Вихрь

В гидродинамике вихрь .: ( мн. ч вихри или вихри ) ^[1]^[2] Это область жидкости, в которой поток вращается вокруг осевой линии, которая может быть прямой или изогнутой. ^[3]^[4] Вихри образуются в перемешиваемых жидкостях и могут наблюдаться в кольцах дыма , водоворотах за лодкой и ветрах, окружающих тропический циклон , торнадо или пыльный дьявол .

Вихри являются основным компонентом турбулентного потока . распределение скорости, завихренность ( завихрение скорости потока), а также понятие циркуляции Для характеристики вихрей используются . В большинстве вихрей скорость потока жидкости наибольшая вблизи его оси и уменьшается обратно пропорционально расстоянию от оси.

В отсутствие внешних сил вязкое трение внутри жидкости имеет тенденцию организовывать поток в совокупность безвихревых вихрей, возможно, наложенных на более крупномасштабные потоки, включая более крупномасштабные вихри. После формирования вихри могут двигаться, растягиваться, скручиваться и взаимодействовать сложным образом. Движущийся вихрь несет с собой некоторый угловой и линейный момент, энергию и массу.

Обзор [ править ]

В динамике жидкости вихрь — это жидкость, вращающаяся вокруг оси. Эта жидкость может быть изогнутой или прямой. Вихри образуются из перемешиваемых жидкостей: их можно наблюдать в кольцах дыма , водоворотах , в кильватере лодки или в ветрах вокруг торнадо или пылевого дьявола .

Вихри являются важной частью турбулентного потока . Вихри иначе можно назвать круговым движением жидкости. В случаях отсутствия сил жидкость оседает. Это заставляет воду оставаться неподвижной, а не двигаться.

Создаваясь, вихри могут двигаться, растягиваться, скручиваться и взаимодействовать сложным образом. Когда вихрь движется, иногда это может влиять на угловое положение.

Например, если ведро с водой постоянно вращается или вращается, оно будет вращаться вокруг невидимой линии, называемой осевой линией. Вращение происходит по кругу. В этом примере вращение ковша создает дополнительную силу.

Причина того, что вихри могут менять форму, заключается в том, что они имеют открытые пути частиц. Это может создать движущийся вихрь. Примерами этого факта являются формы торнадо и водоворотов .

Когда два или более вихрей находятся близко друг к другу, они могут сливаться, образуя вихрь. Вихри также удерживают энергию при вращении жидкости. Если энергия никогда не будет удалена, она будет состоять из кругового движения навсегда.

Свойства [ править ]

Завихренность [ править ]

Ключевым понятием в динамике вихрей является завихренность — вектор , описывающий локальное вращательное движение в точке жидкости, которое воспринимается наблюдателем, движущимся вместе с ним. Концептуально завихрение можно было бы наблюдать, поместив в рассматриваемую точку крошечный грубый шарик, который мог бы свободно перемещаться вместе с жидкостью, и наблюдая, как он вращается вокруг своего центра. Направление вектора завихренности определяется как направление оси вращения этого воображаемого шара (согласно правилу правой руки шара ), а его длина в два раза превышает угловую скорость . Математически завихренность определяется как вращение (или вращение) поля скоростей жидкости, обычно обозначаемое ${\vec {\omega }}$ и выражается формулой анализа векторного $\nabla \times {\vec {\mathit {u}}}$ , где $\nabla$ является оператором наблы и ${\vec {\mathit {u}}}$ — местная скорость потока. ^[5]

Локальное вращение, измеряемое завихренностью ${\vec {\omega }}$ не следует путать с вектором угловой скорости этой части жидкости относительно внешней среды или любой фиксированной оси. В вихре, в частности, ${\vec {\omega }}$ может быть противоположен вектору средней угловой скорости жидкости относительно оси вихря.

