Группа Баумслага – Солитара

В математической области теории групп группы Баумслага – Солитара являются примерами групп с двумя генераторами и одним соотношением, которые играют важную роль в комбинаторной теории групп и геометрической теории групп в качестве (контр)примеров и тестовых примеров. Они даются групповой презентацией.

\left\langle a,b\ :\ ba^{m}b^{-1}=a^{n}\right\rangle .

Для каждого целого числа $m$ и $n$ группа Баумслага–Солитара обозначается $BS(m, n)$ . Отношение в изложении называется соотношением Баумслага–Солитара .

Некоторые из различных $BS(m, n)$ являются хорошо известными группами. $BS(1, 1)$ — свободная абелева группа с двумя образующими , а $BS(1, -1)$ — фундаментальная группа бутылки Клейна .

Группы были определены Гилбертом Баумслагом и Дональдом Солитаром в 1962 году, чтобы предоставить примеры нехопфовых групп . Группы содержат аппроксимируемо конечные группы, хопфовы группы, которые не являются аппроксимируемо конечными, и нехопфовы группы.

Линейное представление

Определять

A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}},\qquad B={\begin{pmatrix}{\frac {n}{m}}&0\\0&1\end{pmatrix}}.

Группа матриц $G,$ порожденная $A$ и $B,$ является гомоморфным образом $BS(m, n)$ через гомоморфизм, индуцированный

a\mapsto A,\qquad b\mapsto B.

Стоит отметить, что это, вообще говоря, не будет изоморфизмом. Например, если $BS(m, n)$ не является аппроксимируемо конечным (т.е. если это не тот случай, когда $| m | = 1$ , $| n | = 1$ или $| m | = | n |$ ^{[ 1 ]}) она не может быть изоморфна конечно порожденной линейной группе которой известна , аппроксимируемость по теореме Анатолия Мальцева . ^{[ 2 ]}

См. также

Примечания

^ См . «Неразрешимые конечные группы с одним соотношением» Стивена Мескина для доказательства условия остаточной конечности.
^ Анатолий Иванович Мальцев, «О точном представлении бесконечных групп матрицами» Переводы Американского математического общества (2), 45 (1965), стр. 1–18.

Ссылки

DJ Коллинз (2001) [1994], «Группа Баумслага – Солитара» , Энциклопедия математики , EMS Press
Гилберт Баумслаг и Дональд Солитар, Некоторые нехопфовы группы с двумя генераторами и одним соотношением , Бюллетень Американского математического общества 68 (1962), 199–201. МИСТЕР 0142635

[1] См . «Неразрешимые конечные группы с одним соотношением» Стивена Мескина для доказательства условия остаточной конечности.

[2] Анатолий Иванович Мальцев, «О точном представлении бесконечных групп матрицами» Переводы Американского математического общества (2), 45 (1965), стр. 1–18.

[ 1 ]

[ 2 ]