Векторное исчисление

Векторное исчисление или векторный анализ — раздел математики, занимающийся дифференцированием и интегрированием векторных полей , прежде всего в трёхмерном евклидовом пространстве . $\mathbb {R} ^{3}.$ Термин векторное исчисление иногда используется как синоним более широкого предмета исчисления многих переменных , который охватывает векторное исчисление, а также частичное дифференцирование и множественное интегрирование . Векторное исчисление играет важную роль в дифференциальной геометрии и при изучении уравнений в частных производных . Он широко используется в физике и технике, особенно при описании электромагнитных полей , гравитационных полей и потоков жидкости .

Векторное исчисление было разработано на основе теории кватернионов Дж . Уиллардом Гиббсом и Оливером Хевисайдом в конце XIX века, а большая часть обозначений и терминологии была установлена Гиббсом и Эдвином Бидвеллом Уилсоном в их книге 1901 года «Векторный анализ» . В своей стандартной форме, использующей векторное произведение , векторное исчисление не обобщается на более высокие измерения, но альтернативный подход геометрической алгебры , который использует внешнее произведение , делает это (подробнее см. § Обобщения ниже).

Базовые объекты [ править ]

Скалярные поля [ править ]

Скалярное поле связывает скалярное значение с каждой точкой пространства. Скаляр — это математическое число, представляющее физическую величину . Примеры скалярных полей в приложениях включают распределение температуры в пространстве, распределение давления в жидкости и квантовые поля с нулевым спином (известные как скалярные бозоны ), такие как поле Хиггса . Эти поля являются предметом скалярной теории поля .

Векторные поля [ править ]

Векторное поле — это присвоение вектора каждой точке пространства . ^[1] Например, векторное поле на плоскости можно представить как набор стрелок заданной величины и направления, каждая из которых прикреплена к точке на плоскости. Векторные поля часто используются для моделирования, например, скорости и направления движущейся жидкости в пространстве или силы и направления некоторой силы , такой как магнитная или гравитационная сила, когда она меняется от точки к точке. Это можно использовать, например, для расчета работы, проделанной на линии.

Векторы и псевдовекторы [ править ]

В более продвинутых методах лечения дополнительно различают псевдовекторные поля и псевдоскалярные поля, которые идентичны векторным полям и скалярным полям, за исключением того, что они меняют знак при отображении, меняющем ориентацию: например, ротор векторного поля является псевдовекторным полем, а если отражать векторное поле, то завиток указывает в противоположном направлении. Это различие уточняется и разрабатывается в геометрической алгебре , как описано ниже.

Векторная алгебра [ править ]

Алгебраические (недифференциальные) операции в векторном исчислении называются векторной алгеброй и определяются для векторного пространства, а затем поточечно применяются к векторному полю. Основные алгебраические операции состоят из:

Обозначения в векторном исчислении
Операция	Обозначения	Описание
Сложение векторов	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	Сложение двух векторов дает вектор.
Скалярное умножение	$a\mathbf {v}$	Умножение скаляра и вектора дает вектор.
Скалярное произведение	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	Умножение двух векторов, дающее скаляр.
Перекрестное произведение	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	Умножение двух векторов в $\mathbb {R} ^{3}$ , что дает (псевдо)вектор.

Также обычно используются два тройных продукта :

Тройные произведения векторного исчисления
Операция	Обозначения	Описание
Скалярное тройное произведение	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Скалярное произведение векторного произведения двух векторов.
Тройное векторное произведение	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Перекрестное произведение векторного произведения двух векторов.

