Проективная линейная группа

«Проективная группа» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Проективная группа (значения) .

Связь между проективной специальной линейной группой PSL и проективной общей линейной группой PGL; каждая строка и столбец представляют собой короткую точную последовательность . Набор ( Ф ^* ) ^н вот набор n- х степеней мультипликативной группы F .

В математике , особенно в теоретико-групповой области алгебры , проективная линейная группа (также известная как проективная общая линейная группа или PGL) — это индуцированное действие общей линейной группы векторного пространства V на ассоциированное проективное пространство P( V ). Явно проективная линейная группа - это факторгруппа

PGL( V ) = GL( V ) / Z( V )

где GL( V ) — линейная группа V , а Z( V ) — подгруппа всех ненулевых скалярных преобразований V общая ; они факторизованы, поскольку действуют тривиально в проективном пространстве и образуют ядро ​​действия, а обозначение «Z» отражает то, что скалярные преобразования образуют центр общей линейной группы.

Проективная специальная линейная группа PSL определяется аналогично как индуцированное действие специальной линейной группы на ассоциированное проективное пространство. Явно:

PSL( V ) = SL( V ) / SZ( V )

где SL( V ) — специальная линейная группа над V , а SZ( V ) — подгруппа скалярных преобразований с единичным определителем . Здесь SZ — центр SL и естественным образом отождествляется с группой корней n-й степени из единицы в F (где n — размерность V , а F — базовое поле ).

PGL и PSL являются одними из фундаментальных групп исследования, частью так называемых классических групп , а элемент PGL называется проективным линейным преобразованием , проективным преобразованием или гомографией . Если V — n -мерное векторное пространство над полем F , а именно V = F ^н альтернативные обозначения PGL( n , F ) и PSL( n , F ) , также используются .

Обратите внимание, что PGL( n , F ) и PSL( , F ) изоморфны тогда F и только тогда, когда каждый элемент F имеет корень n-й степени в n . В качестве примера обратите внимание, что PGL(2, C ) = PSL(2, C ) , но PGL(2, R ) > PSL(2, R ) ; это соответствует тому, что реальная проективная линия является ориентируемой, а проективная специальная линейная группа представляет собой только преобразования, сохраняющие ориентацию.

PGL и PSL также могут быть определены над кольцом , важным примером является модульная группа PSL (2, Z ) .

Имя

Название происходит от проективной геометрии , где проективная группа, действующая на однородные координаты ( x ₀ : x ₁ : ... : x _n ), является основной группой геометрии. Другими словами, естественное действие GL( V ) на V сводится к действию PGL( V ) на проективное пространство P ( V ).

Таким образом, проективные линейные группы обобщают случай PGL(2, C ) преобразований Мёбиуса (иногда называемых группой Мёбиуса ), который действует на проективной прямой .

Обратите внимание, что в отличие от общей линейной группы, которая обычно аксиоматически определяется как «обратимые функции, сохраняющие структуру линейного (векторного пространства)», проективная линейная группа определяется конструктивно, как фактор общей линейной группы соответствующего векторного пространства, а не как фактор общей линейной группы соответствующего векторного пространства. чем аксиоматически как «обратимые функции, сохраняющие проективную линейную структуру». Это отражено в обозначениях: PGL( n , F ) — группа, связанная с GL( n , F ) , и является проективной линейной группой ( n − 1) -мерного проективного пространства, а не n -мерного проективного пространства.

Коллинеации

Основная статья: Коллинеация

Родственной группой является группа коллинеации , которая определяется аксиоматически. Коллинеация — это обратимое (или, в более общем смысле, взаимно-однозначное) отображение, которое переносит коллинеарные точки в коллинеарные точки. Можно аксиоматически определить проективное пространство в терминах структуры инцидентности (набор точек P , линий L и отношения инцидентности I, определяющего, какие точки лежат на каких прямых), удовлетворяющих определенным аксиомам - автоморфизм проективного пространства, определенный таким образом, тогда является автоморфизм f множества точек и автоморфизм g множества прямых, сохраняющий отношение инцидентности, что в точности является коллинеацией пространства самому себе. Проективные линейные преобразования представляют собой коллинеации (плоскости в векторном пространстве соответствуют линиям в соответствующем проективном пространстве, а линейные преобразования отображают плоскости в плоскости, поэтому проективные линейные преобразования отображают линии в линии), но в целом не все коллинеации являются проективными линейными преобразованиями - PGL вообще говоря, является собственной подгруппой группы коллинеации.

