatorname {PSO} (2k+1)=\operatorname {PO} (2k+1),$ ^{[заметка 3]} поэтому группу проективных изометрий можно отождествить с группой вращательных изометрий.

В четном измерении SO(2 k ) → PSO(2 k ) и O(2 k ) → PO(2 k ) являются покрытиями 2 к 1, а PSO(2 k ) < PO(2 k ) является индекс 2 подгруппы.

Общие свойства [ править ]

PSO и PO бесцентровые , как и PSL и PGL; это связано с тем, что скалярные матрицы являются не только центром SO и O, но и гиперцентром (частное по центру не всегда дает бесцентровую группу).

PSO — максимальная компактная подгруппа в проективной специальной линейной группе PSL, а PO — максимальная компактная в проективной общей линейной группе PGL. Это аналогично тому, что SO является максимальным компактом в SL, а O — максимальным компактом в GL.

Теория представлений [ править ]

PO представляет основной интерес в теории представлений: групповой гомоморфизм G → PGL называется проективным представлением G , точно так же, как отображение G → GL называется линейным представлением G , и так же , как любое линейное представление может быть сведено к отображению G → O (путем взятия инвариантного скалярного произведения) любое проективное представление можно свести к отображению G → PO.

См. разделе «Проективная линейная группа: теория представлений» дальнейшее обсуждение в .

Подгруппы [ править ]

Подгруппы проективной ортогональной группы соответствуют подгруппам ортогональной группы, которые содержат − I (имеют центральную симметрию ). Как всегда в случае фактор-отображения (по теореме о решетке ), существует связь Галуа между подгруппами O и PO, где присоединение к O (задаваемое путем взятия образа в PO, а затем прообраза в O) просто добавляет — I , если отсутствующий.

Особый интерес представляют дискретные подгруппы, которые могут быть реализованы как симметрии проективных многогранников – они соответствуют (дискретным) точечным группам, которые включают центральную симметрию. Сравните с дискретными подгруппами группы Spin , особенно с 3-мерным случаем бинарных многогранных групп .

Например, в трех измерениях 4 из 5 платоновых тел имеют центральную симметрию (куб/октаэдр, додекаэдр/икосаэдр), а тетраэдр - нет, однако звездчатый октаэдр имеет центральную симметрию, хотя результирующая группа симметрии такая же, как и у куба/октаэдра.

Топология [ править ]

PO и PSO, как бесцентровые топологические группы, находятся внизу последовательности покрывающих групп , вершинами которых являются ( односвязные ) группы Pin или группа Spin соответственно:

Pin _±( n ) → O( n ) → PO( n ).

Спин( n ) → SO( n ) → PSO( n ).

Все эти группы являются компактными вещественными формами одной и той же алгебры Ли.

Все это покрытия 2 к 1, за исключением SO(2 k +1) → PSO(2 k +1), которое является покрытием 1 к 1 (изоморфизм).

Гомотопические группы [ править ]

Гомотопические группы выше $\pi _{1}$ не меняются под покровами, поэтому они согласуются с таковыми ортогональной группы. Нижние гомотопические группы задаются следующим образом.

\pi _{0}(\operatorname {PSO} )\cong 1

\pi _{0}(\operatorname {PO} (2k))\cong \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,\pi _{0}(\operatorname {PO} (2k+1))\cong 1.

Фундаментальная группа (бесцентровой) PSO( n ) равна центру (односвязной) Spin( n ), что всегда верно в отношении покрывающих групп:

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (n))=\pi _{1}(\operatorname {PO} (n))=\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n)).

Использование таблицы центров спиновых групп дает (для $k\geq 1$ ):

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k+2))=\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (2k+1))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (2k+1))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,

В малых размерах:

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (1))=1,

поскольку группа тривиальна.

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (2))=\mathbf {Z} ,

поскольку топологически это круг, хотя обратите внимание, что прообраз идентичности в Spin(2) равен

\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,

что касается других

4k+2.

Группы гомологии [ править ]

Пакеты [ править ]

Так же, как ортогональная группа является структурной группой векторных расслоений , проективная ортогональная группа является структурной группой проективных расслоений , а соответствующее классифицирующее пространство обозначается BPO.