и теоремы Операторы

Дифференциальные операторы [ править ]

Векторное исчисление изучает различные дифференциальные операторы, определенные в скалярных или векторных полях, которые обычно выражаются через оператор del ( $\nabla$ ), также известный как «набла». Три основных векторных оператора : ^[2]

Дифференциальные операторы в векторном исчислении
Операция	Обозначения	Описание	Обозначение аналогия	Домен/Диапазон
Градиент	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Измеряет скорость и направление изменения скалярного поля.	Скалярное умножение	Сопоставляет скалярные поля с векторными полями.
Дивергенция	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Измеряет скаляр источника или стока в данной точке векторного поля.	Скалярное произведение	Сопоставляет векторные поля со скалярными полями.
Завиток	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Измеряет тенденцию вращения вокруг точки векторного поля в $\mathbb {R} ^{3}$ .	Перекрестное произведение	Сопоставляет векторные поля с (псевдо)векторными полями.
$f$ обозначает скалярное поле, а $F$ обозначает векторное поле.

Также часто используются два оператора Лапласа:

Операторы Лапласа в векторном исчислении
Операция	Обозначения	Описание	Домен/Диапазон
лапласиан	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Измеряет разницу между значением скалярного поля и его средним значением на бесконечно малых шарах.	Сопоставления скалярных полей.
Вектор Лапласа	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Измеряет разницу между значением векторного поля и его средним значением на бесконечно малых шарах.	Карты между векторными полями.
$f$ обозначает скалярное поле, а $F$ обозначает векторное поле.

Величина, называемая матрицей Якоби, полезна для изучения функций, когда и область определения, и диапазон функции являются многопараметрическими, например, при замене переменных во время интегрирования.

теоремы Интегральные

Трем основным векторным операторам соответствуют соответствующие теоремы, которые обобщают фундаментальную теорему исчисления на более высокие измерения:

Интегральные теоремы векторного исчисления
Теорема	Заявление	Описание
Градиентная теорема	$\int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]$	Линейный интеграл градиента скалярного поля по кривой $L$ равен изменению скалярного поля между конечными точками $p$ и $q$ кривой.
Теорема о дивергенции	$\underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	Интеграл от дивергенции векторного поля по $n$ -мерному телу $V$ равен потоку векторного поля через $(n -1)$ -мерную замкнутую граничную поверхность тела.
Теорема Керла (Кельвина – Стокса)	$\iint _{\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	Интеграл от ротора векторного поля по поверхности $Σ$ в $\mathbb {R} ^{3}$ равна циркуляции векторного поля вокруг замкнутой кривой, ограничивающей поверхность.
$\varphi$ обозначает скалярное поле, а $F$ обозначает векторное поле

В двух измерениях теоремы о дивергенции и роторе сводятся к теореме Грина:

Теорема Грина векторного исчисления
Теорема	Заявление	Описание
Теорема Грина	$\iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	Интеграл от дивергенции (или ротора) векторного поля по некоторой области $A$ в $\mathbb {R} ^{2}$ равен потоку (или циркуляции) векторного поля по замкнутой кривой, ограничивающей область.
Для расхождения $F знак равно (M, - L)$ . Для локона $F = (L, M, 0)$ . $L$ и $M$ являются функциями $(x, y)$ .

Приложения [ править ]

Линейные аппроксимации [ править ]

Линейные аппроксимации используются для замены сложных функций почти одинаковыми линейными функциями. Учитывая дифференцируемую функцию $f (x, y)$ с действительными значениями, можно аппроксимировать $f (x, y)$ для $(x, y),$ близких к $(a, b),$ по формуле

f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).

Правая часть представляет собой уравнение плоскости, касательной к графику $z = f (x, y)$ в точке $(a, b)$ .

Оптимизация [ править ]

Для непрерывно дифференцируемой функции нескольких действительных переменных точка $P$ (т. е. набор значений входных переменных, который рассматривается как точка в $R н$ ) является критическим, если все частные производные функции равны нулю в точке $P$ или, что то же самое, если ее градиент равен нулю. Критические значения — это значения функции в критических точках.

Если функция гладкая или, по крайней мере, дважды непрерывно дифференцируемая, критическая точка может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом , либо седловой точкой . Различные случаи можно отличить, рассматривая собственные значения матрицы Гессе вторых производных.

