Проективная унитарная группа

В математике проективная унитарная группа $PU(n)$ представляет собой фактор унитарной группы $U(n)$ по правому умножению ее U центра $(1)$ , вложенному в виде скаляров. Абстрактно, это голоморфная группа изометрий комплексного проективного пространства , точно так же, как проективная ортогональная группа является группой изометрий реального проективного пространства .

В терминах матриц элементы $U(n)$ представляют собой комплексные $унитарные матрицы размера n \times n$ , а элементы центра — диагональные матрицы, равные $e я я I$ , где $I$ — единичная матрица. Таким образом, элементы $PU(n)$ соответствуют классам эквивалентности унитарных матриц при умножении на постоянную фазу $θ$ . Это пространство не является $SU(n)$ (которое требует, чтобы определитель был только единицей), поскольку $SU(n)$ все еще содержит элементы $e я я я$ где $е я я$ является $корнем n$ -й степени из единицы (поскольку тогда $det(e я я я) = е я θn = 1$ ).

Абстрактно, учитывая эрмитово пространство $V$ , группа $PU(V)$ является образом унитарной группы $U(V)$ в группе автоморфизмов проективного пространства $P (V)$ .

Проективная специальная унитарная группа [ править ]

Проективная специальная унитарная группа PSU( $n$ ) равна проективной унитарной группе, в отличие от ортогонального случая.

Связи между U( $n$ ), SU( $n$ ), их центрами и проективными унитарными группами показаны на рисунке справа (обратите внимание, что на рисунке целые числа обозначены $\mathbf {Z}$ вместо $\mathbb {Z}$ ).

Центр $\mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))$ специального унитарного отряда $\mathrm {SU} (n)$ – скалярные матрицы $корней n-й$ степени из единицы:

\mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))=\mathrm {SU} (n)\cap \mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))\cong \mathbb {Z} /n

Природная карта

\mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {SU} (n))\to \mathrm {PU} (n)=\mathrm {U} (n)/\mathrm {Z} (\mathrm {U} (n))

является изоморфизмом по второй теореме об изоморфизме , поэтому

\mathrm {PU} (n)=\mathrm {PSU} (n)=\mathrm {SU} (n)/(\mathbb {Z} /n).

а специальная унитарная группа SU( $n$ ) является $n$ -кратным накрытием проективной унитарной группы.

Примеры [ править ]

При n = 1 U(1) абелева и поэтому равна своему центру. Следовательно, PU(1) = U(1)/U(1) — тривиальная группа .

При n = 2, $\mathrm {SU} (2)\cong \mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {Sp} (1)$ , все они могут быть представлены кватернионами единичной нормы, и $\mathrm {PU} (2)\cong \mathrm {SO} (3)$ с помощью:

\mathrm {PU} (2)=\mathrm {PSU} (2)=\mathrm {SU} (2)/(\mathbb {Z} /2)\cong \mathrm {Spin} (3)/(\mathbb {Z} /2)=\mathrm {SO} (3)

Конечные поля [ править ]

Можно также определить унитарные группы над конечными полями: для данного поля порядка q существует невырожденная эрмитова структура в векторных пространствах над $\mathbf {F} _{q^{2}},$ единственная с точностью до унитарного сравнения и, соответственно, группа матриц, обозначаемая $\mathrm {U} (n,q)$ или $\mathrm {U} (n,q^{2})$ а также специальные и проективные унитарные группы. Для удобства в этой статье используется $\mathrm {U} (n,q^{2})$ соглашение.

Напомним, что группа единиц конечного поля циклическая , поэтому группа единиц $\mathbf {F} _{q^{2}},$ и, таким образом, группа обратимых скалярных матриц в $\mathrm {GL} (n,q^{2})$ циклическая группа порядка $q^{2}-1.$ Центр $\mathrm {U} (n,q^{2})$ имеет порядок q + 1 и состоит из унитарных скалярных матриц, т. е. матриц $cI_{V}$ с $c^{q+1}=1.$ Центр специальной унитарной группы имеет порядок НОД( n , q + 1) и состоит из тех унитарных скаляров, которые также имеют порядок, делящий n .

