Суперидеальная группа

В математике , в области теории групп , группа называется суперсовершенной когда ее первые две группы гомологий тривиальны : , H ₁ ( G , Z ) = H ₂ ( G , Z ) = 0. Это сильнее, чем совершенная группа. группа, у которой первая группа гомологии обращается в нуль. Говоря более классическими терминами, суперсовершенная группа — это группа, у которой абелианизация и множитель Шура равны нулю; абелианизация равна первой гомологии, а множитель Шура равен второй гомологии.

Определение

Первая группа гомологии группы — это абелианизация самой группы, поскольку гомологии группы G — это гомологии любого пространства Эйленберга–Маклейна типа K ( G , 1); фундаментальная группа K , и ( G ,1) есть G первая гомология K ( G ,1) тогда является абелианизацией его фундаментальной группы. Таким образом, если группа сверхсовершенна, то она совершенна .

Конечная универсальным совершенная группа является суперсовершенной тогда и только тогда, когда она является своим собственным центральным расширением (UCE), поскольку вторая группа гомологий совершенной группы параметризует центральные расширения.

Примеры

Например, если G — фундаментальная группа сферы гомологии , то G суперсовершенна. Наименьшая конечная нетривиальная суперсовершенная группа - это бинарная группа икосаэдра (фундаментальная группа сферы гомологий Пуанкаре ).

Знакопеременная группа A5 _{совершенна, но не} сверхсовершенна: она имеет нетривиальное центральное расширение, бинарная икосаэдрическая группа (которая фактически является ее UCE) сверхсовершенна. В более общем смысле, проективные специальные линейные группы PSL( n , q ) просты (следовательно, совершенны), за исключением PSL(2, 2) и PSL(2, 3), но не суперсовершенны, со специальными линейными группами SL( n , q ) как центральные расширения. Это семейство включает бинарную группу икосаэдра (называемую SL(2, 5)) как UCE A ₅ (называемую PSL(2, 5)).

Каждая ациклическая группа сверхсовершенна, но обратное неверно: бинарная икосаэдрическая группа сверхсовершенна, но не ациклична.

Ссылки

• А. Джон Беррик и Джонатан А. Хиллман, «Совершенные и ациклические подгруппы конечно представимых групп», Журнал Лондонского математического общества (2) 68 (2003), вып. 3, 683-698. МИСТЕР 2009444