Проективная ортогональная группа

В проективной геометрии и линейной алгебре проективная ортогональная группа PO — это индуцированное действие ортогональной группы квадратичного пространства V = ( V , Q ) ^{[примечание 1]} на ассоциированном проективном пространстве P( V ). Явно проективная ортогональная группа - это факторгруппа

PO( V ) = O( V )/ZO( V ) = O( V )/{± I }

где O( V — ортогональная группа ( V ) и ZO( V )={± I } — подгруппа всех ортогональных скалярных преобразований V ) — они состоят из единицы и отражения через начало координат . Эти скаляры факторизованы, потому что они тривиально действуют в проективном пространстве и образуют ядро действия, а обозначение «Z» связано с тем, что скалярные преобразования являются центром ортогональной группы.

Проективная специальная ортогональная группа PSO определяется аналогично как индуцированное действие специальной ортогональной группы на соответствующее проективное пространство. Явно:

PSO( V ) = SO( V )/ZSO( V )

где SO( V ) — специальная ортогональная группа над V , а ZSO( V ) — подгруппа ортогональных скалярных преобразований с единичным определителем . Здесь ZSO является центром SO и тривиален в нечетном измерении, а в четном измерении равен {±1} - это различие между нечетным и четным происходит во всей структуре ортогональных групп. По аналогии с GL/SL и GO/SO проективную ортогональную группу иногда называют также проективной общей ортогональной группой и обозначают PGO.

Как и ортогональная группа, проективная ортогональная группа может быть определена над любым полем и с различными квадратичными формами, хотя, как и в случае с обычной ортогональной группой, основной упор делается на вещественную положительно определенную проективную ортогональную группу; другие поля подробно описаны в обобщениях ниже. Если не указано иное, в дальнейшем PO и PSO будут относиться к действительным положительно определенным группам.

Подобно группам спина и группам штифтов , которые являются покрытиями, а не факторами (специальных) ортогональных групп, проективные (специальные) ортогональные группы представляют интерес для (проективных) геометрических аналогов евклидовой геометрии, как родственные группы Ли , и в представлении теория .

Более того, (действительная положительно определенная) проективная ортогональная группа PO может быть определена как изометрии эллиптического пространства ( в смысле эллиптической геометрии ), тогда как PSO может быть определена как сохраняющие ориентацию изометрии эллиптического пространства (когда пространство ориентируемый; в противном случае PSO = PO).

Структура

Нечетные и четные размеры

Структура ПО существенно различается между нечетным и четным измерением, в основном потому, что в четном измерении отражение через начало координат сохраняет ориентацию, а в нечетном измерении оно меняет ориентацию ( $-I\in \operatorname {SO} (2k)$ но $-I\not \in \operatorname {SO} (2k+1)$ ). Это проявляется в том, что каждое нечетномерное вещественное проективное пространство ориентируемо, а всякое четномерное вещественное проективное пространство положительной размерности неориентируемо. На более абстрактном уровне алгебры Ли нечетных и четномерных проективных ортогональных групп образуют два разных семейства: $B_{k}={\mathfrak {so}}_{2k+1},D_{k}={\mathfrak {so}}_{2k}.$

Таким образом, O(2 k +1) = SO(2 k +1) × {± I }, ^{[примечание 2]}пока $\operatorname {O} (2k)\neq \operatorname {SO} (2k)\times \{\pm I\}$ и вместо этого является нетривиальным центральным расширением PO(2 k ).

Помните, что PO(2 k +1) является изометрией R P ^{22 тыс.} = Р( Р ^{2к 1 +}), а PO(2 k ) — изометрии R P ^{2k −1} = Р( Р ^{22 тыс.}) – нечетномерная (векторная) группа является изометрией четномерного проективного пространства, а четномерная (векторная) группа – изометрией нечетномерного проективного пространства.

В нечетном измерении, $\operatorname {SO} (2k+1)\cong \operatorname {PSO} (2k+1)=\operatorname {PO} (2k+1),$ ^{[примечание 3]} поэтому группу проективных изометрий можно отождествить с группой вращательных изометрий.