Типы вихрей [ править ]

Теоретически скорость $u$ частиц (и, следовательно, завихренность) в вихре может варьироваться в зависимости от расстояния $r$ от оси разными способами. Однако есть два важных особых случая:

Если жидкость вращается как твердое тело, то есть если угловая скорость вращения $Ω$ однородна, так что $u$ увеличивается пропорционально расстоянию $r$ от оси, крошечный шарик, увлекаемый потоком, также будет вращаться вокруг своего центра, как если бы он были частью этого твердого тела. В таком потоке завихренность всюду одинакова: ее направление параллельно оси вращения, а ее величина равна удвоенной равномерной угловой скорости $Ω$ жидкости вокруг центра вращения.
${\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=(0,0,\Omega ),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=(-\Omega y,\Omega x,0),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=(0,0,2\Omega )=2{\vec {\Omega }}.\end{aligned}}$

Если бы скорость частицы $u$ обратно пропорциональна расстоянию $r$ от оси, то воображаемый пробный шар не вращался бы вокруг себя; он будет сохранять ту же ориентацию, двигаясь по кругу вокруг оси вихря. В этом случае завихренность ${\vec {\omega }}$ равен нулю в любой точке за пределами этой оси, и поток называется безвихревым .
${\begin{aligned}{\vec {\Omega }}&=\left(0,0,\alpha r^{-2}\right),\quad {\vec {r}}=(x,y,0),\\{\vec {u}}&={\vec {\Omega }}\times {\vec {r}}=\left(-\alpha yr^{-2},\alpha xr^{-2},0\right),\\{\vec {\omega }}&=\nabla \times {\vec {u}}=0.\end{aligned}}$

Безвихревые вихри [ править ]

Линии движения частиц жидкости вокруг оси (пунктирная линия) идеального безвихревого вихря. (Смотрите анимацию .)

В отсутствие внешних сил вихрь обычно достаточно быстро эволюционирует в сторону безвихревого режима течения. ^{[ нужна ссылка ]}, где скорость потока $u$ обратно пропорциональна расстоянию $r$ . Безвихревые вихри еще называют свободными вихрями .

Для безвихревого вихря циркуляция равна нулю вдоль любого замкнутого контура, не охватывающего ось вихря; и имеет фиксированное значение $Γ$ для любого контура, который один раз охватывает ось. ^[6] Тогда тангенциальная составляющая скорости частицы равна $u_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi r}}$ . Таким образом, угловой момент единицы массы относительно оси вихря постоянен: $ru_{\theta }={\tfrac {\Gamma }{2\pi }}$ .

Идеальный безвихревой вихревой поток в свободном пространстве физически нереализуем, поскольку это означало бы, что скорость частиц (и, следовательно, сила, необходимая для удержания частиц на их круговых траекториях) будет неограниченно расти по мере приближения к оси вихря. Действительно, в реальных вихрях всегда существует область ядра, окружающая ось, где скорость частицы перестает увеличиваться, а затем уменьшается до нуля при $стремлении r$ к нулю. Внутри этой области течение уже не является безвихревым: завихренность ${\vec {\omega }}$ становится отличным от нуля, с направлением, примерно параллельным оси вихря. — Вихрь Ренкина это модель, которая предполагает вращательный поток твердого тела, где $r$ меньше фиксированного расстояния $r$ ₀ , и безвихревой поток за пределами этих основных областей.

В вязкой жидкости безвихревой поток повсюду содержит вязкую диссипацию, однако нет результирующих вязких сил, а есть только вязкие напряжения. ^[7] Из-за диссипации это означает, что для поддержания безвихревого вязкого вихря требуется непрерывный вклад работы в ядро (например, путем постоянного вращения цилиндра в ядре). В свободном пространстве в ядро не поступает энергия, и поэтому компактная завихренность, удерживаемая в ядре, естественным образом диффундирует наружу, превращая ядро в постепенно замедляющийся и постепенно растущий поток твердого тела, окруженный первоначальным безвихревым потоком. Такой затухающий безвихревой вихрь имеет точное решение вязких уравнений Навье-Стокса , известное как вихрь Лэмба-Озеена .

Вращательные вихри [ править ]

Вращательный вихрь – вихрь, который вращается так же, как твердое тело – не может существовать бесконечно в этом состоянии, кроме как за счет приложения некоторой дополнительной силы, которая не создается самим движением жидкости. Оно имеет ненулевую завихренность повсюду за пределами ядра. Вращательные вихри также называют вихрями твердого тела или вынужденными вихрями.

Например, если ведро с водой вращается с постоянной угловой скоростью $w$ вокруг своей вертикальной оси, вода в конечном итоге будет вращаться как твердое тело. Тогда частицы будут двигаться по окружностям со скоростью $u,$ равной $wr$ . ^[6] В этом случае свободная поверхность воды примет параболическую форму.

