Изоклинизм групп

В математике, особенно в теории групп , изоклинизм — это отношение эквивалентности на группах , которое обобщает изоморфизм . Изоклинизм был введен Холлом (1940), чтобы помочь классифицировать и понять p-группы , хотя он применим ко всем группам. Изоклинизм также имеет последствия для множителя Шура и связанных с ним аспектов теории характера , как описано Судзуки (1982 , стр. 256) и Конвеем и др. (1985 , стр. xxiii, гл. 6.7). Слово «изоклинизм» происходит от греческого ισοκλινης, что означает «равный наклон».

Некоторые учебники, обсуждающие изоклинизм, включают Берковича (2008 , §29) и Блэкберна, Неймана и Венкатарамана (2007 , §21.2) и Судзуки (1986 , стр. 92–95).

Определение

Класс изоклинизма группы G определяется группами G / Z ( G ) ( группа внутренних автоморфизмов ) и G ' ( коммутантная подгруппа ) и коммутаторным отображением из G / Z ( G )× G / Z ( G ) в G ′ (принимая a , b в aba ⁻¹б ⁻¹).

Другими словами, две группы G2 _, являются изоклиническими _G2 если существуют изоморфизмы из / _из Z ( G1 ) _в G1 / _Z G1 ( G2 ) _и G1 ' _в G2 коммутирующие ' _, и с отображением коммутатора.

Примеры

Все абелевы группы изоклиничны, поскольку они равны своим центрам, а их коммутаторные подгруппы всегда являются единичными подгруппами. Действительно, группа изоклинична абелевой группе тогда и только тогда, когда она сама абелева, а G изоклинична G × A тогда и только тогда, когда A абелева. Группы диэдра . , квазидиэдра и кватернионов порядка 2 ^н являются изоклиническими для n ≥3, Беркович (2008 более подробно , стр. 285).

Изоклинизм делит p -группы на семейства, а наименьшие члены каждого семейства называются стволовыми группами . Группа является стволовой группой тогда и только тогда, когда Z( G ) ⩽ [ G , G ], то есть, если и только если каждый элемент центра группы содержится в производной подгруппе (также называемой коммутантной подгруппой), Беркович (2008 , с. 287). Некоторые результаты подсчета семейств изоклинизма приведены в работе Blackburn, Neumann & Venkataraman (2007 , стр. 226).

Изоклинизм используется в теории проективных представлений конечных групп , поскольку все накрывающие группы Шура группы изоклиничны, на этот факт уже намекал Холл согласно Судзуки (1982 , стр. 256). Это используется при описании таблиц характеров конечных простых групп ( Конвей и др., 1985 , стр. xxiii, гл. 6.7).

Ссылки

Беркович, Яков (2008), Группы первичного степенного порядка. Том. 1 , «Изложения де Грюйтера по математике», том. 46, Walter de Gruyter GmbH & Co. KG, Берлин, номер номера : 10.1515/9783110208221.285 , ISBN. 978-3-11-020418-6 , МР 2464640
Блэкберн, Саймон Р.; Нойманн, Питер М .; Венкатараман, Гита (2007), Перечисление конечных групп , Кембриджские трактаты по математике № 173 (1-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-88217-0 , OCLC 154682311
Конвей, Джон Хортон ; Кертис, RT; Нортон, СП; Паркер, РА; Уилсон, Р.А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9 , МР 0827219
Холл, Филип (1940), «Классификация групп простых степеней» , Журнал чистой и прикладной математики , 1940 (182): 130–141, doi : 10.1515/crll.1940.182.130 , ISSN 0075-4102 , MR 0003389 , S2CID 122817195
Струик, Рут Ребекка (1960). «Заметка о группах первичной власти» . Канадский математический бюллетень . 3 : 27–30. дои : 10.4153/cmb-1960-006-5 . ISSN 0008-4395 . МР 0148744 .
Судзуки, Мичио (1982), Теория групп. Я , Фундаментальные начала математических наук, т. 1, с. 247, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-3-540-10915-0 , МР 0648772
Судзуки, Мичио (1986), Теория групп. II , Фундаментальные принципы математических наук, т. 1, с. 248, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-642-86885-6 , ISBN. 978-0-387-10916-9 , МР 0815926