Множитель Шура

В математической теории групп множитель Шура или мультипликатор Шура является второй группой гомологии. $H_{2}(G,\mathbb {Z} )$ группы Г. ​Оно было введено Иссаем Шуром ( 1904 ) в его работе о проективных представлениях .

Примеры и свойства

Множитель Шура $\operatorname {M} (G)$ конечной группы G — это конечная абелева группа которой , показатель делит порядок G . Если силовская p -подгруппа группы G циклична для некоторого p , то порядок $\operatorname {M} (G)$ не делится на p . В частности, если все силовские p -подгруппы группы G циклические, то $\operatorname {M} (G)$ тривиально.

Например, мультипликатор Шура неабелевой группы порядка 6 является тривиальной группой, поскольку каждая силовская подгруппа циклическая. Мультипликатор Шура элементарной абелевой группы порядка 16 является элементарной абелевой группой порядка 64, что показывает, что множитель может быть строго больше самой группы. Мультипликатор Шура группы кватернионов тривиален, но мультипликатор Шура диэдральных 2-групп имеет порядок 2.

Мультипликаторы Шура конечных простых групп приведены в списке конечных простых групп . Накрывающие группы знакопеременных и симметрических групп в последнее время представляют значительный интерес.

к

Проективное представление группы G можно свести к линейному представлению центрального расширения C группы G.

Первоначальной мотивацией Шура для изучения множителя была классификация проективных представлений группы, а современная формулировка его определения - это вторая группа когомологий. $H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times })$. Проективное представление во многом похоже на представление группы, за исключением того, что вместо гомоморфизма в общую линейную группу $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$, переводим гомоморфизм в проективную общую линейную группу $\operatorname {PGL} (n,\mathbb {C} )$. Другими словами, проективное представление — это представление по модулю центра .

Шур ( 1904 , 1907 ) показал, что каждой конечной группе G сопоставлена ​​по крайней мере одна конечная группа C , называемая накрытием Шура , обладающая тем свойством, что каждое проективное представление группы G может быть поднято до обычного представления C. группы Прикрытие Шура также известно как группа прикрытия или Darstellungsgruppe . Накрытия Шура конечных простых групп известны, и каждое из них является примером квазипростой группы . Накрытие Шура совершенной группы определяется однозначно с точностью до изоморфизма, но накрытие Шура общей конечной группы определяется только с точностью до изоклинизма .

Связь с центральными расширениями

Изучение таких накрывающих групп естественным образом привело к изучению центральных и стволовых расширений .

Центральным расширением группы G является расширение

$1\to K\to C\to G\to 1$

где $K\leq Z(C)$ является подгруппой центра ​ C ​ .

Стволовое расширение группы G — это расширение

$1\to K\to C\to G\to 1$

где $K\leq Z(C)\cap C'$ является подгруппой пересечения центра C и производной C ; подгруппы это более ограничительный характер, чем центральный.

Если группа G конечна и рассматриваются только расширения ствола, то для такой группы C существует наибольший размер , и для каждого C этого размера подгруппа K изоморфна мультипликатору Шура G. группы , конечная группа G Если, кроме того совершенна , то C единственна с точностью до изоморфизма и сама совершенна. Такие C часто называют универсальными совершенными центральными расширениями G ( или накрывающей группой поскольку это дискретный аналог универсального накрывающего пространства в топологии). Если конечная группа G несовершенна, то ее накрывающие группы Шура (все такие C максимального порядка) являются только изоклиническими .

Его также называют более кратко универсальным центральным расширением , но обратите внимание, что не существует наибольшего центрального расширения, поскольку прямое произведение G и абелевой группы образует центральное расширение G произвольного размера.

Расширения ствола обладают тем замечательным свойством, что любой подъем порождающего набора G является порождающим набором C . Если группа G представлена свободной ​​в виде группы F на множестве образующих и нормальной подгруппы R, порожденной набором отношений на образующих, так что $G\cong F/R$, то саму накрывающую группу можно представить через F , но с меньшей нормальной подгруппой S , т. е. $C\cong F/S$. Поскольку отношения G определяют элементы K, если рассматривать его как часть C , необходимо иметь $S\leq [F,R]$.

