Теорема Кельвина о циркуляции

В жидкости механике теорема Кельвина о циркуляции (названная в честь Уильяма Томсона, 1-го барона Кельвина, опубликовавшего ее в 1869 году) гласит:

В баротропной идеальной жидкости с консервативными объемными силами циркуляция вокруг замкнутой кривой (включающей одни и те же элементы жидкости), движущейся вместе с жидкостью, остается постоянной во времени.

Математически сформулировано:

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0$

где $\Gamma$ это циркуляция вокруг движущегося контура материала $C(t)$ как функция времени $t$. Дифференциальный оператор $\mathrm {D}$ – это существенная (материальная) производная, движущаяся вместе с частицами жидкости. Проще говоря, эта теорема гласит, что если наблюдать замкнутый контур в один момент и следовать за контуром во времени (следя за движением всех его жидких элементов), то циркуляция в двух местах этого контура останется постоянной.

Эта теорема не справедлива в случаях вязких напряжений, неконсервативных объемных сил (например, силы Кориолиса ) или небаротропных соотношений давления и плотности.

Математическое доказательство

Смотрите также: уравнения Эйлера (гидродинамика)

Тираж $\Gamma$ вокруг замкнутого контура материала $C(t)$ определяется:

$\Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$

где u — вектор скорости, ds — элемент вдоль замкнутого контура.

Основное уравнение для невязкой жидкости с консервативной массовой силой:

${\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi$

где D/D t — производная конвекции , ρ — плотность жидкости, p — давление, а Φ — потенциал объемной силы. Это уравнения Эйлера с объемной силой.

Условие баротропности означает, что плотность является функцией только давления, т.е. $\rho =\rho (p)$.

Взяв конвективную производную циркуляции, получим

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}.$

Для первого члена мы подставляем из основного уравнения, а затем применяем теорему Стокса , таким образом:

$\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.$

Окончательное равенство возникает, поскольку ${\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p=0$ из-за баротропности. Мы также воспользовались тем фактом, что ротор любого градиента обязательно равен 0, или ${\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\nabla }}f=0$ для любой функции $f$.

Для второго члена отметим, что эволюция элемента материальной линии определяется выражением

${\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}.$

Следовательно

$\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0.$

Последнее равенство получается применением градиентной теоремы .

Поскольку оба слагаемых равны нулю, получаем результат

${\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0.$

Теорема Пуанкаре – Бьеркнеса о циркуляции

Подобный принцип, сохраняющий величину, можно получить и для вращающейся системы отсчета, известный как теорема Пуанкаре-Бьеркнеса, названная в честь Анри Пуанкаре и Вильгельма Бьеркнеса , которые вывели инвариант в 1893 году. и 1898. Теорему можно применить к вращающейся системе отсчета, которая вращается с постоянной угловой скоростью, заданной вектором ${\boldsymbol {\Omega }}$, для модифицированной циркуляции

$\Gamma (t)=\oint _{C}({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}$

Здесь ${\boldsymbol {r}}$ — положение области жидкости. По теореме Стокса это:

$\Gamma (t)=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {u}}+{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {r}})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}({\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S$

Завихренность поля скорости в гидродинамике определяется следующим образом:

${\boldsymbol {\omega }}={\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {u}}$

Затем:

$\Gamma (t)=\int _{A}({\boldsymbol {\omega }}+2{\boldsymbol {\Omega }})\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S$

См. также

• Принцип Бернулли
• Уравнения Эйлера (гидродинамика)
• Теоремы Гельмгольца
• Термомагнитная конвекция