В этой ситуации жесткая вращающаяся оболочка создает дополнительную силу – дополнительный градиент давления в воде, направленный внутрь, препятствующий переходу твердотельного потока в безвихревое состояние.

Образование вихрей на границах [ править ]

Вихревые структуры определяются их завихренностью , локальной скоростью вращения частиц жидкости. Они могут образовываться в результате явления, известного как разделение пограничного слоя , которое может произойти, когда жидкость движется по поверхности и испытывает быстрое ускорение от скорости жидкости до нуля из-за условия прилипания . Это быстрое отрицательное ускорение создает пограничный слой , который вызывает локальное вращение жидкости у стенки (т.е. завихрение ), которое называется скоростью сдвига стенки. Толщина этого пограничного слоя пропорциональна $\surd (vt)$ (где v — скорость жидкости набегающего потока, а t — время).

Если диаметр или толщина сосуда или жидкости меньше толщины пограничного слоя, то пограничный слой не отделится и вихри не образуются. Однако, когда пограничный слой действительно превышает эту критическую толщину пограничного слоя, произойдет отрыв, который приведет к образованию вихрей.

Этот отрыв пограничного слоя может также произойти при наличии противодействующих градиентов давления (т.е. давления, которое развивается вниз по потоку). Это присутствует в искривленных поверхностях, и общая геометрия изменяется, как у выпуклой поверхности. Уникальным примером серьезных геометрических изменений является задняя кромка обтекаемого тела , где происходит торможение потока жидкости и, следовательно, образование пограничного слоя и вихря.

Другая форма образования вихрей на границе — это когда жидкость течет перпендикулярно стенке и создает эффект всплеска. Линии тока сразу же отклоняются и замедляются, так что пограничный слой отделяется и образует тороидальное вихревое кольцо. ^[8]

Геометрия вихря [ править ]

В стационарном вихре типичная линия тока (линия, которая всюду касается вектора скорости потока) представляет собой замкнутый контур, окружающий ось; и каждая вихревая линия (линия, которая всюду касается вектора завихренности) примерно параллельна оси. Поверхность, которая всюду касается как скорости потока, так и завихренности, называется вихревой трубой . Обычно вихревые трубки расположены вокруг оси вращения. Сама ось является одной из вихревых линий, предельным случаем вихревой трубки нулевого диаметра.

Согласно теоремам Гельмгольца , вихревая линия не может начинаться или заканчиваться в жидкости – за исключением мгновения, в нестационарном потоке, пока вихрь формируется или рассеивается. В общем случае вихревые линии (в частности, осевая линия) либо представляют собой замкнутые петли, либо заканчиваются на границе жидкости. Примером последнего является водоворот, а именно вихрь в водоеме, ось которого заканчивается на свободной поверхности. Вихревая труба, все вихревые линии которой замкнуты, будет представлять собой замкнутую поверхность, подобную тору .

Вновь созданный вихрь будет быстро расширяться и изгибаться, чтобы устранить любые открытые вихревые линии. Например, при запуске двигателя самолета перед каждым пропеллером или турбовентиляторным двигателем каждого реактивного двигателя обычно образуется вихрь . Один конец вихревой линии прикреплен к двигателю, а другой конец обычно вытягивается и изгибается, пока не достигнет земли.

Когда вихри становятся видимыми благодаря дыму или чернильным следам, может показаться, что они имеют спиральные траектории или линии тока. Однако эта видимость часто является иллюзией, и частицы жидкости движутся по замкнутым траекториям. Спиральные полосы, которые принимаются за линии тока, на самом деле представляют собой облака маркерной жидкости, которые первоначально охватывали несколько вихревых трубок и были растянуты в спиральные формы из-за неравномерного распределения скорости потока.

Давление в вихре [ править ]

Движение жидкости в вихре создает динамическое давление (помимо всякого гидростатического давления), которое наименьшее в области ядра, ближайшей к оси, и возрастает по мере удаления от нее, в соответствии с принципом Бернулли . Можно сказать, что именно градиент этого давления заставляет жидкость следовать по изогнутой траектории вокруг оси.

В твердотельном вихревом течении жидкости постоянной плотности динамическое давление пропорционально квадрату расстояния $r$ от оси. В постоянном силы тяжести поле свободная поверхность жидкости, если она имеется, представляет собой вогнутый параболоид .