Фактор унитарной группы по ее центру есть проективная унитарная группа , $\mathrm {PU} (n,q^{2}),$ а фактор специальной унитарной группы по ее центру есть проективная специальная унитарная группа $\mathrm {PSU} (n,q^{2}).$ В большинстве случаев ( n ≥ 2 и $(n,q^{2})\notin \{(2,2^{2}),(2,3^{2}),(3,2^{2})\}$ ), $\mathrm {SU} (n,q^{2})$ идеальная группа и $\mathrm {PU} (n,q^{2})$ — конечная простая группа ( Grove 2002 , Thm. 11.22 и 11.26).

Топология PU( H ) [ править ]

PU( H классифицирующее пространство для пучков . ) — кругов

Ту же конструкцию можно применить к матрицам, действующим в бесконечномерном гильбертовом пространстве. ${\mathcal {H}}$ .

Обозначим через U( H ) пространство унитарных операторов в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Когда f : X → U( H ) является непрерывным отображением компакта X в унитарную группу, можно использовать конечномерную аппроксимацию его образа и простой K-теоретический прием

u\oplus 1_{\ell ^{2}}\sim u\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots \sim u\oplus u^{-1}\oplus u\oplus u^{-1}\oplus \cdots \sim 1_{\ell ^{2}}\oplus 1_{\ell ^{2}}\oplus \cdots ,\qquad u\in {\rm {U}}(H),

чтобы показать, что оно на самом деле гомотопно тривиальному отображению в одну точку. Это означает, что U( H ) слабо сжимаема, а дополнительное рассуждение показывает, что она действительно стягиваема. Обратите внимание, что это чисто бесконечномерное явление, в отличие от конечномерных кузенов U( n ) и их предела U(∞) при отображениях включения, которые не стягиваемы и допускают гомотопически нетривиальные непрерывные отображения на U(1), заданные формулой определитель матриц.

Центр бесконечномерной унитарной группы $\mathrm {U} ({\mathcal {H}})$ есть, как и в конечномерном случае, U(1), который снова действует на унитарную группу посредством умножения на фазу. Поскольку унитарная группа не содержит нулевой матрицы, это действие бесплатно. Таким образом $\mathrm {U} ({\mathcal {H}})$ является сжимаемым пространством с действием U(1), которое идентифицирует его как EU(1) , а пространство орбит U(1) — как BU(1) , классифицирующее пространство для U(1).

Гомотопия и (ко)гомологии PU( H ) [ править ]

$\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ определяется именно как пространство орбит действия U(1) на $\mathrm {U} ({\mathcal {H}})$ , таким образом $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ является реализацией классифицирующего пространства BU(1). В частности, используя изоморфизм

\pi _{n}(X)=\pi _{n+1}(BX)

между гомотопическими группами пространства X и гомотопическими группами его классифицирующего пространства BX в сочетании с гомотопическим типом окружности U(1)

\pi _{k}(\mathrm {U} (1))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=1\\0&k\neq 1\end{cases}}

мы находим гомотопические группы $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$

\pi _{k}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=2\\0&k\neq 2\end{cases}}

таким образом определяя $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ как представитель пространства Эйленберга – Маклейна $\mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)$ .

Как следствие, $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ должно быть того же гомотопического типа, что и бесконечномерное комплексное проективное пространство , которое также представляет $\mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)$ . Это означает, в частности, что они имеют изоморфные группы гомологий и когомологий :

{\begin{aligned}\mathrm {H} ^{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} \\\mathrm {H} ^{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))&=\mathrm {H} _{2n+1}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=0\end{aligned}}

Представления [ править ]

Сопряженное представление [ править ]

PU( n ) вообще не имеет n -мерных представлений, так же как SO(3) не имеет двумерных представлений.

PU( n ) имеет присоединенное действие на SU( n ), поэтому оно имеет $(n^{2}-1)$ -мерное представление. Когда n = 2, это соответствует трехмерному представлению SO(3). Сопряженное действие определяется путем рассмотрения элемента PU( n ) как класса эквивалентности элементов U( n ), которые различаются фазами. Тогда можно предпринять сопряженное действие относительно любого из этих представителей U( n ), и фазы коммутируют со всем и, таким образом, сокращаются. Таким образом, действие не зависит от выбора представителя и поэтому четко определено.