Фактически, если G идеален, это все, что нужно: C ≅ [ F , F ]/[ F , R ] и M( G ) ≅ K ≅ R /[ F , R ]. Из-за этой простоты такие объяснения, как ( Aschbacher 2000 , §33), в первую очередь рассматривают идеальный случай. Общий случай для множителя Шура аналогичен, но гарантирует, что расширение является расширением стебля путем ограничения производной подгруппы F : M( G ) ≅ ( R ∩ [ F , F ])/[ F , R ]. Все это несколько более поздние результаты Шура, который также дал ряд полезных критериев для их более явного расчета.

к

В комбинаторной теории групп группа часто возникает из представления . Одной из важных тем в этой области математики является изучение представлений с как можно меньшим количеством отношений, таких как группы с одним отношением, такие как группы Баумслага – Солитара . Эти группы представляют собой бесконечные группы с двумя генераторами и одним отношением, и старый результат Шрайера показывает, что в любом представлении, в котором генераторов больше, чем отношений, результирующая группа бесконечна. Таким образом, пограничный случай весьма интересен: говорят, что конечные группы с тем же числом образующих, что и отношения, имеют нулевой дефект . Чтобы группа имела нулевой дефект, группа должна иметь тривиальный множитель Шура, поскольку минимальное число образующих множителя Шура всегда меньше или равно разнице между количеством отношений и числом образующих, что является отрицательным числом. дефицит. Эффективная группа — это группа, в которой множитель Шура требует такого количества образующих.

Сравнительно недавняя тема исследований — поиск эффективных представлений для всех конечных простых групп с тривиальными множителями Шура. Такие представления в некотором смысле приятны, потому что они обычно короткие, но их трудно найти и с ними трудно работать, поскольку они плохо подходят для стандартных методов, таких как перечисление смежных классов .

Связь с топологией

В топологии группы часто можно описать как конечно определенные группы, и фундаментальным вопросом является вычисление их интегральной гомологии. $H_{n}(G,\mathbb {Z} )$. В частности, особую роль играет вторая гомология, что побудило Хайнца Хопфа найти эффективный метод ее расчета. Метод ( Хопф, 1942 ) также известен как интегральная формула гомологии Хопфа и идентичен формуле Шура для множителя Шура конечной группы:

$H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong (R\cap [F,F])/[F,R]$

где $G\cong F/R$ и F — свободная группа. Та же формула справедлива и для случая, когда G — совершенная группа.

Признание того, что эти формулы одинаковы, привело Сэмюэля Эйленберга и Сондерса Маклейна к созданию когомологий групп . В общем,

$H_{2}(G,\mathbb {Z} )\cong {\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}$

где звездочка обозначает алгебраическую дуальную группу. Более того, когда G конечна, существует неестественный изоморфизм

${\bigl (}H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }){\bigr )}^{*}\cong H^{2}(G,\mathbb {C} ^{\times }).$

Формула Хопфа для $H_{2}(G)$ было обобщено на более высокие измерения. Один подход и ссылки см. в статье Эверарта, Грана и Ван дер Линдена, указанной ниже.

— Совершенная группа это группа, у которой первая целая гомология равна нулю. — Суперсовершенная группа это группа, первые две целые группы гомологии которой равны нулю. Накрытия Шура конечных совершенных групп сверхсовершенны. Ациклическая группа — это группа, все приведенные целые гомологии которой равны нулю.

Приложения

Вторую алгебраическую K-группу K ₂ ( R ) коммутативного кольца R можно отождествить со второй группой гомологий H ₂ ( E ( R ), Z ) группы E ( R ) (бесконечных) элементарных матриц с элементами из Р. ​

См. также

• Квазипростая группа

Ссылки Клера Миллера дают другой взгляд на множитель Шура как на ядро ​​морфизма κ: G ∧ G → G, индуцированного коммутаторным отображением.