В безвихревом вихревом потоке с постоянной плотностью жидкости и цилиндрической симметрией динамическое давление изменяется как $P ∞ − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}К / р 2$ , где $P \infty$ — предельное давление на бесконечном удалении от оси. Эта формула обеспечивает еще одно ограничение на размер ядра, поскольку давление не может быть отрицательным. Свободная поверхность (если она есть) резко падает вблизи оси, глубина обратно пропорциональна $r. 2$ . Форма, образованная свободной поверхностью, называется гиперболоидом , или « Рогом Гавриила » ( Еванджелиста Торричелли ).

Ядро вихря в воздухе иногда видно, потому что водяной пар конденсируется , поскольку низкое давление ядра вызывает адиабатическое охлаждение ; воронка торнадо является примером. Когда вихревая линия заканчивается на граничной поверхности, пониженное давление также может перетянуть вещество с этой поверхности в ядро. Например, пылевой дьявол — это столб пыли, подхваченный ядром воздушного вихря, прикрепленного к земле. Вихрь, который заканчивается на свободной поверхности водоема (например, водоворот, который часто образуется над сливом ванны), может затянуть столб воздуха вниз по ядру. Прямой вихрь, исходящий от реактивного двигателя припаркованного самолета, может засасывать воду и мелкие камни в активную зону, а затем в двигатель.

Эволюция [ править ]

Вихри не обязательно должны быть установившимися; они могут двигаться и менять форму. В движущемся вихре пути частиц не замкнуты, а представляют собой открытые извилистые кривые, подобные спиралям и циклоидам . Вихревой поток также может сочетаться с радиальным или осевым режимом течения. В этом случае линии тока и траектории представляют собой не замкнутые кривые, а спирали или спирали соответственно. Так обстоит дело с торнадо и водоворотами. Вихрь со спиральными линиями тока называется соленоидальным .

Пока влияние вязкости и диффузии незначительно, жидкость в движущемся вихре увлекается вместе с ней. В частности, жидкость в ядре (и захваченная ею материя) имеет тенденцию оставаться в ядре по мере движения вихря. Это следствие второй теоремы Гельмгольца . Таким образом, вихри (в отличие от поверхностных волн и волн давления ) могут переносить массу, энергию и импульс на значительные расстояния по сравнению с их размером, с удивительно небольшой дисперсией. Этот эффект демонстрируется кольцами дыма и используется в игрушках и пистолетах с вихревыми кольцами .

Два или более вихрей, которые примерно параллельны и циркулируют в одном направлении, притягиваются и в конечном итоге сливаются, образуя один вихрь, циркуляция которого будет равна сумме циркуляций составляющих вихрей. Например, крыло самолета , развивающее подъемную силу, создаст на своей задней кромке полосу мелких вихрей. Эти маленькие вихри сливаются, образуя единый вихрь на законцовке крыла , расположенный менее чем в одной хорде крыла ниже по потоку от этого края. Это явление также происходит с другими активными профилями , такими как лопасти воздушного винта . С другой стороны, два параллельных вихря с противоположными циркуляциями (например, два вихря на законцовках самолета) имеют тенденцию оставаться отдельными.

Вихри содержат значительную энергию при круговом движении жидкости. В идеальной жидкости эта энергия никогда не может рассеяться, и вихрь будет существовать вечно. Однако реальные жидкости обладают вязкостью , и это очень медленно рассеивает энергию из ядра вихря. Только за счет диссипации вихря из-за вязкости вихревая линия может закончиться в жидкости, а не на границе жидкости.

Дальнейшие примеры [ править ]