По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции встречаются в критических точках. Поэтому для нахождения локальных максимумов и минимумов теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях.

Обобщения [ править ]

Векторное исчисление также можно обобщить на другие трехмерные многообразия и многомерные пространства.

Различные 3-многообразия [ править ]

Векторное исчисление изначально определено для евклидова 3-мерного пространства , $\mathbb {R} ^{3},$ который имеет дополнительную структуру, помимо простого трехмерного реального векторного пространства, а именно: норму (дающую понятие длины), определенную через скалярное произведение ( скалярное произведение ), которое, в свою очередь, дает понятие угла и ориентации , что дает понятие о левше и правше. Эти структуры порождают форму объема , а также векторное произведение , которое широко используется в векторном исчислении.

направленности системы координат Для градиента и дивергенции требуется только внутренний продукт, в то время как ротор и векторное произведение также требуют учета см. Взаимное произведение § Руководство ( более подробно ).

Векторное исчисление может быть определено в других трехмерных действительных векторных пространствах, если они имеют внутренний продукт (или, в более общем случае, симметричную невырожденную форму ) и ориентацию; это меньше данных, чем изоморфизм евклидова пространства, поскольку он не требует набора координат (системы отсчета), что отражает тот факт, что векторное исчисление инвариантно относительно вращений (специальная ортогональная группа $SO(3)$ ).

В более общем смысле векторное исчисление может быть определено на любом трехмерном ориентированном римановом многообразии или, в более общем смысле, на псевдоримановом многообразии . Эта структура просто означает, что касательное пространство в каждой точке имеет внутренний продукт (в более общем смысле, симметричную невырожденную форму) и ориентацию или, в более глобальном смысле, что существует симметричный невырожденный метрический тензор и ориентация, и работает, потому что определено векторное исчисление. через касательные векторы в каждой точке.

Другие размеры [ править ]

Большинство аналитических результатов легко понять в более общей форме, используя аппарат дифференциальной геометрии , подмножеством которого является векторное исчисление. Grad и div немедленно обобщаются на другие измерения, как и теорема о градиенте, теорема о дивергенции и лапласиан (приводящая к гармоническому анализу ), в то время как ротор и векторное произведение не обобщаются так напрямую.

С общей точки зрения различные поля в (3-мерном) векторном исчислении единообразно рассматриваются как $k$ -векторные поля: скалярные поля - это 0-векторные поля, векторные поля - это 1-векторные поля, псевдовекторные поля - это 2-векторные поля. поля, а псевдоскалярные поля являются 3-векторными полями. В более высоких измерениях существуют дополнительные типы полей (скалярные, векторные, псевдовекторные или псевдоскалярные, соответствующие $измерениям 0$ , $1$ , $n - 1$ или $n$ , что является исчерпывающим в размерности 3), поэтому нельзя работать только с (псевдо)скалярами и ( псевдо)векторы.

В любом измерении, приняв невырожденную форму, grad скалярной функции является векторным полем, а div векторного поля является скалярной функцией, но только в размерности 3 или 7. ^[3] (и, тривиально, в размерности 0 или 1) является ротором векторного поля, векторным полем, и только в 3 или 7 измерениях можно определить векторное произведение (обобщения в других размерностях либо требуют $n-1$ векторы, дающие 1 вектор, или являются альтернативными алгебрами Ли , которые являются более общими антисимметричными билинейными произведениями). Обобщение grad и div, а также то, как можно обобщить Curl, подробно описано в разделе Curl § Generalizations ; Короче говоря, ротор векторного поля - это бивекторное поле, которое можно интерпретировать как специальную ортогональную алгебру Ли бесконечно малых вращений; однако это нельзя идентифицировать с векторным полем, потому что измерения различаются - есть 3 измерения вращения в 3 измерениях, но 6 измерений вращения в 4 измерениях (и в более общем смысле $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ размерности вращений в $n$ измерениях).