В четном измерении SO(2 k ) → PSO(2 k ) и O(2 k ) → PO(2 k ) являются покрытиями 2 к 1, а PSO(2 k ) < PO(2 k ) является индекс 2 подгруппы.

Общие свойства

PSO и PO бесцентровые , как и PSL и PGL; это связано с тем, что скалярные матрицы являются не только центром SO и O, но и гиперцентром (частное по центру не всегда дает бесцентровую группу).

PSO — максимальная компактная подгруппа в проективной специальной линейной группе PSL, а PO — максимальная компактная в проективной общей линейной группе PGL. Это аналогично тому, что SO является максимальным компактом в SL, а O — максимальным компактом в GL.

Теория представлений

PO представляет основной интерес в теории представлений: групповой гомоморфизм G → PGL называется проективным представлением G , точно так же, как отображение G называется линейным представлением G → GL , и так же, как любое линейное представление может быть сведено к отображению G → O (путем взятия инвариантного скалярного произведения) любое проективное представление можно свести к отображению G → PO.

См. в разделе «Проективная линейная группа: теория представлений» дальнейшее обсуждение .

Подгруппы

Подгруппы проективной ортогональной группы соответствуют подгруппам ортогональной группы, которые содержат − I (имеют центральную симметрию ). Как всегда с фактор-отображением (по теореме о решетке ), существует связь Галуа между подгруппами O и PO, где присоединение к O (задаваемое путем взятия образа в PO, а затем прообраза в O) просто добавляет - I , если отсутствующий.

Особый интерес представляют дискретные подгруппы, которые могут быть реализованы как симметрии проективных многогранников – они соответствуют (дискретным) точечным группам, которые включают центральную симметрию. Сравните с дискретными подгруппами группы Spin , особенно с 3-мерным случаем бинарных многогранных групп .

Например, в трех измерениях 4 из 5 платоновых тел имеют центральную симметрию (куб/октаэдр, додекаэдр/икосаэдр), а тетраэдр - нет, однако звездчатый октаэдр имеет центральную симметрию, хотя результирующая группа симметрии такая же, как и у куба/октаэдра.

Топология

PO и PSO, как бесцентровые топологические группы, находятся внизу последовательности покрывающих групп , вершинами которых являются ( односвязные ) группы Pin или группа Spin соответственно:

Pin _±( n ) → O( n ) → PO( n ).

Спин( n ) → SO( n ) → PSO( n ).

Все эти группы являются компактными вещественными формами одной и той же алгебры Ли.

Все это покрытия 2 к 1, за исключением SO(2 k +1) → PSO(2 k +1), которое является покрытием 1 к 1 (изоморфизм).

Гомотопические группы

Гомотопические группы выше $\pi _{1}$ не меняются под покровами, поэтому они согласуются с таковыми ортогональной группы. Нижние гомотопические группы задаются следующим образом.

\pi _{0}(\operatorname {PSO} )\cong 1

\pi _{0}(\operatorname {PO} (2k))\cong \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,\pi _{0}(\operatorname {PO} (2k+1))\cong 1.

Фундаментальная группа (бесцентровой) PSO( n ) равна центру (односвязной) Spin( n ), что всегда верно в отношении покрывающих групп:

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (n))=\pi _{1}(\operatorname {PO} (n))=\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n)).

Использование таблицы центров спиновых групп дает (для $k\geq 1$ ):

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \oplus \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (4k+2))=\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (2k+1))=\pi _{1}(\operatorname {SO} (2k+1))=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ,

В малых размерах:

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (1))=1,

поскольку группа тривиальна.

\pi _{1}(\operatorname {PSO} (2))=\mathbf {Z} ,

поскольку топологически это круг, хотя обратите внимание, что прообраз идентичности в Spin(2) равен

\mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,

что касается других

4k+2.

Группы гомологии

Пакеты

Так же, как ортогональная группа является структурной группой векторных расслоений , проективная ортогональная группа является структурной группой проективных расслоений , а соответствующее классифицирующее пространство обозначается BPO.