В частности, для n = 2 (проективная прямая) все точки коллинеарны, поэтому группа коллинеации представляет собой в точности симметричную группу точек проективной прямой, за исключением F ₂ и F ₃ (где PGL — полная симметрическая группа ), PGL — собственная подгруппа полной симметрической группы в этих точках.

При n ≥ 3 группой коллинеации является проективная полулинейная группа , PΓL – это PGL, скрученная полевыми автоморфизмами ; формально PΓL ≅ PGL ⋊ Gal( K / k ) , где k — простое поле для K ; это основная теорема проективной геометрии . Таким образом, для K — простое поле ( F _p или Q ), мы имеем PGL = PΓL , но для K — поле с нетривиальными автоморфизмами Галуа (такими как F _{p ^н} для n ≥ 2 или C ) проективная линейная группа является собственной подгруппой группы коллинеации, которую можно рассматривать как «преобразования, сохраняющие проективную полулинейную структуру». Соответственно, факторгруппа PΓL/PGL = Gal( K / k ) соответствует «выбору линейной структуры», при этом единица (базовая точка) является существующей линейной структурой.

Можно также определить группы коллинеации для аксиоматически определенных проективных пространств, где нет естественного понятия проективного линейного преобразования. Однако, за исключением недезарговых плоскостей , все проективные пространства представляют собой проективизацию линейного пространства над телом , хотя, как отмечалось выше, существует несколько вариантов линейной структуры, а именно торсор над Gal( K / k ) (при n ≥ 3 ).

Элементы

Элементы проективной линейной группы можно понимать как «наклоняющие плоскость» по одной из осей, а затем проецирующие на исходную плоскость, а также имеют размерность n .

Вращение вокруг осей z вращает проективную плоскость, а проективизация вращения вокруг линий, параллельных осям x или y , приводит к проективному вращению плоскости.

Более знакомый геометрический способ понять проективные преобразования — это проективные вращения (элементы PSO( n + 1) ), которые соответствуют стереографической проекции вращений единичной гиперсферы и имеют размерность. $\textstyle {1+2+\cdots +n={\binom {n+1}{2}}}$. Визуально это соответствует тому, что вы стоите в начале координат (или помещаете камеру в начало координат) и поворачиваете угол зрения, а затем проецируете на плоскую плоскость. Вращения в осях, перпендикулярных гиперплоскости, сохраняют гиперплоскость и приводят к повороту гиперплоскости (элементу SO( n ), имеющему размерность $\textstyle {1+2+\cdots +(n-1)={\binom {n}{2}}}$.), тогда как вращения в осях, параллельных гиперплоскости, являются собственными проективными отображениями и учитывают оставшиеся n измерений.

Свойства

• PGL отправляет коллинеарные точки в коллинеарные точки (он сохраняет проективные линии), но это не полная группа коллинеации , которая вместо этого является либо PΓL (для n > 2 ), либо полной симметричной группой для n = 2 (проективная линия).
• Любой ( бирегулярный ) алгебраический автоморфизм проективного пространства проективно линеен. Бирациональные автоморфизмы образуют большую группу — группу Кремоны .
• PGL точно действует в проективном пространстве: нетождественные элементы действуют нетривиально.
  Конкретно, ядром действия GL на проективное пространство являются именно скалярные отображения, факторизованные в PGL.
• PGL действует 2-транзитивно в проективном пространстве.
  Это связано с тем, что 2 различные точки в проективном пространстве соответствуют 2 векторам, которые не лежат в одном линейном пространстве и, следовательно, являются линейно независимыми , а GL действует транзитивно на k -элементов линейно независимых векторов. наборах
• PGL(2, K ) действует резко 3-транзитивно на проективной прямой.
  Три произвольные точки традиционно отображаются в [0, 1], [1, 1], [1, 0]; в альтернативных обозначениях 0, 1, ∞. В обозначениях дробного линейного преобразования функция Икс - а / Икс - с ⋅ b - c / b - a отображает a ↦ 0 , b ↦ 1 , c ↦ ∞ и является единственным таким отображением, которое делает это. Это перекрестное соотношение ( x , b ; a , c ) – см. в разделе «Перекрестное соотношение § Трансформационный подход» . подробности
• Для n ≥ 3 PGL ( n , K ) не действует 3-транзитивно, поскольку он должен отправлять 3 коллинеарные точки в 3 другие коллинеарные точки, а не в произвольный набор. При n = 2 пространство представляет собой проективную прямую, поэтому все точки лежат на одной прямой, и это не является ограничением.
• PGL(2, K ) не действует 4-транзитивно на проективной прямой (за исключением PGL(2, 3) , поскольку P ¹ (3) имеет 3 + 1 = 4 точки, поэтому из 3-транзитивности следует 4-транзитивность; сохраняемый инвариант — это перекрестное отношение , и оно определяет, куда отправляется каждая вторая точка: указание того, где отображаются 3 точки, определяет карту. Таким образом, в частности, это не полная группа коллинеации проективной прямой (за исключением F ₂ и F ₃ ).
• PSL(2, q ) и PGL(2, q ) (для q > 2 и q нечетно для PSL) — два из четырех семейств групп Цассенхауза .
• PGL( n , K ) — алгебраическая группа размерности n ² − 1 и открытая подгруппа проективного пространства P ^{н 2 −1} . Как определено, функтор PSL( n , K ) не определяет алгебраическую группу или даже пучок fppf, и его расслоение в топологии fppf фактически является PGL( n , K ) .
• PSL и PGL бесцентровые – это потому, что диагональные матрицы являются не только центром, но и гиперцентром (частное группы по ее центру не обязательно бесцентрово).

