Ациклическое пространство

В математике ациклическое пространство — это непустое топологическое пространство X , в котором циклы всегда являются границами в смысле теории гомологии . Отсюда следует, что целые группы гомологий во всех измерениях X изоморфны соответствующим группам гомологий точки.

Другими словами, используя идею редуцированной гомологии ,

${\tilde {H}}_{i}(X)=0,\quad \forall i\geq -1.$

Такое пространство принято рассматривать как непустое пространство без «дырок»; например, круг или сфера не ацикличны, а являются дискомили шар ацикличен. Однако это условие слабее, чем требование, чтобы каждая замкнутая петля в пространстве ограничивала диск в пространстве. Все, что мы просим, ​​это чтобы любая замкнутая петля — и ее более многомерный аналог — ограничивала что-то вроде «двумерной поверхности». Условие ацикличности пространства X означает, например, для хороших пространств — скажем, симплициальных комплексов , — что любое непрерывное отображение X в окружность или в высшие сферы является нуль-гомотопным.

Если пространство X стягиваемо . , то оно также ациклично в силу гомотопической инвариантности гомологии Обратное, вообще говоря, неверно. Тем не менее, если X — ациклический комплекс CW , и если фундаментальная группа X тривиальна , то X — сжимаемое пространство , как следует из теоремы Уайтхеда и теоремы Гуревича .

Примеры

Ациклические пространства встречаются в топологии , где их можно использовать для построения других, более интересных топологических пространств.

Например, если удалить одну точку из многообразия M , которое является сферой гомологий , получится такое пространство. Гомотопические группы ациклического пространства X, вообще говоря, не обращаются в нуль, поскольку фундаментальная группа $\pi _{1}(X)$ не обязательно должно быть тривиальным. Например, проколотая сфера гомологий Пуанкаре представляет собой ациклическое трехмерное многообразие , которое нестягиваемо.

Это дает набор примеров, поскольку первая группа гомологий представляет собой абелианизацию фундаментальной группы. Каждой совершенной группе G можно сопоставить (каноническое, терминальное) ациклическое пространство, фундаментальная группа которого является центральным расширением данной группы G .

Гомотопические группы этих ассоциированных ациклических пространств тесно связаны с на Квиллена плюсовой конструкцией классифицирующем пространстве BG .

Ациклические группы

Ациклическая группа — это группа G которой , классифицирующее пространство BG ациклично; другими словами, все его (приведенные) группы гомологии равны нулю, т. е. ${\tilde {H}}_{i}(G;\mathbf {Z} )=0$, для всех $i\geq 0$. Таким образом, каждая ациклическая группа является совершенной группой , то есть ее первая группа гомологии исчезает: $H_{1}(G;\mathbf {Z} )=0$, и фактически суперсовершенная группа , что означает, что первые две группы гомологий исчезают: $H_{1}(G;\mathbf {Z} )=H_{2}(G;\mathbf {Z} )=0$. Обратное неверно: бинарная группа икосаэдра сверхсовершенна (а значит, совершенна), но не ациклична.

См. также

• Асферическое пространство

Ссылки

• Дрор, Эммануэль (1972), «Ациклические пространства», Топология , 11 (4): 339–348, doi : 10.1016/0040-9383(72)90030-4 , MR   0315713
• Дрор, Эммануэль (1973), «Сферы гомологии», Израильский математический журнал , 15 (2): 115–129, doi : 10.1007/BF02764597 , MR   0328926
• Беррик, А. Джон; Хиллман, Джонатан А. (2003), «Совершенные и ациклические подгруппы конечно представимых групп», Журнал Лондонского математического общества , 68 (3): 683–698, doi : 10.1112/S0024610703004587 , MR   2009444 , S2CID   30232002

Внешние ссылки

• «Ациклические группы» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]