В гидродинамической интерпретации поведения электромагнитных полей ускорение электрической жидкости в определенном направлении создает положительный вихрь магнитной жидкости. Это, в свою очередь, создает вокруг себя соответствующий отрицательный вихрь электрической жидкости. Точные решения классических нелинейных магнитных уравнений включают уравнение Ландау–Лифшица , континуальную модель Гейзенберга , уравнение Ишимори и нелинейное уравнение Шрёдингера .
Вихревые кольца представляют собой вихри в форме тора , ось вращения которых представляет собой непрерывную замкнутую кривую. Кольца дыма и кольца пузырей — два хорошо известных примера.
Подъемную силу крыльев самолета , винта лопастей , парусов и других аэродинамических профилей можно объяснить созданием вихря, наложенного на поток воздуха, проходящего мимо крыла.
Аэродинамическое сопротивление во многом можно объяснить образованием в окружающей жидкости вихрей, уносящих энергию от движущегося тела.
Большие водовороты могут образовываться океанскими приливами в определенных проливах или заливах . Примерами являются Харибда из классической мифологии проливе в Мессинском , Италия; водовороты Наруто в Нанкайдо , Япония; и Водоворот на Лофотенских островах , Норвегия.
Вихри в атмосфере Земли — важное явление для метеорологии . К ним относятся мезоциклоны масштабом в несколько миль, торнадо, водяные смерчи и ураганы. Эти вихри часто возникают из-за изменений температуры и влажности с высотой. На направление вращения ураганов влияет вращение Земли. Другой пример — Полярный вихрь , постоянный крупномасштабный циклон с центром вблизи полюсов Земли, в средней и верхней тропосфере и стратосфере.
Вихри — характерная черта атмосфер других планет . К ним относятся постоянное Большое Красное Пятно на Юпитере , периодическое Темное Пятно на Нептуне , полярные вихри Венеры , марсианские пылевые дьяволы и Северный полярный шестиугольник Сатурна Большое .
Солнечные пятна — это темные области на видимой поверхности Солнца ( фотосфере ), отмеченные более низкой температурой, чем окружающая среда, и интенсивной магнитной активностью.
Аккреционные диски черных дыр и других массивных источников гравитации.
Течение Тейлора – Куэтта возникает в жидкости между двумя вложенными друг в друга цилиндрами, один из которых вращается, а другой неподвижен.

См. также [ править ]

Искусственная гравитация – использование круговой вращательной силы для имитации гравитации.
Вихрь Бэтчелора - уравнение гидродинамики.
Закон Био – Савара - Важный закон классического магнетизма.
Вращение координат – движение определенного пространства, сохраняющее хотя бы одну точку.
Циклонная сепарация - метод удаления частиц из потока жидкости посредством вихревого разделения.
Вихрь – завихрение жидкости и обратный ток, возникающий, когда жидкость находится в турбулентном режиме потока.
Круговорот – любая крупная система циркулирующих поверхностных течений океана.
Теоремы Гельмгольца - трехмерное движение жидкости вблизи вихревых линий
История механики жидкости
Подковообразный вихрь - система, присутствующая в потоке воздуха вокруг крыла.
Ураган — быстро вращающаяся штормовая система.
Вихревая улица Кармана – повторяющийся узор из закрученных вихрей.
Неустойчивость Кельвина – Гельмгольца - явление механики жидкости.
Квантовый вихрь - квантованная циркуляция потока некоторой физической величины.
Вихрь Ренкина - Математическая формула для вязкой жидкости
Эффект занавески для душа - явление, когда занавеску для душа затягивает внутрь проходящий душ.
Число Струхаля - безразмерное число, описывающее механизмы осциллирующего потока.
Вихревой двигатель – альтернатива высоким дымоходам
Вихревая труба - Устройство для разделения сжатого газа на горячий и холодный потоки.
Вихревой туннель — устройство для различных аттракционов и аттракционов.
Вихревой охладитель — устройство для разделения сжатого газа на горячий и холодный потоки.
Проекты VORTEX – Полевые эксперименты по изучению торнадо
Образование вихрей - эффект осциллирующего потока, возникающий в результате прохождения жидкости по тупому телу.
Растяжение вихрей - удлинение вихрей в трехмерном потоке жидкости.
Вихревая вибрация - движения, вызываемые телами в потоке жидкости из-за вихрей в жидкости.
Завихренность - псевдовекторное поле, описывающее локальное вращение континуума вблизи некоторой точки.
Вихревая трубка – Вихревой аэрофон
Червоточина - гипотетическая топологическая особенность пространства-времени.