Дробные линейные преобразования

Дополнительная информация: преобразование Мёбиуса § Представления проективной матрицы.

Что касается преобразований Мёбиуса , то группу PGL(2, K ) можно интерпретировать как дробно-линейные преобразования коэффициентами из K. с Точки проективной прямой над K соответствуют парам из K ² , причем две пары эквивалентны, когда они пропорциональны. Когда вторая координата не равна нулю, точка может быть представлена ​​как [ z , 1] . Тогда, когда ad − bc ≠ 0 , действие PGL(2, K ) осуществляется посредством линейного преобразования:

$[z,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [az+b,\ cz+d]\ =\ \left[{\frac {az+b}{cz+d}},\ 1\right].$

Таким образом, последовательные преобразования могут быть записаны как умножение справа на такие матрицы, а умножение матриц можно использовать для группового произведения в PGL(2, K ) .

Конечные поля

Проективные специальные линейные группы PSL( n , F _q ) для конечного поля F _q часто записываются как PSL( n , q ) или L _n ( q ). Они являются конечными простыми группами , если n не менее 2, за двумя исключениями: L ₂ (2), которая изоморфна S ₃ , симметрической группе из трех букв, и разрешима ; и L ₂ (3), которая изоморфна A ₄ , знакопеременной группе из 4 букв, и также разрешима. Эти исключительные изоморфизмы можно понимать как возникающие в результате действия на проективной прямой .

специальные линейные группы SL( n , q ) Таким образом, квазипросты : совершенные центральные расширения простой группы (если только n = 2 и q = 2 или 3).

История

Группы PSL(2, p ) для любого простого числа p были построены Эваристом Галуа в 1830-х годах и были вторым семейством конечных простых групп после знакопеременных групп . Галуа сконструировал их как дробные линейные преобразования и заметил, что они были простыми, за исключением случаев, когда p было равно 2 или 3; это содержится в его последнем письме к Шевалье. В том же письме и прилагаемых рукописях Галуа также построил общую линейную группу над простым полем GL ( ν , p ) при изучении группы Галуа общего уравнения степени p. ^н .

Группы PSL( n , q ) (общее n , общее конечное поле) для любой простой степени q были затем построены в классическом тексте 1870 года Камиллой Жорданом « Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» .

Заказать

Порядок PGL( n , q ) равен

( q ^н − 1)( q ^н - q )( q ^н − q ² ) ⋅⋅⋅ ( q ^н − q ^{п -1} )/( q − 1) = q ^{н 2 −1} − О( q ^{н 2 −3} ),

что соответствует порядку GL( n , q ) , разделенному на q - 1 для проективизации; см. q -analog для обсуждения таких формул. Обратите внимание, что степень равна n ² − 1 , что соответствует размерности алгебраической группы. «O» означает большое обозначение O , что означает «члены низшего порядка». Это также соответствует порядку SL( n , q ) ; там деление на q - 1 происходит из-за определителя.