Есть два важных альтернативных обобщения векторного исчисления. Первая, геометрическая алгебра , использует $k$ -векторные поля вместо векторных полей (в трех или менее измерениях каждое $k$ -векторное поле можно идентифицировать со скалярной функцией или векторным полем, но это неверно в более высоких измерениях). Это заменяет векторное произведение, специфичное для трех измерений, включающее два векторных поля и дающее на выходе векторное поле, на внешнее произведение , которое существует во всех измерениях и принимает два векторных поля, выдавая на выходе бивектор (2 -векторное) поле. Этот продукт дает алгебры Клиффорда как алгебраическую структуру в векторных пространствах (с ориентацией и невырожденной формой). Геометрическая алгебра в основном используется при обобщении физики и других прикладных областей на более высокие измерения.

Второе обобщение использует дифференциальные формы ( $k$ -ковекторные поля) вместо векторных полей или $k$ -векторных полей и широко используется в математике, особенно в дифференциальной геометрии , геометрической топологии и гармоническом анализе , в частности, приводя к теории Ходжа на ориентированных псевдо- Римановы многообразия. С этой точки зрения grad, ротор и div соответствуют внешней производной 0-форм, 1-форм и 2-форм соответственно, а все ключевые теоремы векторного исчисления являются частными случаями общей формы Стокса. 'теорема .

С точки зрения обоих этих обобщений векторное исчисление неявно идентифицирует математически различные объекты, что делает представление более простым, но лежащую в основе математическую структуру и обобщения менее ясным.С точки зрения геометрической алгебры векторное исчисление неявно отождествляет $k$ -векторные поля с векторными полями или скалярными функциями: 0-векторы и 3-векторы со скалярами, 1-векторы и 2-векторы с векторами. С точки зрения дифференциальных форм векторное исчисление неявно отождествляет $k$ -формы со скалярными или векторными полями: 0-формы и 3-формы со скалярными полями, 1-формы и 2-формы с векторными полями. Так, например, ротор естественным образом принимает на вход векторное поле или 1-форму, но естественным образом имеет на выходе 2-векторное поле или 2-форму (следовательно, псевдовекторное поле), которое затем интерпретируется как векторное поле, а не принимается напрямую. векторное поле в векторное поле; это отражается в искривлении векторного поля в более высоких измерениях, не имеющих на выходе векторного поля.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Гальбис, Антонио; Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления . Спрингер. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3 .
^ «Дифференциальные операторы» . Математика24 . Проверено 17 сентября 2020 г.
^ Личжун Пэн и Лэй Ян (1999) «Ротор в семимерном пространстве и его приложения», Теория приближения и ее приложения 15 (3): с 66 по 80 дои : 10.1007/BF02837124

Источники [ править ]

Сандро Капаррини (2002) « Открытие векторного представления моментов и угловой скорости », Архив истории точных наук 56: 151–81.
Кроу, Майкл Дж. (1967). История векторного анализа: эволюция идеи векторной системы (переиздание). Дуврские публикации. ISBN 978-0-486-67910-5 .
Марсден, Дж. Э. (1976). Векторное исчисление . WH Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1 .
Шей, Х.М. (2005). Div Grad Curl и все такое: неофициальный текст по векторному исчислению . WW Нортон и компания. ISBN 978-0-393-92516-6 .
Барри Спейн (1965) Векторный анализ , 2-е издание, ссылка из Интернет-архива .
Чен-То Тай (1995). Историческое исследование векторного анализа . Технический отчет RL 915, Радиационная лаборатория Мичиганского университета.

Внешние ссылки [ править ]

Фейнмановские лекции по физике Vol. II гл. Глава 2: Дифференциальное исчисление векторных полей
«Векторный анализ» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
«Векторная алгебра» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чен-То
Векторный анализ: учебник для студентов-математиков и физиков (на основе лекций Уилларда Гиббса ) Эдвина Бидвелла Уилсона , опубликованный в 1902 году.