Обобщения

Как и ортогональную группу, проективную ортогональную группу можно обобщить двумя основными способами: изменением поля или изменением квадратичной формы. Помимо действительных чисел, основной интерес представляют комплексные числа или конечные поля, в то время как (над действительными числами) квадратичные формы также могут быть неопределенными формами и обозначаются PO( p , q ) по их сигнатуре.

Комплексную проективную ортогональную группу PO( n , C ) не следует путать с проективной унитарной группой PU( n ): PO сохраняет симметричную форму, а PU сохраняет эрмитову форму - PU представляет собой симметрии комплексного проективного пространства (сохраняющего метрика Фубини –Стюди ).

В полях характеристики 2 возникают дополнительные сложности: квадратичные формы и симметричные билинейные формы больше не эквивалентны, I = − I , и определитель необходимо заменить инвариантом Диксона .

Конечные поля

Проективная ортогональная группа над конечным полем используется при построении семейства конечных простых групп — лиева типа групп Шевалле типа _Dn . Ортогональная группа над конечным полем O( n , q ) не является простой, поскольку она имеет SO в качестве подгруппы и нетривиальный центр ({± I }) (следовательно, PO в качестве фактора). Оба они фиксируются переходом к PSO, но сам PSO, вообще говоря, не прост, и вместо этого необходимо использовать подгруппу (которая может иметь индекс 1 или 2), определенную спинорной нормой (в нечетной характеристике) или квазидетерминантом ( в четной характеристике). ^[1] Квазидетерминант можно определить как (−1) ^Д, где D — инвариант Диксона (это определитель, определяемый инвариантом Диксона), или в терминах размерности фиксированного пространства.

Примечания

^ Квадратичное пространство — это векторное пространство V вместе с квадратичной формой Q ; Q исключается из обозначений , когда это ясно.
^ Этот продукт представляет собой внутреннюю прямую сумму — продукт подгрупп, а не просто абстрактную внешнюю прямую сумму .
^ Различие изоморфизма k / равенства в этом уравнении заключается в том, что контекст представляет собой коэффициентное отображение 2 к 1 O → PO – PSO(2 +1 ) и PO(2 k +1) являются равными подмножествами цели (а именно, все пространство), следовательно, равенство, в то время как индуцированное отображение SO → PSO является изоморфизмом, но эти две группы являются подмножествами разных пространств, следовательно, изоморфизм, а не равенство. См. ( Conway & Smith 2003 , стр. 34 ) пример такого различия.

См. также

Ссылки

^ АТЛАС , с. xi

Конвей, Джон Хортон ; Смит, Дерек Алан (07 февраля 2003 г.), «3.7 Проективные или эллиптические группы», О кватернионах и октонионах , AK Peters, Ltd., стр. 34 , ISBN 978-1-56881-134-5
Конвей, Дж. Х.; Кертис, RT; Нортон, СП; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А. «Группы GO _n ( q ), SO _n ( q ), PGO _n ( q ) и PSO _n ( q ) и O _n ( q )». §2.4 в Атласе конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры простых групп. Оксфорд, Англия: Clarendon Press, стр. xi–xii, 1985.

Внешние ссылки

[1] Квадратичное пространство — это векторное пространство V вместе с квадратичной формой Q ; Q исключается из обозначений , когда это ясно.

[2] Этот продукт представляет собой внутреннюю прямую сумму — продукт подгрупп, а не просто абстрактную внешнюю прямую сумму .

[3] Различие изоморфизма k / равенства в этом уравнении заключается в том, что контекст представляет собой коэффициентное отображение 2 к 1 O → PO – PSO(2 +1 ) и PO(2 k +1) являются равными подмножествами цели (а именно, все пространство), следовательно, равенство, в то время как индуцированное отображение SO → PSO является изоморфизмом, но эти две группы являются подмножествами разных пространств, следовательно, изоморфизм, а не равенство. См. ( Conway & Smith 2003 , стр. 34 ) пример такого различия.

[4] АТЛАС , с. xi

[примечание 1]

[примечание 2]

[примечание 3]

[1]