Порядок PSL( n , q ) — это порядок PGL( n , q ) , как указано выше, разделенный на gcd( n , q − 1) . Это равно | СЗ( п , q ) | , количество скалярных матриц с определителем 1; | Ф ^× / ( Ф ^× ) ^н |, количество классов элемента, не имеющих n-й корня степени; а также количество корней n-й степени из единицы в F _q .

Исключительные изоморфизмы

Помимо изоморфизмов

L ₂ (2) ≅ S ₃ , L ₂ (3) ≅ A ₄ и PGL(2, 3) ≅ S ₄ ,

существуют и другие исключительные изоморфизмы между проективными специальными линейными группами и знакопеременными группами (все эти группы просты, поскольку знакопеременная группа из 5 или более букв проста):

Л ₂ (4) ≅ А ₅

L ₂ (5) ≅ A ₅ ( см. в § Действие на p точках ) доказательство

Л ₂ (9) ≅ А ₆

Л ₄ (2) ≅ А ₈

Изоморфизм L ₂ (9) ≅ A ₆ позволяет увидеть экзотический внешний автоморфизм A ₆ в терминах полевого автоморфизма и матричных операций. Изоморфизм L ₄ (2) ≅ A ₈ представляет интерес в строении группы Матье M ₂₄ .

Соответствующие расширения SL( n , q ) → PSL( n , q ) являются накрывающими группами знакопеременных групп ( универсальными совершенными центральными расширениями ) для A ₄ , A ₅ в силу единственности универсального совершенного центрального расширения; для L ₂ (9) ≅ A ₆ ассоциированное расширение является совершенным центральным расширением, но не универсальным: существует 3-кратная накрывающая группа .

Группы над F5 _: обладают рядом исключительных изоморфизмов

PSL(2, 5) ≅ A ₅ ≅ I , чередующаяся группа из пяти элементов или, что то же самое, икосаэдрическая группа ;

PGL(2, 5) ≅ S ₅ , симметрическая группа из пяти элементов;

SL(2, 5) ≅ 2 ⋅ A ₅ ≅ 2 I — двойное накрытие знакопеременной группы A ₅ или, что то же самое, бинарная группа икосаэдра .

Их также можно использовать для построения экзотического отображения S ₅ → S ₆ , как описано ниже. Однако заметим, что GL(2, 5) не является двойным покрытием S ₅ , а скорее 4-кратным покрытием.

Дальнейший изоморфизм:

L ₂ (7) ≅ L ₃ (2) — простая группа порядка 168, вторая по величине неабелева простая группа и не является знакопеременной группой; см . PSL(2, 7) .

Вышеупомянутые исключительные изоморфизмы, включающие проективные специальные линейные группы, представляют собой почти все исключительные изоморфизмы между семействами конечных простых групп; единственный другой исключительный изоморфизм - это PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3) между проективной специальной унитарной группой и проективной симплектической группой .

Действие на проективную линию

Некоторые из приведенных выше отображений можно рассматривать непосредственно с точки зрения действия PSL и PGL на связанную проективную прямую: PGL( n , q ) действует на проективное пространство P ^{п -1} ( q ), который имеет ( q ^н − 1)/( q − 1) точек, что дает отображение проективной линейной группы в симметрическую группу на ( q ^н − 1)/( q − 1) баллов. Для n = 2 это проективная прямая P ¹ ( q ) который имеет ( q ² − 1)/( q − 1) = q + 1 точек, поэтому существует отображение PGL(2, q ) → S _{q +1} .

Чтобы понять эти карты, полезно вспомнить следующие факты:

• Порядок PGL(2, q ) равен

  ( q ² − 1)( q ² - q )/( q - 1) = q ³ − q = ( q − 1) q ( q + 1);

порядок PSL(2, q ) либо равен этому (если характеристика равна 2), либо вдвое меньше (если характеристика не равна 2).

• Действие проективной линейной группы на проективной прямой является точно 3-транзитивным ( точным и 3- транзитивным ), поэтому отображение взаимно однозначно и имеет образ 3-транзитивной подгруппы.