Обобщения [ править ]

Как и ортогональную группу, проективную ортогональную группу можно обобщить двумя основными способами: изменением поля или изменением квадратичной формы. Помимо действительных чисел, основной интерес представляют комплексные числа или конечные поля, в то время как (над действительными числами) квадратичные формы также могут быть неопределенными формами и обозначаются PO( p , q ) по их сигнатуре.

Комплексную проективную ортогональную группу PO( n , C ) не следует путать с проективной унитарной группой PU( n ): PO сохраняет симметричную форму, а PU сохраняет эрмитову форму - PU - это симметрии комплексного проективного пространства (сохраняющего метрика Фубини –Стюди ).

В полях характеристики 2 возникают дополнительные сложности: квадратичные формы и симметричные билинейные формы больше не эквивалентны, I = − I , и определитель необходимо заменить инвариантом Диксона .

Конечные поля [ править ]

Проективная ортогональная группа над конечным полем используется при построении семейства конечных простых групп — лиева типа групп Шевалле типа _Dn . Ортогональная группа над конечным полем O( n , q ) не является простой, поскольку она имеет SO в качестве подгруппы и нетривиальный центр ({± I }) (следовательно, PO в качестве фактора). Оба они фиксируются переходом к PSO, но сам PSO, вообще говоря, не прост, и вместо этого необходимо использовать подгруппу (которая может иметь индекс 1 или 2), определенную спинорной нормой (в нечетной характеристике) или квазидетерминантом ( в четной характеристике). ^[1] Квазидетерминант можно определить как (−1) ^Д, где D — инвариант Диксона (это определитель, определяемый инвариантом Диксона), или в терминах размерности фиксированного пространства.

Примечания [ править ]

^ Квадратичное пространство — это векторное пространство V вместе с квадратичной формой Q ; Q . исключается из обозначений, когда это ясно
^ Этот продукт представляет собой внутреннюю прямую сумму — продукт подгрупп, а не просто абстрактную внешнюю прямую сумму .
^ / Различие изоморфизма равенства в этом уравнении заключается в том, что контекст представляет собой коэффициентное отображение 2 к 1 O → PO – PSO(2 k +1) и PO(2 k +1) являются равными подмножествами цели (а именно, все пространство), следовательно, равенство, в то время как индуцированное отображение SO → PSO является изоморфизмом, но эти две группы являются подмножествами разных пространств, следовательно, изоморфизм, а не равенство. См. ( Conway & Smith 2003 , стр. 34 ) пример такого различия.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ АТЛАС , с. xi

Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек Алан (07 февраля 2003 г.), «3.7 Проективные или эллиптические группы», О кватернионах и октонионах , AK Peters, Ltd., стр. 34 , ISBN 978-1-56881-134-5
Конвей, Дж. Х.; Кертис, RT; Нортон, СП; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А. «Группы GO _n ( q ), SO _n ( q ), PGO _n ( q ) и PSO _n ( q ) и O _n ( q )». §2.4 в Атласе конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры простых групп. Оксфорд, Англия: Clarendon Press, стр. xi–xii, 1985.

Внешние ссылки [ править ]

[1] Квадратичное пространство — это векторное пространство V вместе с квадратичной формой Q ; Q . исключается из обозначений, когда это ясно

[2] Этот продукт представляет собой внутреннюю прямую сумму — продукт подгрупп, а не просто абстрактную внешнюю прямую сумму .

[3] / Различие изоморфизма равенства в этом уравнении заключается в том, что контекст представляет собой коэффициентное отображение 2 к 1 O → PO – PSO(2 k +1) и PO(2 k +1) являются равными подмножествами цели (а именно, все пространство), следовательно, равенство, в то время как индуцированное отображение SO → PSO является изоморфизмом, но эти две группы являются подмножествами разных пространств, следовательно, изоморфизм, а не равенство. См. ( Conway & Smith 2003 , стр. 34 ) пример такого различия.

[4] АТЛАС , с. xi

[примечание 1]

[заметка 2]

[заметка 3]

[1]