Модель Ландау – Лифшица

Чтобы узнать о другом уравнении Ландау–Лифшица, описывающем магнетизм, см. Уравнение Ландау–Лифшица–Гильберта .

В физике твердого тела уравнение Ландау -Лифшица ( LLE ), названное в честь Льва Ландау и Евгения Лифшица , представляет собой уравнение в частных производных , описывающее временную эволюцию магнетизма в твердых телах в зависимости от 1 временной переменной и 1, 2 или 3 пространственных переменных. .

Уравнение Ландау–Лифшица

LLE описывает анизотропный магнит. Уравнение описано в ( Фаддеев и Тахтажан 2007 , глава 8) следующим образом: это уравнение для векторного поля S , другими словами, функция на R ^{1+ н} принимая значения в R ³ . размером 3х3 Уравнение зависит от фиксированной симметричной матрицы J , которая обычно считается диагональной ; то есть, $J=\operatorname {diag} (J_{1},J_{2},J_{3})$. Тогда LLE задается уравнением движения Гамильтона для гамильтониана

$H={\frac {1}{2}}\int \left[\sum _{i}\left({\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial x_{i}}}\right)^{2}-J(\mathbf {S} )\right]\,dx\qquad (1)$

(где J ( S ) — квадратичная форма J , примененная к вектору S ) который

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \sum _{i}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x_{i}^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (2)$

В измерениях 1+1 это уравнение имеет вид

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge {\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (3)$

В измерениях 2+1 это уравнение принимает вид

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} \qquad (4)$

который представляет собой (2+1)-мерный LLE. Для (3+1)-мерного случая LLE имеет вид

${\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}=\mathbf {S} \wedge \left({\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {S} }{\partial z^{2}}}\right)+\mathbf {S} \wedge J\mathbf {S} .\qquad (5)$

Интегрируемые редукции

В общем случае ЛЛЭ (2) неинтегрируема, но допускает две интегрируемые редукции:

а) в измерениях 1+1, то есть уравнение. (3) оно интегрируемо

б) когда $J=0$. В этом случае (1+1)-мерное ЛПУ (3) превращается в непрерывное классическое уравнение Гейзенберга для ферромагнетика (см., например, модель Гейзенберга (классическая) ), которое уже интегрируемо.

См. также

• Нелинейное уравнение Шрёдингера
• Модель Гейзенберга (классическая)
• Спиновая волна
• Микромагнетизм
• уравнение Ишимори
• Магнит
• Ферромагнетизм

Ссылки

• Фаддеев, Людвиг Д.; Тахтаян, Леон А. (2007), Гамильтоновы методы в теории солитонов , Классика математики, Берлин: Springer, стр. x+592, doi : 10.1007/978-3-540-69969-9 , ISBN  978-3-540-69843-2 , МР   2348643
• Го, Болин; Дин, Шиджин (2008), Уравнения Ландау-Лифшица , Границы исследований Китайской академии наук, World Scientific Publishing Company, ISBN  978-981-277-875-8
• Косевич А.М. , Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагничивания. Динамические и топологические солитоны. – Киев: Наукова думка , 1988. – 192 с.