Таким образом, изображение представляет собой 3-транзитивную подгруппу известного порядка, что позволяет его идентифицировать. В результате получаются следующие карты:

• PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S ₃ порядка 6, что является изоморфизмом.
  • Обратное отображение (проективное представление S ₃ ) может быть реализовано ангармонической группой и, в более общем смысле, дает вложение S ₃ → PGL(2, q ) для всех полей.
• PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S ₄ порядков 12 и 24, последний из которых является изоморфизмом, причем PSL(2, 3) является знакопеременной группой.
  • Ангармоническая группа дает частичное отображение в противоположном направлении, отображая S ₃ → PGL(2, 3) как стабилизатор точки −1.
• PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S ₅ порядка 60, что дает знакопеременную группу A ₅ .
• PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S ₆ порядков 60 и 120, что дает вложение S ₅ (соответственно A ₅ ) как транзитивную подгруппу S ₆ (соответственно A ₆ ). Это пример экзотического отображения S5 _{и его} → S6 _, можно использовать для построения исключительного внешнего автоморфизма _S6 . Обратите внимание, что изоморфизм PGL(2, 5) ≅ S ₅ не очевиден из этого представления: не существует особенно естественного набора из 5 элементов, на котором действует PGL(2, 5) .

Действия по p- очкам

Хотя PSL( n , q ) естественным образом действует на ( q ^н − 1)/( q − 1) = 1 + q + ... + q ^{п -1} точек, нетривиальные действия на меньшем количестве точек встречаются реже. Действительно, PSL(2, p ) действует нетривиально на p точках тогда и только тогда, когда p = 2 , 3, 5, 7 или 11; для 2 и 3 группа не является простой, а для 5, 7 и 11 группа проста - более того, она не действует нетривиально менее чем на p точках. Впервые это заметил Эварист Галуа в своем последнем письме Шевалье в 1832 году.

Это можно проанализировать следующим образом; заметим, что для 2 и 3 действие неточно (это нетривиальный фактор и группа PSL не проста), а для 5, 7 и 11 действие точное (поскольку группа проста и действие нетривиален) и дает вложение в _Sp . Во всех случаях, кроме последнего, PSL(2, 11) он соответствует исключительному изоморфизму, где самая правая группа имеет очевидное действие на p точках:

• L2 _≅ (2) _S3 $\twoheadrightarrow$ S ₂ по карте знаков;
• Л ₂ (3) ≅ А ₄ $\twoheadrightarrow$ A ₃ ≅ C ₃ через фактор по 4-группе Клейна;
• Л ₂ (5) ≅ А ₅ . Чтобы построить такой изоморфизм, нужно рассматривать группу L ₂ (5) как группу Галуа накрытия Галуа a ₅ : X (5) → X (1) = P ¹ , где X ( N ) — кривая уровня N. модулярная Эта оболочка разветвлена ​​в 12 точках. Модулярная кривая X(5) имеет род 0 и изоморфна сфере над полем комплексных чисел, и тогда действие L ₂ (5) на эти 12 точек становится группой симметрии икосаэдра . Затем необходимо рассмотреть действие группы симметрии икосаэдра на пять связанных с ним тетраэдров .
• L ₂ (7) ≅ L ₃ (2), действующий на 1 + 2 + 4 = 7 точках плоскости Фано (проективной плоскости над F ₂ ); это также можно рассматривать как действие на биплоскости 2-го порядка , которая является дополнительной плоскостью Фано.
• L ₂ (11) более тонкий и подробно описан ниже; он действует на биплане порядка 3.

Далее, L ₂ (7) и L ₂ (11) имеют два неэквивалентных действия на p точках; геометрически это реализуется действием на биплоскость, имеющую p точек и p блоков – действие на точки и действие на блоки являются действиями на p точек, но не сопряженными (у них разные стабилизаторы точек); вместо этого они связаны внешним автоморфизмом группы.

Совсем недавно эти три последних исключительных действия были интерпретированы как пример классификации ADE : эти действия соответствуют произведениям (как множества, а не как группы) групп A ₄ × Z /5 Z , S ₄ × Z /7 Z и A ₅ × Z /11 Z , где группы A ₄ , S ₄ и A ₅ являются группами изометрии Платоновых тел и соответствуют E ₆ , E ₇ и E ₈ в соответствии с соответствием Маккея . Эти три исключительных случая также реализуются как геометрии многогранников (эквивалентно мозаики римановых поверхностей ) соответственно: соединение пяти тетраэдров внутри икосаэдра (сфера, род 0), биплоскость 2-го порядка (дополнительная плоскость Фано ) внутри Клейна квартика (род 3) и биплан 3-го порядка ( биплоскость Пэли ) внутри поверхности бакибола (род 70).

