Бэтчелорский вихрь

В гидродинамике вихри Бэтчелора , впервые описанные Джорджем Бэтчелором в статье 1964 года, оказались полезными при анализе проблем опасности вихревого следа самолета. ^[1]^[2]

Модель

Вихрь Бэтчелора представляет собой приближенное решение уравнений Навье–Стокса, полученное с использованием приближения пограничного слоя . Физическим обоснованием этого приближения является предположение, что осевой градиент интересующего поля течения имеет гораздо меньшую величину, чем радиальный градиент.
Осевая, радиальная и азимутальная составляющие скорости вихря обозначены $U$ , $V$ и $W$ соответственно и могут быть представлены в цилиндрических координатах $(x,r,\theta )$ следующее:

{\begin{array}{cl}U(r)&=U_{\infty }+{\frac {W_{0}}{(R/R_{0})^{2}}}e^{-(r/R)^{2}},\\V(r)&=0,\\W(r)&=qW_{0}{\frac {1-e^{-(r/R)^{2}}}{(r/R_{0})}}.\end{array}}

Параметры в приведенных выше уравнениях:

$U_{\infty }$ , осевая скорость набегающего потока,
$W_{0}$ , масштаб скорости (используется для обезразмеривания),
$R_{0}$ , масштаб длины (используется для обезразмеривания),
$R=R(t)={\sqrt {R_{0}^{2}+4\nu t}}$ , мера размера ядра, с начальным размером ядра $R_{0}$ и $\nu$ представляющий вязкость,
$q$ , сила вихря, определяемая как отношение максимальной тангенциальной скорости к скорости ядра.

Отметим, что радиальная составляющая скорости равна нулю, а осевая и азимутальная составляющие зависят только от $r$ .
Теперь мы запишем приведенную выше систему в безразмерной форме, масштабируя время в коэффициенте $R_{0}/W_{0}$ . Используя те же символы для безразмерных переменных, вихрь Бэтчелора можно выразить через безразмерные переменные как

\left\lbrace {\begin{array}{cl}U(r)&=a+\displaystyle {{\frac {1}{1+4t/Re}}e^{-r^{2}/(1+4t/Re)}},\\V(r)&=0,\\W(r)&=q\displaystyle {\frac {1-e^{-r^{2}/(1+4t/Re)}}{r}},\end{array}}\right.

где $a=U_{\infty }/W_{0}$ обозначает осевую скорость набегающего потока и $Re$ это число Рейнольдса .

Если кто-то позволит $a=0$ Бэтчелора и учитывает бесконечно большое число вихрей, тогда вихрь упрощается до вихря Лэмба – Озеена для азимутальной скорости:

W_{\Theta }(r)={\frac {\Gamma }{2\pi r}}\left(1-e^{-r^{2}/R_{c}^{2}}\right)

где $\Gamma$ это тираж.

Ссылки

^ Бэтчелор, ГК (1964). Осевое течение в вихрях на задней линии. Журнал механики жидкости, 20 (4), 645–658.
^ «Теоретический и численный анализ вихревых следов» (PDF) . ЕСАИМ . Проверено 29 июля 2015 г.

Внешние ссылки

Непрерывные спектры вихря Бэтчелора (авторы Сюэри Мао и Спенсер Шервин и опубликованы Имперским колледжем Лондона )

Эта гидродинамике, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Бэтчелор, ГК (1964). Осевое течение в вихрях на задней линии. Журнал механики жидкости, 20 (4), 645–658.

[2] «Теоретический и численный анализ вихревых следов» (PDF) . ЕСАИМ . Проверено 29 июля 2015 г.

[1]

[2]