Классическая модель Гейзенберга

Классическая модель Гейзенберга , разработанная Вернером Гейзенбергом , представляет собой $n=3$ случай n-векторной модели , одной из моделей, используемых в статистической физике для моделирования ферромагнетизма и других явлений.

Определение

Классическую модель Гейзенберга можно сформулировать следующим образом: возьмите d-мерную решетку и поместите в нее набор спинов единичной длины,

{\vec {s}}_{i}\in \mathbb {R} ^{3},|{\vec {s}}_{i}|=1\quad (1)

,

на каждом узле решетки.

Модель определяется с помощью следующего гамильтониана :

{\mathcal {H}}=-\sum _{i,j}{\mathcal {J}}_{ij}{\vec {s}}_{i}\cdot {\vec {s}}_{j}\quad (2)

где

{\mathcal {J}}_{ij}={\begin{cases}J&{\mbox{if }}i,j{\mbox{ are neighbors}}\\0&{\mbox{else.}}\end{cases}}

представляет собой связь между спинами.

Общий математический формализм, используемый для описания и решения модели Гейзенберга и некоторых обобщений, развит в статье о модели Поттса .
В пределе континуума модель Гейзенберга (2) дает следующее уравнение движения

{\vec {S}}_{t}={\vec {S}}\wedge {\vec {S}}_{xx}.

Это уравнение называется непрерывным классическим уравнением ферромагнетика Гейзенберга или, короче, моделью Гейзенберга и интегрируемо в смысле теории солитонов. Оно допускает несколько интегрируемых и неинтегрируемых обобщений, таких как уравнение Ландау-Лифшица , уравнение Ишимори и так далее.

В случае дальнего взаимодействия $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ , термодинамический предел хорошо определен, если $\alpha >1$ ; намагниченность остается равной нулю, если $\alpha \geq 2$ ; но намагниченность положительна при достаточно низкой температуре, если $1<\alpha <2$ (инфракрасные границы).
«ближайшего соседа» Как и в любой n-векторной модели со свободными граничными условиями, если внешнее поле равно нулю, существует простое точное решение.

В случае дальнего взаимодействия $J_{x,y}\sim |x-y|^{-\alpha }$ , термодинамический предел хорошо определен, если $\alpha >2$ ; намагниченность остается равной нулю, если $\alpha \geq 4$ ; но намагниченность положительна при достаточно низкой температуре, если $2<\alpha <4$ (инфракрасные границы).
Поляков предположил, что в отличие от классической модели XY отсутствует дипольная фаза для любого $T>0$ ; а именно, при ненулевых температурах корреляции кластеризуются экспоненциально быстро. ^[1]

Независимо от области взаимодействия, при достаточно низкой температуре намагниченность положительна.

Предположительно, в каждом из низкотемпературных экстремальных состояний усеченные корреляции алгебраически затухают.

^ Поляков, А.М. (1975). «Взаимодействие частиц золотого камня в двух измерениях. Приложения к ферромагнетикам и массивным полям Янга-Миллса». Физ. Летт . Б 59 (1): 79–81. Бибкод : 1975PhLB...59...79P . дои : 10.1016/0370-2693(75)90161-6 .