Действие L ₂ (11) можно рассматривать алгебраически как обусловленное исключительным включением L ₂ (5) $\hookrightarrow$ L ₂ (11) – существуют два класса сопряженности подгрупп группы L ₂ (11), изоморфных L ₂ (5), каждый из которых имеет 11 элементов: действие L ₂ (11) сопряжением на них является действием на 11 точек, причем два класса сопряженности связаны внешним автоморфизмом L ₂ (11). (То же самое верно для подгрупп L ₂ (7), изоморфных S ₄ , и это также имеет биплоскую геометрию.)

Геометрически это действие можно понять через геометрию биплоскости , которая определяется следующим образом. Бипланная геометрия — это симметричная конструкция (набор точек и равное количество «линий», или, скорее, блоков), при которой любой набор из двух точек содержится в двух линиях, а любые две линии пересекаются в двух точках; это похоже на конечную проективную плоскость, за исключением того, что вместо двух точек, определяющих одну линию (и двух линий, определяющих одну точку), они определяют две линии (соответственно точки). В этом случае ( биплоскость Пэли , полученная из орграфа Пэли порядка 11) точки представляют собой аффинную линию (конечное поле) F ₁₁ , где первая линия определяется как пять ненулевых квадратичных вычетов (точек, которые являются квадратами: 1, 3, 4, 5, 9), а остальные линии являются аффинными переводами этого числа (добавьте константу ко всем точкам). Тогда L ₂ (11) изоморфна подгруппе S ₁₁ , которая сохраняет эту геометрию (переводит линии в линии), давая набор из 11 точек, на которые она действует – фактически две: точки или линии, которые соответствуют внешний автоморфизм – в то время как L ₂ (5) — стабилизатор данной прямой или двойственной данной точки.

Еще более удивительно то, что смежное пространство L ₂ (11) / ( Z / 11 Z ), имеющее порядок 660/11 = 60 (и на котором действует икосаэдрическая группа), естественным образом имеет структуру бакейбола , которая используется в конструкции поверхности бакибола .

Группы Матье

Дополнительная информация: Группа Матье.

Группу PSL(3, 4) можно использовать для построения группы Матье M ₂₄ , одной из спорадических простых групп ; в этом контексте PSL(3, 4) называют M ₂₁ , хотя она сама по себе не является группой Матье. Начинается с проективной плоскости над полем с четырьмя элементами, которая представляет собой систему Штейнера типа S (2, 5, 21) - это означает, что она имеет 21 точку, каждая линия («блок», в терминологии Штейнера) имеет 5 точек. , и любые 2 точки определяют линию – и на которую действует PSL(3, 4) . Эту систему Штейнера называют W ₂₁ («W» для Витта ), а затем расширяют ее до более крупной системы Штейнера W ₂₄ , попутно расширяя группу симметрии: до проективной общей линейной группы PGL(3, 4) , затем до проективная полулинейная группа PΓL(3, 4) и, наконец, группа Матье M ₂₄ .

M ₂₄ также содержит копии PSL(2, 11) , который является максимальным в M ₂₂ , и PSL(2, 23) , который является максимальным в M ₂₄ и может использоваться для построения M ₂₄ .

Поверхности Гурвица

Некоторые группы PSL возникают как группы автоморфизмов поверхностей Гурвица, т. е. как факторы группы треугольников (2,3,7) , которая является симметрией биссектрисы семиугольной мозаики третьего порядка .

Дополнительная информация: поверхность Гурвица.

Группы PSL возникают как группы Гурвица (группы автоморфизмов поверхностей Гурвица – алгебраических кривых максимально возможной группы симметрии). Поверхность Гурвица наименьшего рода, квартика Клейна (род 3), имеет группу автоморфизмов, изоморфную PSL(2, 7) (эквивалентно GL(3, 2) ), тогда как поверхность Гурвица второго наименьшего рода, поверхность Макбита ( род 7), имеет группу автоморфизмов, изоморфную PSL(2, 8) .

Фактически, многие, но не все простые группы возникают как группы Гурвица (включая группу-монстр , но не все чередующиеся группы или спорадические группы), хотя PSL примечателен тем, что включает в себя самые маленькие такие группы.

