Бинарная мозаика
В геометрии — бинарное замощение (иногда называемое замощением Бёрёчки ). [1] — это мозаика гиперболической плоскости , напоминающая квадродерево над полуплоской моделью Пуанкаре гиперболической плоскости. Впервые он был изучен математически в 1974 году Кароли Бёрочки . [2] [3] [4] Однако близкородственная мозаика использовалась ранее в гравюре MC Escher 1957 года . [5]
Плитка
[ редактировать ]В одной из версий мозаики плитки представляют собой фигуры, ограниченные тремя конгруэнтными орициклическими сегментами (два из которых являются частью одного и того же орицикла) и двумя отрезками прямых . Все плитки конгруэнтны. В модели полуплоскости Пуанкаре орициклические сегменты моделируются как горизонтальные сегменты прямых (параллельные границе полуплоскости), а сегменты прямых моделируются как вертикальные сегменты линий (перпендикулярно границе полуплоскости). придание каждой плитке общей формы в модели квадрата или прямоугольника. Однако в гиперболической плоскости эти плитки имеют пять сторон, а не четыре, и не являются гиперболическими многоугольниками, поскольку их орициклические края не являются прямыми. В модели полуплоскости. В этой модели гиперболическая длина горизонтального орициклического сегмента равна его евклидовой длине в модели, деленной на евклидово расстояние от границы полуплоскости. Следовательно, чтобы два орициклических сегмента на нижнем горизонтальном крае каждого тайла имели равную длину с одним орициклическим сегментом на верхнем крае тайла, его верхний край следует разместить в два раза дальше от полу- граница плоскости как ее дно. [2]
Альтернативная и комбинаторно эквивалентная версия мозаики помещает ее вершины в одни и те же точки, но соединяет их гиперболическими отрезками вместо орициклических отрезков, так что каждая плитка становится гиперболическим выпуклым пятиугольником. [6] В этой форме мозаики плитки не выглядят как прямоугольники в модели полуплоскости, а орициклы, образованные горизонтальными последовательностями ребер, заменяются апейрогонами .
Перечисление и апериодичность
[ редактировать ]Этими плитками создается бесчисленное множество различных мозаик гиперболической плоскости, даже если они модифицированы путем добавления выступов и углублений, чтобы заставить их соприкасаться от края к краю. Ни одно из этих различных мозаик не является периодическим (имеющим кокомпактную группу симметрии), [2] [7] хотя некоторые из них (например, линия, полностью покрытая краями плитки) имеют одномерную бесконечную группу симметрии. [1]
В большей степени, чем все плитки одинаковой формы, все первые короны плиток, набор плиток, соприкасающихся с одной центральной плиткой, имеют одинаковый рисунок плиток (вплоть до симметрии гиперболической плоскости, допускающей отражения). Для мозаики евклидовой плоскости наличие всех первых корон одинаковых означает, что мозаика является периодической и изоэдральной (все плитки симметричны друг другу); бинарное разбиение дает сильный контрпример для соответствующего свойства в гиперболической плоскости. [8]
В соответствии с тем фактом, что эти мозаики непериодичны, но моноэдральны (имеют только одну форму плитки), двойственные мозаики этих мозаик непериодичны, но монокорональны (имеют одинаковый рисунок плиток, окружающих каждую вершину). Эти двойные мозаики формируются путем выбора опорной точки внутри каждой плитки двоичного мозаики и соединения пар опорных точек плиток, которые имеют общий край друг с другом. [6]
Приложение
[ редактировать ]Регулировка расстояния между двумя вертикальными сторонами плиток в бинарном мозаике приводит к изменению их площади пропорционально этому расстоянию. Сделав это расстояние сколь угодно малым, это разбиение можно использовать, чтобы показать, что гиперболическая плоскость имеет замощение конгруэнтными плитками сколь угодно малой площади. [3]
В гравюре М. К. Эшера 1957 года « Регулярное деление плоскости VI» эта мозаика является основной структурой, причем каждая плитка бинарной мозаики (как видно в форме квадродерева) разделена на три прямоугольных треугольника. Если интерпретировать их как евклидовы формы, а не как гиперболу, плитки представляют собой квадраты, а разделенные треугольники — равнобедренные прямоугольные треугольники. Сам принт заменяет каждый треугольник стилизованной ящерицей. [5]
См. также
[ редактировать ]- Группа Баумслага – Солитара
- Бинарное дерево
- проблема Эйнштейна
- Гиперболическое дерево
- диаграмма Смита
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Долбилин, Николай; Фреттло, Дирк. «Свойства мозаик Бёрёчки в многомерных гиперболических пространствах» (PDF) . Европейский журнал комбинаторики . 31 (4): 1181–1195. arXiv : 0705.0291 . дои : 10.1016/j.ejc.2009.11.016 .
- ^ Jump up to: а б с Радин, Чарльз (2004). «Орбиты сфер: упаковка сфер соответствует мозаике Пенроуза» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 111 (2): 137–149. дои : 10.2307/4145214 . JSTOR 4145214 .
- ^ Jump up to: а б Агол, Ян (26 января 2018 г.). «Наименьшая плитка для замощения гиперболической плоскости» . MathOverflow .
- ^ Бёрёчки, Карой (1974). «Сферические заполнения в пространствах постоянной кривизны I» . Математические статьи (на венгерском языке). 25 : 265–306. По словам Радина.
- ^ Jump up to: а б Эшер, MC (1989). «Регулярное деление самолета». Эшер об Эшере: исследуя бесконечность . Перевод Форда, Карин. Гарри Н. Абрамс Inc., стр. 90–122. ISBN 0-8109-2414-5 . См., в частности, текст, описывающий Регулярное деление Плана VI , стр. 112 и 114, схематическую диаграмму, стр. 116, и репродукция гравюры, с. 117.
- ^ Jump up to: а б Фреттло, Дирк; Гарбер, Алексей (2015). «Симметрии монокорональных мозаик». Дискретная математика и теоретическая информатика . 17 (2): 203–234. arXiv : 1402.4658 . дои : 10.46298/dmtcs.2142 . МР 3411398 .
- ^ Пенроуз, Р. (1979–1980). «Пентаплексити: класс непериодических разбиений плоскости». Математический интеллект . 2 (1): 32–37. дои : 10.1007/BF03024384 . МР 0558670 .
- ^ Долбилин, Николай; Шульте, Эгон (июнь 2004 г.). «Локальная теорема для монотипных разбиений» . Электронный журнал комбинаторики . 11 (2). Исследовательский документ 7. doi : 10.37236/1864 . МР 2120102 .
