Теоремы Гельмгольца

В механике жидкости теоремы Гельмгольца , названные в честь Германа фон Гельмгольца , описывают трехмерное движение жидкости вблизи вихревых линий. Эти теоремы применимы к невязким течениям и течениям, в которых влияние вязких сил мало и им можно пренебречь.

Три теоремы Гельмгольца таковы: ^{[ 1 ]}

Первая теорема Гельмгольца: Сила вихревой линии постоянна по всей ее длине.
Вторая теорема Гельмгольца: Вихревая линия не может заканчиваться в жидкости; он должен доходить до границ жидкости или образовывать замкнутый путь.
Третья теорема Гельмгольца: Жидкий элемент, который изначально является безвихревым, остается безвихревым.

Теоремы Гельмгольца применимы к невязким потокам. При наблюдениях вихрей в реальных жидкостях сила вихрей всегда постепенно затухает из-за диссипативного действия вязких сил .

Альтернативные выражения трех теорем следующие:

Сила вихревой трубы не меняется со временем. ^{[ 2 ]}
Элементы жидкости, лежащие на вихревой линии, в какой-то момент продолжают лежать на этой вихревой линии. Проще говоря, вихревые линии движутся вместе с жидкостью. Кроме того, вихревые линии и трубы должны выглядеть как замкнутый контур, простираться до бесконечности или начинаться/кончаться на твердых границах.
Элементы жидкости, изначально свободные от завихренности, остаются свободными от завихренности.

Теоремы Гельмгольца имеют применение в понимании:

Теоремы Гельмгольца теперь обычно доказываются со ссылкой на теорему о циркуляции Кельвина . Однако теоремы Гельмгольца были опубликованы в 1858 году. ^{[ 3 ]} за девять лет до публикации теоремы Кельвина в 1867 году.

Примечания

^ Кюте и Шетцер, Основы аэродинамики , раздел 2.14.
^ Сила вихревой трубы ( циркуляции ) определяется как: $\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$ где $\Gamma$ это также циркуляция, ${\vec {\omega }}$ – завихренности вектор , ${\vec {n}}$ — вектор нормали к поверхности A , образованный поперечным сечением вихревой трубы с элементарной площадью dA , ${\vec {u}}$ — вектор скорости на замкнутой кривой C ограничивающей поверхность A. , Соглашение для определения направления циркуляции и нормали к поверхности A определяется правилом правого винта . Третья теорема утверждает, что эта сила одинакова для всех сечений А трубки и не зависит от времени. Это эквивалентно высказыванию ${\frac {D\Gamma }{Dt}}=0$
^ Гельмгольц, Х. (1858). «Об интегралах гидродинамических уравнений, соответствующих вихревым движениям» . Журнал чистой и прикладной математики . 55 :25-55. ISSN 0075-4102 .

Ссылки

М. Дж. Лайтхилл, Неофициальное введение в теоретическую механику жидкости , Oxford University Press, 1986, ISBN 0-19-853630-5
П.Г. Саффман , Вихревая динамика , издательство Кембриджского университета, 1995, ISBN 0-521-42058-X
Г. К. Бэтчелор , Введение в гидродинамику , издательство Кембриджского университета (1967, переиздано в 2000 году).
Кунду П. и Коэн И., Механика жидкости , 2-е издание, Academic Press, 2002 г.
Джордж Б. Арфкен и Ханс Дж. Вебер, Математические методы для физиков , 4-е издание, Academic Press: Сан-Диего (1995), стр. 92–93.
AM Kuethe и JD Schetzer (1959), Основы аэродинамики , 2-е издание. John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк ISBN 0-471-50952-3

[1] Кюте и Шетцер, Основы аэродинамики , раздел 2.14.

[2] Сила вихревой трубы ( циркуляции ) определяется как: $\Gamma =\int _{A}{\vec {\omega }}\cdot {\vec {n}}dA=\oint _{c}{\vec {u}}\cdot d{\vec {s}}$ где $\Gamma$ это также циркуляция, ${\vec {\omega }}$ – завихренности вектор , ${\vec {n}}$ — вектор нормали к поверхности A , образованный поперечным сечением вихревой трубы с элементарной площадью dA , ${\vec {u}}$ — вектор скорости на замкнутой кривой C ограничивающей поверхность A. , Соглашение для определения направления циркуляции и нормали к поверхности A определяется правилом правого винта . Третья теорема утверждает, что эта сила одинакова для всех сечений А трубки и не зависит от времени. Это эквивалентно высказыванию ${\frac {D\Gamma }{Dt}}=0$

[3] Гельмгольц, Х. (1858). «Об интегралах гидродинамических уравнений, соответствующих вихревым движениям» . Журнал чистой и прикладной математики . 55 :25-55. ISSN 0075-4102 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]