Ссылки

• Ашбахер, Майкл (2000), Теория конечных групп , Кембриджские исследования по высшей математике, том. 10 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-78145-9 , МР   1777008 , Збл   0997.20001
• Хопф, Хайнц (1942), «Фундаментальная группа и вторая группа Беттиана», Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 257–309, doi : 10.1007/BF02565622 , ISSN   0010-2571 , MR   0006510 , Zbl   0027.09503
• Джонсон, Дэвид Лоуренс; Робертсон, Эдмунд Фредерик (1979), «Конечные группы с нулевым дефектом», в Wall, CTC (ed.), Теория гомологических групп , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 36, Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-22729-2 , Збл   0423.20029
• Кузьмин, Леонид Викторович (2001) [1994], «Мульпликатор Шура» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Розенберг, Джонатан (1994), Алгебраическая K-теория и ее приложения , Тексты для аспирантов по математике , том. 147, Шпрингер-Верлаг , ISBN  978-0-387-94248-3 , MR   1282290 , Zbl   0801.19001 Исправления
• Ротман, Джозеф Дж. (1994), Введение в теорию групп , Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-94285-8
• Шур, Иссаи (1904), «О представлении конечных групп дробными линейными заменами». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 127 : 20–50, ISSN   0075-4102 , JFM   35.0155.01
• Шур, Иссаи (1907), «Исследования по представлению конечных групп дробными линейными заменами». , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1907 (132): 85–137, doi : 10.1515/crll.1907.132.85 , ISSN   0075-4102 , JFM   38.0174.02
• Ван дер Каллен, Вильберд (1984), «Обзор: Ф. Рудольф Бейл и Юрген Таппе, групповые расширения, представления и мультипликатор Шура» , Бюллетень Американского математического общества , 10 (2): 330–3, doi : 10.1090 /s0273-0979-1984-15273-x
• Виголд, Джеймс (1982), «Множитель Шура: элементарный подход», Groups – St. Эндрюс 1981 (Сент-Эндрюс, 1981) , Лондонская математика. Соц. Лекционная конспект. Сер., т. 1, с. 71, Издательство Кембриджского университета , стр. 137–154, MR   0679156 , Zbl   0502.20003.
• Миллер, Клер (1952), «Вторая гомология группы», Труды Американского математического общества , 3 (4): 588–595, doi : 10.1090/s0002-9939-1952-0049191-5 , Zbl   0047.25703
• Деннис, Р.К. (1976), В поисках новых функторов «гомологии», имеющих тесное отношение к K-теории , Корнельский университет.
• Браун, Р.; Джонсон, ДЛ; Робертсон, Э.Ф. (1987), «Некоторые вычисления неабелевых тензорных произведений групп», Journal of Algebra , 111 : 177–202, doi : 10.1016/0021-8693(87)90248-1 , Zbl   0626.20038
• Эллис, Дж.Дж.; Леонард, Ф. (1995), «Вычисление множителей Шура и тензорных произведений конечных групп», Proceedings of the Royal Irish Academy , 95A (2): 137–147, ISSN   0035-8975 , JSTOR   20490165 , Zbl   0863.20010
• Эллис, Грэм Дж. (1998), «Множитель Шура пары групп», Applied Categorical Structures , 6 (3): 355–371, doi : 10.1023/A:1008652316165 , Zbl   0948.20026
• Эйк, Беттина; Никель, Вернер (2008), «Вычисление мультипликатора Шура и неабелева тензорного квадрата полициклической группы», Journal of Algebra , 320 (2): 927–944, doi : 10.1016/j.jalgebra.2008.02.041 , Zbl   1163.20022
• Эверарт, Томас; Гран, Марино; Ван дер Линден, Тим (2008), «Высшие формулы Хопфа для гомологии с помощью теории Галуа», Advances in Mathematics , 217 (5): 2231–67, arXiv : math/0701815 , doi : 10.1016/j.aim.2007.11.001 , Збл   1140.18012