Модульная группа

Основная статья: Модульная группа

Группы PSL(2, Z / n Z ) возникают при изучении группы модулярной PSL(2, Z ) как факторы путем приведения всех элементов по mod n ; ядра называются главными конгруэнтными подгруппами .

Примечательной подгруппой проективной общей линейной группы PGL(2, Z ) (и проективной специальной линейной группы PSL(2, Z [ i ]) ) являются симметрии множества {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( С ) которая известна как ангармоническая группа и возникает как симметрия шести двойных отношений . Подгруппа может быть выражена в виде дробных линейных преобразований или представлена ​​(неоднозначно) матрицами, как:

$x$	$1/(1-x)$	$(x-1)/x$
${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}0&1\\-1&1\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1&-1\\1&0\end{pmatrix}}$
$1/x$	$1-x$	$x/(x-1)$
${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}-1&1\\0&1\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}1&0\\1&-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}-i&i\\0&i\end{pmatrix}}$	${\begin{pmatrix}i&0\\i&-i\end{pmatrix}}$

Обратите внимание, что верхняя строка представляет собой единицу и два 3-цикла и сохраняет ориентацию, образуя подгруппу в PSL(2, Z ) , а нижняя строка представляет собой три 2-цикла и находится в PGL(2, Z ) . Z ) и PSL(2, Z [ i ]) , но не в PSL(2, Z ) и, следовательно, реализуются либо как матрицы с определителем −1 и целыми коэффициентами, либо как матрицы с определителем 1 и гауссовыми целыми коэффициентами.

Это отображается в симметрии {0, 1, ∞} ⊂ P ¹ ( n ) при сокращении по модулю n . Примечательно, что при n = 2 эта подгруппа изоморфно отображается в PGL(2, Z /2 Z ) = PSL(2, Z /2 Z ) ≅ _S3 , и, таким образом, обеспечивает расщепление PGL(2, Z / 2 Z ) $\hookrightarrow$ PGL(2, Z ) для фактор-отображения PGL(2, Z ) $\twoheadrightarrow$ PGL(2, Z /2 Z ) .

Подгруппы стабилизатора {0, 1, ∞} дополнительно стабилизируют точки {−1, 1/2, 2} и { ζ ₋ , ζ ₊ }.

Неподвижные точки обоих трехциклов представляют собой «наиболее симметричные» перекрестные отношения, $e^{\pm i\pi /3}={\tfrac {1}{2}}\pm {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i$, решения x ² − x + 1 ( примитивные корни шестой степени из единицы ). 2-циклы меняют их местами, как и любые точки, отличные от их неподвижных точек, что реализует фактор-отображение S ₃ → S ₂ посредством группового действия на этих двух точках. То есть подгруппа C ₃ < S ₃ , состоящая из единицы и 3-циклов {(), (0 1 ∞), (0 ∞ 1)} , фиксирует эти две точки, а остальные элементы меняют их местами.

Неподвижными точками отдельных 2-циклов являются соответственно -1, 1/2, 2, и этот набор также сохраняется и переставляется 3-циклами. Это соответствует действию S3 _на 2-циклы (его -подгруппы ) путем сопряжения и реализует изоморфизм с группой внутренних автоморфизмов S3 ~ _Inn → силовские 2 (S3 ₎ ≅ _S3 .

Геометрически это можно представить как группу вращения треугольной бипирамиды , которая изоморфна группе диэдра треугольника D ₃ ≅ S ₃ ; см. ангармоническую группу .

Топология

По действительным и комплексным числам топологию PGL и PSL можно определить по пучкам волокон определяющим их :

${\begin{matrix}\mathrm {Z} &\cong &K^{\times }&\to &\mathrm {GL} &\to &\mathrm {PGL} \\\mathrm {SZ} &\cong &\mu _{n}&\to &\mathrm {SL} &\to &\mathrm {PSL} \end{matrix}}$

через длинную точную последовательность расслоения .

Как для вещественных чисел, так и для комплексов, SL является покрывающим пространством PSL с количеством листов, равным количеству корней n- й степени в K ; все их высшие гомотопические группы таким образом, в частности, совпадают . Для вещественных чисел SL является 2-кратным покрытием PSL для четного n и 1-кратным покрытием для нечетного n , т.е. изоморфизмом:

{±1} → SL(2 n , R ) → PSL(2 n , R )

SL(2 n + 1, R ) ~ → PSL(2 n + 1, R )

Для комплексов SL является n -кратным накрытием PSL.