Проективные представления [ править ]

Во многих приложениях PU( n ) действует не в каком-либо линейном представлении, а в проективном представлении , которое является представлением с точностью до фазы, независимой от вектора, на который действует. Они полезны в квантовой механике, поскольку физические состояния определяются только с точностью до фазы. Например, массивные фермионные состояния трансформируются при проективном представлении, но не при представлении небольшой группы PU(2) = SO(3).

Проективные представления группы классифицируются по ее вторым целым когомологиям , которые в данном случае есть

\mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} (n))=\mathbb {Z} /n

или

\mathrm {H} ^{2}(\mathrm {PU} ({\mathcal {H}}))=\mathbb {Z} .

Группы когомологий в конечном случае можно вывести из длинной точной последовательности расслоений и приведенного выше факта, что SU( n ) является $\mathbb {Z} /n$ расслоение над PU( n ). Когомологии в бесконечном случае были аргументированы выше на основе изоморфизма с когомологиями бесконечного комплексного проективного пространства.

Таким образом, PU( n ) имеет n проективных представлений, первое из которых является фундаментальным представлением его SU( n )-накрытия, а $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ имеет счетное бесконечное число. Как обычно, проективные представления группы являются обычными представлениями центрального расширения группы. В этом случае центральная расширенная группа, соответствующая первому проективному представлению каждой проективной унитарной группы, является не чем иным, как исходной унитарной группой , которую мы факторизировали по U(1) в определении PU.

Приложения [ править ]

Извращенная К-теория [ править ]

Присоединенное действие бесконечной проективной унитарной группы полезно в геометрических определениях скрученной K-теории . Здесь присоединенное действие бесконечномерного $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ либо на операторах Фредгольма , либо на бесконечной унитарной группе .

В геометрических конструкциях скрученной K-теории с H твистом $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ — слой расслоения, а разные скрутки H соответствуют разным расслоениям. Как видно ниже, топологически $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ представляет пространство Эйленберга – Маклейна $\mathrm {K} (\mathbb {Z} ,2)$ , поэтому классифицирующее пространство $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ расслоения — это пространство Эйленберга–Маклейна. $\mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)$ . $\mathrm {K} (\mathbb {Z} ,3)$ также является классифицирующим пространством для третьей целочисленной группы когомологий , поэтому $\mathrm {PU} ({\mathcal {H}})$ расслоения классифицируются по третьим целым когомологиям. В результате возможные повороты H скрученной K-теории являются в точности элементами третьих интегральных когомологий.

теория Янга – калибровочная Миллса Чистая

В чистой Янга–Миллса SU( n ) калибровочной теории , которая представляет собой калибровочную теорию только с глюонами и без фундаментальной материи, все поля преобразуются в сопряженной калибровочной группе SU( n ). $\mathbb {Z} /n$ центр SU( n ) коммутирует, находясь в центре, с полями со значениями SU( n ), поэтому присоединенное действие центра тривиально. Следовательно, калибровочная симметрия — это фактор SU( n ) по $\mathbb {Z} /n$ , который является PU( n ) и действует на поля, используя сопряженное действие, описанное выше.

В этом контексте различие между SU( n ) и PU( n ) имеет важное физическое следствие. SU( n ) односвязен, но фундаментальная группа PU( n ) $\mathbb {Z} /n$ , циклическая группа порядка n . Следовательно, калибровочная теория PU( n ) с присоединенными скалярами будет иметь нетривиальные вихри коразмерности 2 , в которых средние значения скаляров вращаются вокруг PU( n нетривиального цикла ), когда один окружает вихрь. Следовательно, эти вихри также имеют заряды в $\mathbb {Z} /n$ , что означает, что они притягиваются друг к другу и при n соприкосновении аннигилируют. Примером такого вихря является струна Дугласа–Шенкера в SU( n ) калибровочных теориях Зайберга–Виттена .

Ссылки [ править ]

Гроув, Ларри К. (2002), Классические группы и геометрическая алгебра , Аспирантура по математике , том. 39, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-2019-3 , МР: 1859189

См. также [ править ]