Ссылки [ править ]

Примечания [ править ]

^ «вихрь» . Оксфордские онлайн-словари (ODO) . Издательство Оксфордского университета. Архивировано из оригинала 3 февраля 2013 года . Проверено 29 августа 2015 г.
^ «вихрь» . Мерриам-Вебстер Онлайн . Мерриам-Вебстер, Инк . Проверено 29 августа 2015 г.
^ Тинг, Л. (1991). Вязкие вихревые течения . Конспект лекций по физике. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-53713-7 .
^ Кида, Сигео (2001). Жизнь, структура и динамическая роль вихревого движения в турбулентности (PDF) . Симпозиум IUTAMim по трубам, листам и особенностям гидродинамики. Закопане, Польша.
^ Валлис, Джеффри (1999). Геострофическая турбулентность: Макротурбулентность атмосферы и океана. Конспекты лекций (PDF) . Конспекты лекций. Принстонский университет . п. 1. Архивировано из оригинала (PDF) 28 декабря 2013 г. Проверено 26 сентября 2012 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Клэнси 1975 , подраздел 7.5.
^ Сираков, Б.Т.; Грейтцер, Э.М.; Тан, CS (2005). «Заметка о безвихревом вязком течении». Физика жидкостей . 17 (10): 108102–108102–3. Бибкод : 2005PhFl...17j8102S . дои : 10.1063/1.2104550 . ISSN 1070-6631 .
^ Херадвар, Араш; Педрицетти, Джанни (2012), «Динамика вихрей» , Формирование вихрей в сердечно-сосудистой системе , Лондон: Springer London, стр. 17–44, doi : 10.1007/978-1-4471-2288-3_2 , ISBN 978-1-4471-2287-6 , получено 16 марта 2021 г.

Другое [ править ]

Лопер, Дэвид Э. (ноябрь 1966 г.). Анализ ограниченных магнитогидродинамических вихревых потоков (PDF) (отчет подрядчика НАСА NASA CR-646). Вашингтон: Национальное управление по аэронавтике и исследованию космического пространства. LCCN 67060315 .
Бэтчелор, ГК (1967). Введение в гидродинамику . Кембриджский университет. Нажимать. Ч. 7 и след. ISBN 9780521098175 .
Фалькович, Г. (2011). Механика жидкости, краткий курс для физиков . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-00575-4 .
Клэнси, ЖЖ (1975). Аэродинамика . Лондон: Pitman Publishing Limited. ISBN 978-0-273-01120-0 .
Де Ла Фуэнте Маркос, К.; Баржа, П. (2001). «Влияние долгоживущей вихревой циркуляции на динамику пылевых частиц в средней плоскости протопланетного диска» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 323 (3): 601–614. Бибкод : 2001MNRAS.323..601D . дои : 10.1046/j.1365-8711.2001.04228.x .

Внешние ссылки [ править ]

Оптические вихри
Видео столкновения двух водных вихревых колец ( MPEG )
Глава 3. Вращательные потоки: циркуляция и турбулентность
Лаборатория исследования вихревых потоков (MIT) - исследование потоков, встречающихся в природе, и часть Департамента океанической инженерии.

[1] «вихрь» . Оксфордские онлайн-словари (ODO) . Издательство Оксфордского университета. Архивировано из оригинала 3 февраля 2013 года . Проверено 29 августа 2015 г.

[2] «вихрь» . Мерриам-Вебстер Онлайн . Мерриам-Вебстер, Инк . Проверено 29 августа 2015 г.

[3] Тинг, Л. (1991). Вязкие вихревые течения . Конспект лекций по физике. Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-53713-7 .

[4] Кида, Сигео (2001). Жизнь, структура и динамическая роль вихревого движения в турбулентности (PDF) . Симпозиум IUTAMim по трубам, листам и особенностям гидродинамики. Закопане, Польша.

[5] Валлис, Джеффри (1999). Геострофическая турбулентность: Макротурбулентность атмосферы и океана. Конспекты лекций (PDF) . Конспекты лекций. Принстонский университет . п. 1. Архивировано из оригинала (PDF) 28 декабря 2013 г. Проверено 26 сентября 2012 г.

[LJC7.5-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Клэнси 1975 , подраздел 7.5.

[SirakovGreitzer2005-7] Сираков, Б.Т.; Грейтцер, Э.М.; Тан, CS (2005). «Заметка о безвихревом вязком течении». Физика жидкостей . 17 (10): 108102–108102–3. Бибкод : 2005PhFl...17j8102S . дои : 10.1063/1.2104550 . ISSN 1070-6631 .

[8] Херадвар, Араш; Педрицетти, Джанни (2012), «Динамика вихрей» , Формирование вихрей в сердечно-сосудистой системе , Лондон: Springer London, стр. 17–44, doi : 10.1007/978-1-4471-2288-3_2 , ISBN 978-1-4471-2287-6 , получено 16 марта 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]