Для PGL, для реалов, волокно R ^× ≅ {±1} , поэтому с точностью до гомотопии GL → PGL является 2-кратным накрывающим пространством, и все высшие гомотопические группы согласны.

Для PGL над комплексами слой C ^× ≅ С ¹ , поэтому с точностью до гомотопии GL → PGL — расслоение окружностей. Высшие гомотопические группы круга исчезают, поэтому гомотопические группы GL( n , C ) и PGL( n , C ) совпадают для n ≥ 3 . Фактически, π ₂ всегда обращается в нуль для групп Ли, поэтому гомотопические группы совпадают при n ≥ 2 . Для n = 1 имеем π ₁ (GL( n , C )) = π ₁ ( S ¹ ) = Z . Фундаментальная группа PGL(2, C ) — конечная циклическая группа порядка 2.

Группы

Над действительными и комплексными числами проективные специальные линейные группы являются минимальными ( бесцентровыми ) реализациями группы Ли для специальной линейной алгебры Ли. ${\mathfrak {sl}}(n)\colon$ любая связная группа Ли, алгебра Ли которой ${\mathfrak {sl}}(n)$ является покрытием PSL( n , F ) . И наоборот, его универсальная накрывающая группа является максимальным ( односвязным ) элементом, а промежуточные реализации образуют решетку накрывающих групп .

Например, SL(2, R ) имеет центр {±1} и фундаментальную группу Z и, таким образом, имеет универсальное накрытие SL(2, R ) и покрывает бесцентровый PSL(2, R ) .

Теория представлений

Основная статья: Проективное представление

Проективное представление G представлению свести к линейному центрального расширения C группы G. можно К ^* = К ^× .

Групповой гомоморфизм G → PGL( V ) группы G в проективную линейную группу называется проективным представлением группы G по аналогии с линейным представлением (гомоморфизмом G → GL( V ) ). Их изучал Иссаи Шур , который показал, что G можно классифицировать в терминах линейных представлений центральных расширений G. проективные представления Это привело к появлению множителя Шура , который используется для решения этого вопроса.

Низкие размеры

Проективная линейная группа в основном изучается для n ≥ 2 , хотя ее можно определить и для малых размерностей.

При n = 0 (или фактически n < 0 ) проективное пространство K ⁰ пусто, так как в 0-мерном пространстве нет одномерных подпространств. Таким образом, PGL(0, K ) — тривиальная группа, состоящая из единственного пустого отображения пустого множества в себя. Далее, действие скаляров на 0-мерном пространстве тривиально, поэтому отображение K ^× → GL(0, K ) тривиально, а не включение, как в более высоких измерениях.

При n = 1 проективное пространство K ¹ является одной точкой, поскольку существует одно одномерное подпространство. Таким образом, PGL(1, K ) — это тривиальная группа, состоящая из единственного отображения одноэлементного множества в себя. Далее, общая линейная группа одномерного пространства — это в точности скаляры, поэтому отображение K ^× ~ → GL(1, K ) — изоморфизм, соответствующий PGL(1, K ) := GL(1, K ) / K ^× ≅ {1} тривиально.

Для n = 2 PGL (2, K ) нетривиален, но необычен тем, что он 3-транзитивен, в отличие от более высоких размерностей, когда он только 2-транзитивен.

Примеры

• ПСЛ(2, 7)
• Модульная группа , PSL(2, Z )
• ПСЛ(2, Р )
• Группа Мёбиуса , PGL(2, C ) = PSL(2, C )

Подгруппы

• Проективная ортогональная группа , PO – максимальная компактная подгруппа PGL.
• Проективная унитарная группа , ПУ
• Проективная специальная ортогональная группа , PSO – максимальная компактная подгруппа PSL.
• Проективная специальная унитарная группа ПГУ

Большие группы

Проективная линейная группа содержится в более крупных группах, а именно:

• Проективная полулинейная группа PΓL, допускающая полевые автоморфизмы .
• Группа Кремоны , Cr ( P ^н ( k )) бирациональных автоморфизмов ; любой бирегулярный автоморфизм линеен, поэтому PGL совпадает с группой бирегулярных автоморфизмов.

См. также

• Проективная трансформация
• Единица

Ссылки

• Гроув, Ларри К. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра , Аспирантура по математике , том. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-2019-3 , МР   : 1859189