[Galbis-2012-p12-1] Гальбис, Антонио; Маэстре, Мануэль (2012). Векторный анализ против векторного исчисления . Спрингер. п. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3 .

[2] «Дифференциальные операторы» . Математика24 . Проверено 17 сентября 2020 г.

[3] Личжун Пэн и Лэй Ян (1999) «Ротор в семимерном пространстве и его приложения», Теория приближения и ее приложения 15 (3): с 66 по 80 дои : 10.1007/BF02837124

[1]

[2]

[3]

v т и Основные темы математического анализа
Calculus: Integration Differentiation Differential equations ordinary partial stochastic Fundamental theorem of calculus Calculus of variations Vector calculus Tensor calculus Matrix calculus Lists of integrals Table of derivatives
Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis (quaternionic analysis) Functional analysis Fourier analysis Least-squares spectral analysis Harmonic analysis P-adic analysis (P-adic numbers) Measure theory Representation theory Functions Continuous function Special functions Limit Series Infinity
Mathematics portal

v т и Исчисление
Precalculus	Binomial theorem Concave function Continuous function Factorial Finite difference Free variables and bound variables Graph of a function Linear function Radian Rolle's theorem Secant Slope Tangent
Limits	Indeterminate form Limit of a function One-sided limit Limit of a sequence Order of approximation (ε, δ)-definition of limit
Differential calculus	Derivative Second derivative Partial derivative Differential Differential operator Mean value theorem Notation Leibniz's notation Newton's notation Rules of differentiation linearity Power Sum Chain L'Hôpital's Product General Leibniz's rule Quotient Other techniques Implicit differentiation Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates Stationary points First derivative test Second derivative test Extreme value theorem Maximum and minimum Further applications Newton's method Taylor's theorem Differential equation Ordinary differential equation Partial differential equation Stochastic differential equation
Integral calculus	Antiderivative Arc length Riemann integral Basic properties Constant of integration Fundamental theorem of calculus Differentiating under the integral sign Integration by parts Integration by substitution trigonometric Euler Tangent half-angle substitution Partial fractions in integration Quadratic integral Trapezoidal rule Volumes Washer method Shell method Integral equation Integro-differential equation
Vector calculus	Derivatives Curl Directional derivative Divergence Gradient Laplacian Basic theorems Line integrals Green's Stokes' Gauss'
Multivariable calculus	Divergence theorem Geometric Hessian matrix Jacobian matrix and determinant Lagrange multiplier Line integral Matrix Multiple integral Partial derivative Surface integral Volume integral Advanced topics Differential forms Exterior derivative Generalized Stokes' theorem Tensor calculus
Sequences and series	Arithmetico-geometric sequence Types of series Alternating Binomial Fourier Geometric Harmonic Infinite Power Maclaurin Taylor Telescoping Tests of convergence Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison Ratio Root Term
Special functions and numbers	Bernoulli numbers e (mathematical constant) Exponential function Natural logarithm Stirling's approximation
History of calculus	Adequality Brook Taylor Colin Maclaurin Generality of algebra Gottfried Wilhelm Leibniz Infinitesimal Infinitesimal calculus Isaac Newton Fluxion Law of Continuity Leonhard Euler Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
Lists	Differentiation rules List of integrals of exponential functions List of integrals of hyperbolic functions List of integrals of inverse hyperbolic functions List of integrals of inverse trigonometric functions List of integrals of irrational functions List of integrals of logarithmic functions List of integrals of rational functions List of integrals of trigonometric functions Secant Secant cubed List of limits Lists of integrals
Miscellaneous topics	Complex calculus Contour integral Differential geometry Manifold Curvature of curves of surfaces Tensor Euler–Maclaurin formula Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid